Exaktes Ausdrücken der Umrechnung von Zeiteinheiten in Raumeinheiten in der speziellen Relativitätstheorie

In ihrem Buch Spacetime Physics betonen Taylor und Wheeler die Analogie der Lichtgeschwindigkeit C zu einem Umrechnungsfaktor k die zwischen Meilen und Metern umrechnet und anschließend frei zwischen Längen- und Zeiteinheiten umrechnet. In Analogie zu so etwas wie

Δ X = 2 M ich = 2 M ich ⋅ 1600 M M ich = 3800 M
wir bekommen so etwas wie
(1) Δ T = 100 S = 100 S ⋅ 3 ⋅ 10 8 M S = 3 ⋅ 10 10 M

Eine solche Berechnung ist sehr bequem und leistungsfähig (besonders wenn die Berechnungen Raumzeitintervalle beinhalten), aber die Symbole können nicht ihre übliche Bedeutung haben, weil gewöhnliche Sekunden nicht in gewöhnlichen Metern gemessen werden können.

Meine Fragen sind:

  1. Wie funktioniert die Bedeutung der Symbole Δ T , M , S in Gleichung ( 1 ) unterscheiden sich von ihrer gewöhnlichen Bedeutung?
  2. Wie würde ich die Gleichung umschreiben ( 1 ) in einen strengen Ausdruck, der die Symbole in ihrer gewöhnlichen Bedeutung verwendet?

Oder stimmt etwas mit der Gleichung nicht? ( 1 ) ? Wie oben geschrieben, funktioniert es gut in Berechnungen.

Ich habe die Antworten auf einige verwandte Fragen gelesen ( 1 , 2 ). Das schlagen sie vor Δ T kann eine Neudefinition von Zeit als Länge sein C Δ T . Das macht Sinn, erklärt aber nicht, warum sowohl Längen- als auch Zeiteinheiten in Gleichungen vorkommen ( 1 ) .

Warum können Sie Gleichung 1 nicht einfach als die Entfernung betrachten, die das Licht in diesem Zeitintervall zurücklegt?
Ja, das ist eine intuitive Bedeutung der Gleichung. Aber wie würden Sie dies rigoros ausdrücken, indem Sie eine Gleichung mit wohldefinierten Symbolen verwenden?

Antworten (3)

Eine strengere Form der Gleichung ( 1 ) wäre

Δ T = 100 S = 100 S ⋅ 3 ⋅ 10 8 M l S = 3 ⋅ 10 10 M ⋅ S l S

Wo l S ist Lichtsekunde. Dann kann man der Einfachheit halber fallen lassen S l S , bleibt aber für die Dimensionsanalyse impliziert.

Es gibt keinen Unterschied in den Symbolen Δ T , M , Und S von ihrer gewöhnlichen Bedeutung.

Anders ist die Behauptung, dass 3 10 8 M / S = 1 oder gleichwertig das 1 S = 3 10 8 M . Die zweite behält immer noch ihre ursprüngliche SI-Definition, ebenso wie das Meter. Geändert wird nur, dass eine Sekunde eine bestimmte Anzahl von Metern ist. Das bedeutet, dass Sie Entfernungen in Sekunden oder Zeiten in Metern messen können, wobei Sekunden und Meter ihre SI-Definitionen behalten.

Was sich von der gewöhnlichen Bedeutung unterscheidet, ist, dass Länge und Dauer die gleiche Dimensionalität haben. Die Dimensionalität einer Größe ist eine Frage der Konvention, so dass die Konvention nach Wunsch geändert werden kann, aber die gewöhnliche Bedeutung besteht darin, sie als unterschiedliche Dimensionalität zu betrachten.

Inspirierende Antwort, +1. „Die Dimensionalität einer Größe ist Konventionssache“ Ist das wirklich willkürlich? Wie passt das zur Dimensionsanalyse? Wie wird der Unterschied zwischen physikalischen Größen erfasst, wenn nicht durch ihre Dimension? Sich 1m durch den Raum zu bewegen ist immer noch eine ganz andere Erfahrung als sich 1m durch die Zeit zu bewegen, nicht wahr?
Danke! Ja, die Dimensionalität einer Größe ist eine Sache der Konvention. Ich bin zum ersten Mal auf diese Tatsache gestoßen, als ich von CGS-Einheiten erfuhr. In SI-Einheiten hat die Ladung eine eigene Dimension [ Q ] , aber in CGS-Einheiten hat die Ladung Dimensionalität [ L 3 / 2 M 1 / 2 T − 1 ] .
In Bezug auf die Erfahrung, sich durch Raum und Zeit zu bewegen, haben Sie definitiv Recht. Auf Schiffen unterscheidet sich die Erfahrung, eine Seemeile entlang der Oberfläche zu bewegen, jedoch auch sehr von der Erfahrung, einen Klafter unter der Oberfläche zu bewegen. Die verschiedenen nautischen Einheiten spiegeln dies wider. Aber das bedeutet nicht, dass es unvernünftig wäre, zwischen Faden und Seemeilen umzurechnen oder ihnen die gleiche Dimensionalität zuzuweisen.

Es ist in der Tat wahr, dass bei der Definition von Einheiten und physikalischen Dimensionen mehr menschliche Konventionen im Spiel sind, als man vermuten würde, bevor man sich näher damit befasst. Im vorliegenden Beispiel ist die physikalische Größe "1 Meile" definitionsgemäßgleich einer bestimmten Anzahl von Metern im SI-System. Allerdings wird die Größe „1 Sekunde“ normalerweise nicht gleich einer Entfernung gesetzt, obwohl wir uns darauf einigen könnten, wenn wir wollten (und darauf wollen Taylor und Wheeler hinaus). Wenn man die Raumzeit als Abstraktion betrachtet, ist es vernünftig zu sagen, dass Zeitintervalle und räumliche Intervalle verschiedene Beispiele für im Wesentlichen dasselbe sind: Verschiebung in der Raumzeit. Auf der anderen Seite, wenn man die physische Welt allgemeiner betrachtet, ist es nicht wahr zu sagen, dass Zeit und Raum nur verschiedene Versionen voneinander sind. Dies zeigt zum Beispiel der Begriff der Kausalität: Das Innere von Lichtkegeln ist zeitartig, und Weltlinien sind zeitartig. Daher ist es sehr sinnvoll, die Unterscheidung zwischen Entfernung und Zeit in unserem Einheitensystem beizubehalten. Nachdem ich das gesagt habe, Es ist oft zweckmäßig, Einheiten zu verwenden, in denen der Wert der Lichtgeschwindigkeit eine Entfernungseinheit pro Zeiteinheit ist. Dies würde die Lichtgeschwindigkeit an sich nicht dimensionslos machen. Es wäre jedoch auch möglich, ein Einheitensystem einzuführen, in dem die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist (wiederum weisen Taylor und Wheeler darauf hin). Ich persönlich würde ein solches Einheitensystem nicht empfehlen, da es meiner Meinung nach mehr Verwirrung stiftet als beseitigt.

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