Finden von Wellenfunktionen eines Dirac-Teilchens für gegebenen 4-Impuls und gegebenen Spin-4-Vektor

Question

Finden von Wellenfunktionen eines Dirac-Teilchens für gegebenen 4-Impuls und gegebenen Spin-4-Vektor

Physik
Relativität
Dirac-Gleichung
Quantenfeldtheorie

Vedran

Ich habe verschiedene Materialien zur relativistischen Quantenmechanik durchgelesen, aber ich finde das Fehlen einfacher Beispiele beunruhigend.

Ich bin mit der allgemeinen Form der Lösungen der Dirac-Gleichungen vertraut, aber ich habe Probleme, praktisch nur eine bestimmte Beispiellösung zu erhalten.

Da die Bewegung eines freien Dirac-Teilchens vollständig mit Viererimpuls bestimmt ist $p^\mu$ und der Spin (Polarisation) Vierervektor $s^\mu$ , wie genau findet man die zu einer bestimmten gegebenen Wellenfunktion $p^\mu,s^\mu$ ?

Z.B $p^\mu=m\{\sqrt{2},0,0,1\}, s^\mu=\{1,0,0,\sqrt{2}\}$

David Bar Mosche

Ich nehme an, Sie meinen mit dem Spin-4-Vektor den Pauli-Lubanski-Vektor

s^{μ} = \frac{1}{2} ϵ^{μ ν ρ σ} J_{ν ρ} P_{σ}

$s^{\mu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}J_{\nu \rho} P_{\sigma}$ , und das ist der Grund, warum Sie ihn orthogonal zum Impulsvektor gewählt haben.

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Finden von Wellenfunktionen eines Dirac-Teilchens für gegebenen 4-Impuls und gegebenen Spin-4-Vektor

Ich nehme an, Sie meinen mit dem Spin-4-Vektor den Pauli-Lubanski-Vektor $s^{\mu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}J_{\nu \rho} P_{\sigma}$ , und das ist der Grund, warum Sie ihn orthogonal zum Impulsvektor gewählt haben.

Hans de Vries · Answer 1

Beginnen Sie mit einer ruhenden ebenen Welle, deren Spin in z-Richtung zeigt:

$\psi_L=\psi_R=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right)$

Drehen Sie zuerst den Spin in die gewünschte Richtung.

$\psi_L \rightarrow \exp\left(-\tfrac12 i\theta_i\,\sigma^i\right)\psi_L ~~~~~~~~~~~~ \psi_R \rightarrow \exp\left(-\tfrac12 i\theta_i\,\sigma^i\right)\psi_R$

(Finde die Euler-Winkel $\theta_i$ durch Transformation des Spinvektors in das Ruhesystem)

Verstärken Sie nun die gedrehten Spinoren in die richtige Richtung.

$\psi_L \rightarrow \exp\left(-\tfrac12\vartheta_i\,\sigma^i\right)\psi_L ~~~~~~~~~~~~ \psi_R \rightarrow \exp\left(+\tfrac12\vartheta_i\,\sigma^i\right)\psi_R$

(Berechnen Sie die Schnelligkeit $\vartheta_i$ aus dem Schwung)

Schließlich: Beachten Sie, dass Sie erweitern können:

$\exp(i\phi_i\sigma^i) \longrightarrow \cos|\phi|+i \phi_i\sigma^i \sin|\phi|\,/\,|\phi|$

um die Matrizen aus dem Argument des Exponenten herauszuholen

Hans

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Vedran

David Bar Mosche

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Hans de Vries

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