Warum funktionieren zweite oder höhere Ableitungen zum Auffinden von Konkavitäten und Wendepunkten?

Question

Warum funktionieren zweite oder höhere Ableitungen zum Auffinden von Konkavitäten und Wendepunkten?

Infinitesimalrechnung
Funktionen
Mathematik
Algebra-Vorkalkül
Intervall-Arithmetik

Lex_i

Angenommen, wir haben die Funktion $f(x)=(x-2)^3+3$ , dessen Graph ist

und wir wollen herausfinden, was Regionen tut $f$ eine positive/negative Konkavität haben und wo sich die Wendepunkte befinden.

Ich habe gelernt, diese Fragen zu beantworten, indem ich:

\begin{aligned} F^{^{'}} (X) & = 3 (X - 2)^{2} \\ F^{^{″}} (X) & = 2 \cdot 3 (X - 2)^{1} \\ F^{^{″}} (X) & = 0 ⟹ X = 2 \\ F (2) & = 3 \end{aligned}

$\begin{align*} f^{'}(x) &= 3(x-2)^2 \\ f^{''}(x) &= 2\cdot 3(x-2)^1 \\ f^{''}(x) &= 0 \implies x = 2 \\ f(2)&= 3 \end{align*}$

∴

$\therefore$ Die Konkavität ist innen positiv

(2, \infty)

$(2, \infty)$ , negativ innen

(- \infty, 2)

$(- \infty, 2)$ Wendepunkt(e):

(2, 3)

$(2, 3)$

Aber warum funktioniert das? Habe ich Probleme, wenn die Funktion mehrere Wendepunkte hat, oder muss ich einfach vorsichtiger sein? Und was wäre, wenn der Grad einer Funktion sehr hoch wäre, sagen wir Grad 6? Müsste ich die Ableitung weiter berechnen, bis ich eine Ableitung Grad 1 erhalte, oder dauert es nur bis zur zweiten Ableitung?

Keine Chance

Mein Verständnis ist, dass Sie zuerst den 2. Ableitungstest verwenden, wenn er fehlschlägt, verwenden Sie den höheren Ableitungstest. Der Test auf die 2. Ableitung ist, wie der Name schon sagt, unabhängig vom Grad des Polynoms, solange es einen Grad > 2 hat. Siehe Kapitel 5 von: books.google.com.eg/…

Lex_i

Woher weiß ich, dass die 2. Ableitung fehlschlägt?

Antworten (1)

Warum funktionieren zweite oder höhere Ableitungen zum Auffinden von Konkavitäten und Wendepunkten?

Mein Verständnis ist, dass Sie zuerst den 2. Ableitungstest verwenden, wenn er fehlschlägt, verwenden Sie den höheren Ableitungstest. Der Test auf die 2. Ableitung ist, wie der Name schon sagt, unabhängig vom Grad des Polynoms, solange es einen Grad > 2 hat. Siehe Kapitel 5 von: books.google.com.eg/…

Simon Frazer · Answer 1

Per Definition eine Funktion $f(x)$ ist konkav an $[a,b]$ wenn, für jeden $x,y\in[a,b]$ und für jeden $\alpha\in[0,1]$ , $f((1-\alpha)x+\alpha y)\geq (1-\alpha)f(x)+\alpha f(y)$ . Dies bedeutet einfach, dass jeder Punkt zwischen gewählt wird $x$ Und $y$ auf oder über der geraden Verbindungslinie liegt $(x,f(x))$ Und $(y,f(y))$ . Die erste Ableitung misst die momentane Steigung an einem Punkt. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung und misst die Konkavität und kann somit verwendet werden, um Wendepunkte zu bestimmen (die auftreten, wenn die Konkavität das Vorzeichen ändert). Weitere Informationen finden Sie hier und auf dieser Website .

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Lex_i

Keine Chance

Lex_i

Antworten (1)

Simon Frazer

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f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x) sind monisch-kubische Polynome, mit f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Wenn fff die Wurzeln r+1r+1r+1 und r+7r+7r+7 hat und ggg die Wurzeln r+3r+3r+3 und r+9r+9r+9 hat, dann finde rrr.