Fluchtgeschwindigkeit - Wird die Umlaufbahn mit höherer Anfangsgeschwindigkeit nicht einfach größer?

Gibt es eine genauere Definition der Fluchtgeschwindigkeit?

Betrachten Sie zunächst ein Objekt mit einer radialen Bahn (Drehimpulsbahn Null) in a$1/r^2$zentrales Kraftfeld. Die Gesamtenergie _$E$des Objekts (das konstant ist) ist die Summe der (negativen) potentiellen Energie$U(r)$aufgrund des Kraftfeldes und der kinetischen Energie$T(v)$aufgrund der Radialgeschwindigkeit.

Es sind drei Fälle zu berücksichtigen:

• $E \lt 0$: Die Umlaufbahn ist begrenzt , dh es gibt eine maximale, endliche Entfernung$r = r_{max}$wobei die Geschwindigkeit (und damit die kinetische Energie) Null ist und das Objekt die maximale (am wenigsten negative) potentielle Energie hat

• $E \ge 0$: Die Umlaufbahn ist unbegrenzt , dh das Objekt hat niemals Geschwindigkeit Null. Als$r \rightarrow \infty$, die kinetische Energie$T$asymptotisch nähert$E$von oben.

• $E = 0$: Darin ein Sonderfall der unbegrenzten Umlaufbahn$T \rightarrow 0$als$r\rightarrow\infty$.

Dieser Sonderfall ist für die Definition der Fluchtgeschwindigkeit relevant. In jedem Radius$r_0$im zentralen Kraftfeld gibt es eine Geschwindigkeit$v_e$so dass

Also ein Objekt ab$r = r_0$mit nach außen gerichteter Radialgeschwindigkeit$\vec{v}_e$hat gerade genug kinetische Energie, um, ähm, 'auszurollen, um anzuhalten$r = \infty$'.

Genauer gesagt wird das Objekt mit einer Geschwindigkeit, die beliebig nahe bei Null liegt, beliebig weit wegrollen. In diesem Sinne „entkommt“ das Objekt dem zentralen Kraftfeld, aber eben so.

Ja, was Sie wirklich entdeckt haben, ist, dass das betrachtete Phänomen fälschlicherweise als „Flucht“ bezeichnet wurde. Zumindest nach Laienverständnis. Oder vielleicht ist das Problem das Laienverständnis von "wovon". Wo Sie an "aus der Schwerkraft" denken, meint der Wissenschaftler "aus einer geschlossenen Umlaufbahn" (elliptisch) oder kurz "aus der Umlaufbahn" selbst, wobei "Umlaufbahn" eine Rückkehr impliziert. Wie ein Objekt möglicherweise der anhaltenden Schwerkraft ausweichen kann, die versucht, es zurückzugeben, hilft vielleicht Folgendes: Ein Objekt, das sich von einem Gravitationskörper wegbewegt, erfährt eine Abnahmein der Anziehungskraft des Körpers mit zunehmender Entfernung. Es ist möglich, dass ein Objekt eine ausreichende Geschwindigkeit hat, dass die abnehmende Zugkraft immer unter der Fähigkeit des Objekts bleibt, dieser Zugkraft „zu entkommen“. Die Geschwindigkeit des Objekts sinkt nie unter das, was es dem Körper ermöglichen würde, es aus der Entfernung, die er gerade erreicht hat, zurückzuziehen. Es „gewinnt“ das Energierennen.

Das Objekt entgeht dem Gravitationseinfluss nicht; wie Sie bemerkt haben,$1/r^2$ist nie gleich$0$. Was wir jedoch mit "Fluchtgeschwindigkeit" meinen, ist, dass das Objekt genug Energie (groß genug Geschwindigkeit) hat, so dass sein Weg "im Unendlichen umkehren" müsste. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit des Objekts ist hoch genug und nimmt langsam genug ab, bis sich das Objekt niemals umdreht.

Der wichtige Teil hier ist die Geschwindigkeit des umkreisenden Objekts.

Jede Entfernung des umkreisenden Objekts hat seine eigene Umlaufgeschwindigkeit (umkreisen entlang des Kreises). Wenn Sie die Geschwindigkeit erhöhen, ändert sich die Umlaufbahn in eine Ellipse; Wenn Sie die Geschwindigkeit weiter erhöhen, wird die Ellipse immer länger.

Wenn Sie die Geschwindigkeit weiter erhöhen, wird es den Moment geben, in dem die Bahn parabelförmig wird – und die Parabel keine geschlossene Kurve mehr ist, also das Objekt entweicht – nicht der Schwerkraft, sondern der Umlaufbahn um das Objekt.

Du hast Recht. Der Begriff „Flucht“ aus einem Gravitationsfeld existiert nur in einem idealisierten mathematischen Modell der Situation. In diesem idealisierten Modell haben wir nur einen Gravitationskörper in einer Raumzeit von unendlicher Ausdehnung. Damit können wir die Idee der Fluchtgeschwindigkeit wie folgt formulieren:

Es ist die Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Objekt vom Gravitationsgerät weggeschleudert werden muss, damit es nach unendlicher Zeit eine unendliche Entfernung erreicht.

Wenn Sie das Objekt mit weniger Geschwindigkeit werfen, kommt es zurück: Entweder trifft es auf die Oberfläche des Gravitationsgeräts oder es bewegt sich in einer sich wiederholenden Umlaufbahn um ihn herum, die dennoch in einem gewissen maximalen Abstand zum Objekt bleibt. Aber wenn Sie es mit einer Geschwindigkeit von mindestens der Fluchtgeschwindigkeit oder höher nach außen werfen, wird die Umlaufbahn "unendlich groß" - sie geht hinaus und schneidet (in gewissem Sinne) unendlich.

In der formalen Sprache, wenn$\mathbf{r}(t)$ist ein Vektor, der vom Gravitationskörper auf das geworfene Objekt zeigt und dessen Flugbahn verfolgt, und bei$t = 0$Wir werfen das Objekt, die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit$v_\mathrm{esc}$so dass wenn

dh die Wurfgeschwindigkeit ist dann größer

, das heißt, die Entfernung vom Planeten wächst für immer. In Wirklichkeit gibt es natürlich zwei Einschränkungen: Zum einen können wir niemals eine unendliche Zeit vergehen lassen, was bedeutet, dass das Objekt theoretisch immer noch unter dem Einfluss des Gravitationskörpers stehen wird, selbst wenn dieser Einfluss besteht extrem klein. Die andere Einschränkung besteht darin, dass in Wirklichkeit andere Gravitationsquellen in der Ferne vorhanden sein werden, die dann die Flugbahn auf andere Weise ändern, sobald ihr Einfluss beginnt, die Kontrolle über die Bewegung des geworfenen Objekts zu dominieren, und dies wiederum auch verhindert diese unendliche Weite zu erreichen. Wenn wir zum Beispiel über das Sonnensystem sprechen und der Erde "entkommen", wenn wir ein Fahrzeug mit nicht mehr als der Fluchtgeschwindigkeit der Erde abschießen, dann wird es nur "entkommen", bis die Sonne aufgeht.

Nichtsdestotrotz ist es nützlich, weil wir es als Anhaltspunkt für die Mindestgeschwindigkeit und damit die minimale Anstrengung nehmen können, die unser Motor aufwenden muss, um von der Gravitationsquelle "wegzukommen" und zu einem weiter entfernten Ziel wie beispielsweise dem Mars zu gelangen. Natürlich erfordert die tatsächliche Fahrt dorthin eine größere Geschwindigkeitsänderung (sogenanntes „Delta-V“), da wir auch navigieren müssen, um dieses Ziel abzufangen und uns dann sicher auf seiner Oberfläche niederzulassen.

Wirf einen Stein hoch und er fällt zurück auf die Erde. Aber wenn Sie ihm sehr, sehr viel Geschwindigkeit geben, wird es weggehen, in den Weltraum. Sicherlich steht es immer unter dem Gravitationseinfluss des Planeten, aber es hat eine Geschwindigkeit, die groß genug ist, dass es niemals zurückkehrt.

Die dafür benötigte Mindestgeschwindigkeit wird als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet. Und bei dieser Geschwindigkeit (oder höher) ist der Weg des Objekts eine offene Kurve; Das bedeutet, dass sich die Kurve bis ins Unendliche erstreckt und das Objekt daher keine Grenzen hat, wie weit es gehen kann.

Wie kann ein Objekt möglicherweise „dem Gravitationseinfluss eines anderen Objekts entkommen“? Gibt es eine genauere Definition der Fluchtgeschwindigkeit? Wird die Umlaufbahn mit zunehmender Anfangsgeschwindigkeit nicht einfach unendlich groß?

Das scheinbare Paradoxon kann gelöst werden, indem man die kinetische und potentielle Energie eines „Objekts“ betrachtet, das mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit von der Oberfläche eines Planeten projiziert wird.

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit vom Schwerpunkt eines Planeten nach außen bewegt, und berechnen Sie die gewonnene potentielle Energie. Wenn die Kraft auf das Objekt aufgrund der Schwerkraft mit der Entfernung gleich wäre, würde die potenzielle Energie linear mit der Entfernung zunehmen. Wenn das Objekt aus einer bestimmten Höhe losgelassen würde, würde es fallen und mit einer Geschwindigkeit V auftreffen (unter der Annahme, dass keine Atmosphäre vorhanden ist).

Energie = mgh = 1/2mv^2
Also V von einer bestimmten Höhe = (2gh)^0,5

Mit zunehmender Entfernung vom Schwerpunkt des 'Planeten' führen jedoch die umgekehrten quadratischen Gravitationseffekte dazu, dass die Energie, die zum Erreichen dieser Höhe benötigt wird, langsamer mit der Entfernung zunimmt. Die Integration der erforderlichen Energie mit zunehmender Entfernung hat einen endlichen Wert im Unendlichen. |

Umgekehrt hat ein Objekt, das aus unendlicher Entfernung "fällt", eine nicht unendliche potentielle Energie und daher eine nicht unendliche Aufprallgeschwindigkeit. Das ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Ein Objekt, das mit Fluchtgeschwindigkeit vom Planeten projiziert wird, verliert kinetische Energie, wenn es "aufsteigt", aber die Verlustrate nimmt aufgrund des umgekehrten quadratischen Gravitationseffekts mit der Entfernung ab. Es wird schließlich in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommen.
Ein Objekt, das mit einer geringeren als der Fluchtgeschwindigkeit projiziert wird, wird in einer Entfernung von weniger als unendlich "aufhören zu steigen".

Ein Objekt, das mit einer höheren Fluchtgeschwindigkeit projiziert wird, hat immer noch eine kinetische Nettoenergie und eine "nach außen gerichtete" Bewegung sowohl im Unendlichen als auch in allen geringeren Entfernungen.

Kennen Sie das alte Sprichwort: „Was nach oben geht, muss auch wieder runter“? Wenn Sie mit Fluchtgeschwindigkeit oder schneller nach oben gehen, ist es nicht wahr.

Sie werden immer langsamer, kommen aber nie herunter, weil der Gravitationseinfluss des Körpers, dem Sie „entkommen“, abnimmt (nach der umgekehrten Quadratregel), wenn Sie sich weiter entfernen. Es geht nie weg, aber es ist nie stark genug, um Ihre Geschwindigkeit umzukehren.

Dieser Begriff verwirrte mich auch, aber eine einfache Möglichkeit, ihn zu erklären, wäre, die Gravitationskraft auf das Objekt in jedem gegebenen Moment mit der Summe einer unendlichen Reihe von Zahlen zu vergleichen, sagen wir die Reihe (1/2)+(1/4 )+(1/8)+(1/16)… Es ist leicht zu erkennen, dass diese Reihe ewig weitergeht, da Sie einfach jeden neuen Begriff halbieren können, um den nächsten Begriff zu erstellen. Obwohl diese Reihe immer größer wird, wird sie sich niemals der Unendlichkeit nähern. Wenn Sie alle unendlichen Terme dieser Reihe zusammenfassen könnten, würde die Summe 1 ergeben.

Stellen Sie sich eine leere Kiste mit einem Volumen von 1 Kubikmeter vor. Füllen Sie die Hälfte des Volumens mit Wasser, füllen Sie dann die Hälfte des verbleibenden Volumens mit Wasser, dann die Hälfte des verbleibenden Volumens erneut ... Sie werden der genauen Füllung der Box immer näher kommen, die ein endliches Volumen ist, obwohl Sie fügen Wasser unendlich oft hinzu. Wenn Sie die Kiste auf einer Waage gegenüber einer identischen Kiste platzieren, die vollständig mit Wasser gefüllt ist, wird die Kiste, in die Sie Wasser einfüllen, die Waage niemals zu ihren Gunsten kippen.

Wenn Sie auf die gleiche Weise die Schwerkraft auf ein Objekt addieren, das sich über einen unendlichen Zeitraum mit Fluchtgeschwindigkeit bewegt, würden Sie feststellen, dass sich die Schwerkraft auf dieses Objekt letztendlich zu einer bestimmten Zahl summiert - Fluchtgeschwindigkeit . Daher bedeutet das Gehen mit oder schneller als die Fluchtgeschwindigkeit, dass das Objekt niemals zurückgezogen wird, ähnlich wie der teilweise gefüllte Wasserkasten im vorherigen Absatz niemals den vollständig gefüllten überwiegen wird.

Du hast Recht. Von der Flucht aus dem Gravitationsfeld der Erde zu sprechen, ist Unsinn und verwirrender Unsinn und daher unmoralisch.

Ein Teilchen, das in der Entfernung von Sirius ruht und frei von allen anderen Gravitationseinflüssen ist, wird auf die Erde fallen. Die Beschleunigung beträgt 56 Mikrometer pro Jahrhundert pro Jahrhundert.

Wenn Sie sich ein Objekt vorstellen, das mit hoher Geschwindigkeit von der Erde hochgeschleudert wird, wird die Schwerkraft der Erde es verlangsamen und es für immer verlangsamen. Da die Schwerkraft einem umgekehrten quadratischen Gesetz unterliegt , summiert sich die gesamte Verlangsamung zu einer endlichen Zahl. (Wenn die Schwerkraft gewesen wäre$1/r$statt$1/r^2$die Summe wäre unendlich gewesen, nicht endlich).

„Fluchtgeschwindigkeit“ ist somit definiert als „die Geschwindigkeit, mit der man starten muss, wenn man ohne Rückfall bis ins Unendliche gelangen will“. Oder besser gesagt, da dies unmöglich ist, ist die Geschwindigkeit größer als alle, die schließlich zurückfallen .

Über das Entkommen aus dem Gravitationsfeld der Erde zu sprechen, ist eine Lüge, aber zumindest eine verständliche, denn wenn Sie neben Sirius sind, werden Sie Gravitationsbeschleunigungen ausgesetzt sein, die viel größer als 56 Mikrometer pro Jahrhundert und Jahrhundert sind.

Wenn Sie aus der Unendlichkeit auf den Körper fielen, würden Sie mit einer bestimmten Energiemenge darauf klatschen, Energie, die Sie beim Fallen allmählich aufnehmen. Wenn Sie sich jedoch stattdessen mit etwas mehr kinetischer Energie vom Körper lösen als mit der, mit der Sie platschten, dann würden Sie die Unendlichkeit und darüber hinaus erreichen! Die Geschwindigkeit, die Sie benötigen, um diese Menge an kinetischer Energie zu haben, ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Wird die Umlaufbahn mit zunehmender Anfangsgeschwindigkeit nicht einfach unendlich groß?

Nein, lautet die kurze Antwort (dazu gleich mehr).

Aber erstens scheint Ihre grundlegende Verwirrung dadurch zu entstehen, dass Sie zwei getrennte Konzepte verwechseln:

A. Eine unendlich große Umlaufbahn impliziert eine unendliche Anfangsgeschwindigkeit (was offensichtlich in keinem realistischen Szenario möglich ist: Nichts im Universum bewegt sich mit unendlicher Geschwindigkeit).

B. Dass eine Umlaufbahn überhaupt möglich ist, impliziert eine endliche Anfangsgeschwindigkeit – und wir sind wieder bei „nein ist die kurze Antwort“ – denn:

i) Wenn es möglich wäre, eine unendliche Anfangsgeschwindigkeit zu haben, müsste diese definitionsgemäß die Fluchtgeschwindigkeit überschreiten, die eine definierte, endliche Geschwindigkeit ist. In dem Moment, in dem es diese (endliche) Geschwindigkeit überschreitet, was lange vor dem Erreichen einer unendlichen Geschwindigkeit wäre, wird jede Art von Umlaufbahn unmöglich: Die Rakete muss in den Weltraum abschießen.

Die Umlaufbahn ist ein Gleichgewichtszustand, in dem die Kraft, die das umlaufende Objekt vom Planeten wegdrückt (im Grunde sein Impuls), genau gleich der Kraft ist, die es zum Planeten zieht (im Grunde die Schwerkraft). Wenn der nach außen gerichtete Impuls genau im Gleichgewicht mit dem nach innen gerichteten Impuls ist, bewirkt das so erreichte Gleichgewicht, dass das umkreisende Objekt einen konstanten Abstand zum Planeten einhält: eine Umlaufbahn.

ii) Ein leichtes Ungleichgewicht in diesen Kräften wird bewirken, dass das umlaufende Objekt in einer größeren Radiusentfernung umkreist oder in einer kleineren Radiusentfernung umkreist; aber ein großes (positives) Ungleichgewicht führt dazu, dass das Objekt die Umlaufbahn verlässt: Es wird aufhören, einem gekrümmten Pfad um den Planeten zu folgen: Das größere Ungleichgewicht wird dazu führen, dass es zunehmend einem weniger gekrümmten Pfad folgt, bis der Pfad weitgehend aufgehört hat Kurve überhaupt: Das Objekt bewegt sich jetzt (ungefähr) in einer geraden Linie, hat also aufgehört zu kreisen.

iii) Wenn die Rakete, nachdem sie einmal Fluchtgeschwindigkeit erreicht hat, unabhängig davon, ob dies auf eine Umlaufbahn folgt oder nicht, nicht mehr tut, als ihre konstante Geschwindigkeit beizubehalten, kann sie niemals von der Gravitation des Planeten zurückerobert werden, da die Gravitationsstärke mit der Entfernung abnimmt: unter der Gesetz des umgekehrten Quadrats: Wenn sich die Entfernung vom Planeten verdoppelt, ist die Gravitationsstärke nicht konstant, sondern reduziert sich auf ein Viertel. Bei lediglich konstanter Geschwindigkeit kann die Rakete niemals von der fallenden Gravitationskraft eingefangen werden ( weil diese fällt).

Nur durch Abbremsen könnte die Rakete ihren Impuls reduzieren, um mit einer geringeren Geschwindigkeit als der für das Gleichgewicht erforderlichen kritischen Schwelle, dh einer Umlaufbahn, in ihrem neuen Radiusabstand vom Planeten zu reisen (eine sehr große Abbremsung wäre erforderlich, sobald die Rakete dies getan hat auch nur eine kurze Distanz zurückgelegt, denn im wirklichen Leben weicht seine Schwerkraft in sehr kurzer Entfernung vom Planeten der weitaus größeren Schwerkraft der Sonne, wodurch der Planet danach zu einem vernachlässigbaren Einfluss wird).

Nun taucht also ein weiteres Missverständnis in Ihrer Frage auf: Indem Sie den Planeten so behandeln, als wäre er die einzige Quelle der Schwerkraft im nahen Weltraum, haben Sie sich selbst in die Irre geführt, in der Nähe stärkere Gravitationskräfte zu vernachlässigen! Diese Kräfte überwältigen die planetaren Effekte in ziemlich kurzen Entfernungen, so dass Ihre Umlaufbahnannahmen zusammenbrechen, sobald sich die Rakete nur eine ziemlich kurze Entfernung vom Planeten entfernt hat.

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NACHTRAG -

Die sehr kleinen Unterschiede in der Umlaufbahnhöhe, die mit einer elliptischen Umlaufbahn verbunden sind, sind für meine Antwort irrelevant. Die einzige relevante Frage ist, ob die Umlaufbahn stabil ist: Wenn ja, werden kleine Höhenunterschiede die Position nicht klären. Ich spreche nur das Hauptproblem an: Kann der Satellit mit Rakete beschleunigen ( aus der Umlaufbahn gebracht) und abgebremst werden ( aus der Umlaufbahn gebracht werden).

Ob es Ihnen gefällt oder nicht, in Wirklichkeit verbrennen alle Raketen Treibstoff mit einer konstanten Geschwindigkeit, und der einzige Grund, warum sie schneller werden, ist, dass der Gravitationswiderstand gegen ihre Bewegung mit zunehmender Höhe abnimmt , was dem Gesetz des umgekehrten Quadrats gehorcht.

Durch das Verbrennen von Kraftstoff mit konstanter Geschwindigkeit setzt die Menge an Kraftstoff, die transportiert werden kann, eine echte Grenze für seine Anfangsgeschwindigkeit (wenn er weiter als die Erdumlaufbahn geht), und es gibt praktische Einschränkungen für das Gewicht des Kraftstoffs, das angehoben werden kann (Jede zusätzliche Tonne Treibstoff in den Tanks erhöht die Masse, die in den Weltraum gehoben werden muss). Die Erhöhung der Kraftstoffnutzlast hat also auch negative Folgen, nicht nur positive.

Und eine ausreichend hohe Anfangsgeschwindigkeit wird verhindern, dass die Rakete in die Umlaufbahn geht: Sie wird das tun, was Planetensonden tun, und zum Mars oder darüber hinaus fliegen. Wenn es nie auch nur eine einzige Umlaufbahn vollendet, ist es nicht vernünftig, es als Umlaufbahn zu beschreiben. Wenn es auch das Sonnensystem verlässt, wie es einige tun, wird es nicht einmal die Sonne in einem sinnvollen Sinne umkreisen.

Der Gravitationseinfluss eines einzelnen Quarks ist winzig, für ein einzelnes Quark ist es nur logisch, daraus zu schließen, dass auch sein Radius winzig ist. Es ist daher nicht logisch zu schlussfolgern, dass sein Einfluss unendlich ist. Das Abstandsgesetz zeigt, dass selbst bei Objekten mit Sternmasse der Einfluss schnell abnimmt. Verdoppelt man den Abstand, sinkt die Stärke auf ein Viertel, also 25 Prozent (1 über 2 zum Quadrat, also 1/4). Bei 8-facher Entfernung beträgt die Stärke nur noch ein Prozent (1 zu 8 zum Quadrat, also 1/64).