Ermitteln von max{f(x)} ohne Ableitung

Mit AM-GM haben wir

$$\begin{align*} \frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1} &= \frac{\sqrt{2}\sqrt x \sqrt{\frac{x^2 + 1}{2}}}{x^2 + x + 1}\\ &\le \frac{\sqrt{2}\cdot\frac12\left(x + \frac{x^2 + 1}{2}\right)}{x^2 + x + 1}\\ &= \frac{\sqrt 2 (x^2 + 2x + 1)}{4(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt 2 (x - 1)^2}{12(x^2 + x + 1)}\\ &\le \frac{\sqrt{2}}{3}. \end{align*}$$ Auch wann$x = 1$, wir haben$\frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1} = \frac{\sqrt 2}{3}$.

Also das Maximum von$\frac{\sqrt{x^3 + x}}{x^2 + x + 1}$Ist$\frac{\sqrt 2}{3}$.

Vielleicht eine etwas späte Antwort, aber ich dachte, es wäre erwähnenswert.

Hier ist eine direkte elementare Berechnung des Maximums.

Lassen$x\geq 0$:

Wir müssen nur das Maximum von finden

$$\frac{x^3+x}{(x^2+x+1)^2} = \frac{x(x^2+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

Einfache Umlagerungen geben

$$\begin{eqnarray*} \frac{x(x^2+1)}{(x^2+x+1)^2} & = & \frac{x(x^2+x+1) -x^2}{(x^2+x+1)^2} \\ & = & \frac{x}{x^2+x+1} -\left(\frac{x}{x^2+x+1}\right)^2 \\ \end{eqnarray*}$$

Jetzt müssen wir maximieren$t-t^2$mit

$$0\leq t= \frac{x}{x^2+x+1} \stackrel{AM-GM}{\leq} \frac 13$$

mit Gleichheit auf der rechten Seite für$x=1$.

Das Maximum von$t-t^2$(eine nach unten gerichtete Parabel mit Scheitelpunkt bei$t=\frac 12$) An$[0,\frac 13]$erreicht wird für$t=\frac 13$.

Somit,

$$\max_{x\geq 0}\frac{x^3+x}{(x^2+x+1)^2} = \frac 13 - \frac 19 = \frac 29 \Rightarrow \max_{x\geq 0}f(x) = \frac{\sqrt 2}{3}$$

Nur um hinzuzufügen, wenn Sie bereits eine Vermutung haben, dann ist es ziemlich einfach, sie zu beweisen. dh gegeben$x$und daher$f(x)$nichtnegativ ist, können wir quadrieren und das resultierende Polynom faktorisieren (da uns eigentlich schon eine Wurzel bekannt ist ;)

$$\frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} \leqslant \frac{\sqrt2}3 \iff (x-1)^2(2x^2-x+2)\geqslant 0$$

Letzteres ist offensichtlich, da der quadratische Faktor immer positiv ist. Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, wann es Gleichheit gibt$x=1$.

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Nur der Vollständigkeit halber, eine andere Möglichkeit mit nur AM-GM: mit$t^2=x+\frac1x$, können wir den Ausdruck schreiben als

$$f = \frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} =\frac{x\sqrt{x+\frac1x}}{x(x+\frac1x+1)} = \frac{t}{t^2+1} = \frac1{t+\frac1t}$$

Jetzt,$t^2=x+\frac1x \geqslant 2$von AM-GM, mit Gleichheit iff$x=1$. Daher zu maximieren$f$, müssen wir das Minimum von finden$t+\frac1t$, Wenn$t\geqslant \sqrt2$. In diesem Bereich können wir jedoch mit AM-GM und der offensichtlich steigenden Funktion schreiben$-\frac1t$,

$$t+\frac1t=t + \frac{2}t-\frac1t \geqslant 2\sqrt2-\frac1t \geqslant 2\sqrt2-\frac1{\sqrt2} = \frac3{\sqrt2}$$ Als Gleichheit gilt hier wann$t=\sqrt2 \iff x=1$, haben wir einen konsistenten Punkt der Gleichheit.

Daher$f = \dfrac1{t+\frac1t} \leqslant \dfrac{\sqrt2}3$

Durch die AM-GM-Ungleichheit haben wir das

$$\frac{\sqrt{x^3+x}}{x^2+x+1} \leq \frac{\sqrt{x^3+x}}{3x} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

da ist die AM-GM Gleichstellung wann erreicht$x^2=x=1$