Formaler Rahmen, um über „minimale Kopplungen“ zu sprechen

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Formaler Rahmen, um über „minimale Kopplungen“ zu sprechen

lurscher

normalerweise hätte man bei physikalischen Theorien Lagrange- oder Hamilton-Operatoren mit mehreren Feldern; sagen wir, ein Vektor $A_{\mu}$ und ein Skalar $\phi$ und man würde ad hoc eine Kopplung zwischen den Feldern postulieren, die verwendet wird, um einige physikalische Zustände abzuleiten, und dann rückwirkend die Kopplung aus einer Übereinstimmung mit der Physik stützen

Normalerweise liest man von 'minimalen Kopplungen' und für Skalare mit Vektoren sieht man vielleicht einen Faktor wie $\frac{ \partial{\phi}}{ \partial{ x_{\mu}} } A_{\mu}$

Aber meine Frage geht weiter, in welchem allgemeinen oder abstrakten Sinne stellen solche Faktoren eine minimale Kopplung dar? Mindestens was? Wenn ist der Gesamtgrad der Kräfte der Felder? Haben wir ein Variationsprinzip für Lagrange-Kopplungen, dass diese Terme in solchen Variationen als stabiler Punkt bezeichnet werden können?

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Formaler Rahmen, um über „minimale Kopplungen“ zu sprechen

Lubos Motl · Answer 1

Sie sind die am besten renormalisierbaren (oder am wenigsten nicht renormalisierbaren) Kopplungen. Wenn der Begriff im Lagrange einen Dimensionskoeffizienten hat ${\rm length}^\Delta$ , möchten wir minimieren $\Delta$ .

Entsprechend wollen wir die Massendimension des Operators minimieren. Das bedeutet, eine Kombination der Kräfte der Felder sowie die Anzahl der Ableitungen zu reduzieren.

Zum Beispiel, $(\partial_\mu \phi) A^\mu$ ist die minimale Kopplung zwischen $\phi$ Und $A_\mu$ (unter den Lorentz-invarianten Termen) - dieser bilineare Term ist normalerweise durch Eichinvarianz oder Erhaltungssätze (Symmetrien) verboten.

Die Dimension des Operators ist 3 - eins aus $\phi$ , eine Masse aus $\partial_\mu$ , eine Masse aus $A_\mu$ . Jeder Faktor von $A_\mu$ , jedes neue Derivat oder jede neue Kopie von $\phi$ würde ansteigen $\Delta$ um eins weg von der Minimalität.

Die obigen Punkte sind irgendwie modern - sie beziehen sich auf die Renormalization Group der 1970er Jahre. Die minimalen Kopplungen sind diejenigen, die bei großen Entfernungen (durch Potenzgesetze) am wichtigsten und bei kurzen Entfernungen am wenigsten problematisch (divergent) sind. Zu Einsteins Zeiten wurde die Begründung der Minimalität nur heuristisch verstanden, basierend auf Schönheitsempfindungen etc. Das ist nicht mehr nötig.

Natürlich könnte man nicht-polynomische oder sogar nicht-lokale Wechselwirkungen in Betracht ziehen, für die die obige Diskussion zusammenbrechen würde - aber solche Begriffe würden mit ziemlicher Sicherheit sowieso nicht als "minimal" bezeichnet.

Luboshs Antwort zeigt eine sehr schlechte Einstellung zu diesem Thema, das heutzutage in der theoretischen Physik etabliert ist. Er zählte Spekulationen auf, ließ aber die Zustimmung zu Experimenten aus. Wissen Sie, Interaktion bedeutet Interaktion, Austausch. Was kann einfacher sein, als experimentell beobachtete Austauschvorgänge zwischen experimentell beobachteten Entitäten zu schreiben? Nichts. Aber wer folgt diesem Muster? Zu wenig.
Ich habe vergessen, einen pädagogischen Kommentar für extrem langsame Leser hinzuzufügen: Diese Frage und die dazugehörige Antwort haben überhaupt nichts mit Experimenten zu tun . Es geht um die Erklärung eines Wortes, das bei der Konstruktion von Theorien verwendet wird . Mit minimalen Kopplungen kann man sowohl experimentell gültige als auch experimentell ungültige Theorien konstruieren. Wenn jedoch eine Theorie den richtigen Feldinhalt hat, ist es äußerst unwahrscheinlich, dass die minimale Kopplung (unter denen, die die gewünschten Symmetrien bewahren) einen Nullkoeffizienten hat, und solange sie nicht Null ist, dominiert sie die Fernphysik.
> Lubosh schrieb: "Mit minimalen Kopplungen kann man sowohl experimentell gültige als auch experimentell ungültige Theorien konstruieren." Ich bin nicht einverstanden. Denn abgesehen von dieser minimalen Kopplung (wie $j\cdot A$ ), muss man den entsprechenden Gegenbegriff einführen - um diese schöne Kopplung zu reparieren. Übereinstimmung mit dem Experiment wird nach Reparaturen erreicht.
Das ist in Ordnung, Wladimir, denn Deutschland hat bereits alle Reparationen bezahlt.
Es ist in Ordnung für Sie, weil Sie kein Opfer, sondern ein müßiger Beobachter sind.

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lurscher

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Wladimir Kalitwjanski

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