Jenseits der Hamiltonschen und Lagrangeschen Mechanik

Es gibt auch den Routhschen Formalismus der Mechanik, der als Hybrid aus der Lagrangeschen und der Hamiltonschen Mechanik beschrieben wird. Der Routhian ist definiert als

$$R = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i - L$$ Sie können mehr darüber erfahren, indem Sie auf diesen Link klicken, um die Beschreibung von Wikipedia zu erhalten.

Als ich mehr über den Routhian las, weil ich gelangweilt war, wurde mir klar, dass er als partielle Legendre-Transformation des Lagrange-Operators definiert ist und auch in der Sprache der Differentialgeometrie ähnlich wie der Lagrange-Operator definiert ist als

$$R^\mu : TM \to \mathbb{R}$$ Wo $$R^\mu(q, \dot{q}) = L(q, \dot{q}) - \langle A(q, \dot{q}), \mu\rangle$$ Wo $A$ist der mechanische Verbindungsterm. Mehr darüber können Sie in diesem pdf nachlesen .

Es ist erwähnenswert, dass der Hamilton- und der Lagrange-Formalismus unabhängig sind, obwohl sie normalerweise so gelehrt werden, als ob der erstere eine Filterung des letzteren wäre (hier geben Sie die Legendre-Transformationen ein). Beide Formalismen sind so unabhängig wie die Begriffe Tangenten- und Kotangensbündel in der Differentialgeometrie: unabhängig, aber intrinsisch verbunden.

Außerdem gibt es einen dritten Formalismus: den Hamilton-Jacobi-Formalismus. Es ist so gut wie die anderen beiden und trägt eine völlig andere Interpretation der Bewegungsgleichungen. All diese Formalismen sind tief miteinander verbunden und jeder hat seine Vorteile und seine geometrische Interpretation.

Als letzte Bemerkung: Ihnen fallen viele andere Interpretationen der Mechanik ein. Es gibt so viele wie Sie wollen. Ein Beispiel für eine neue, aber nützliche Interpretation ist die Interpretation des Mittelakkords , die mit der Weyl-Wigner-Interpretation der Quantenmechanik verwandt ist. Solange Ihre Transformationen kanonisch sind, sind der Schaffung neuer Sichtweisen in der Mechanik keine Grenzen gesetzt.

All die verschiedenen "freien Energien" der Thermodynamik sind nur eine (oder manchmal ein paar) Legendre-Transformation(en) weg von der einfachen alten Energie.

• Um die freie Helmholtz-Energie aus der Energie zu erhalten, führt man eine Legendre-Transformation zwischen Entropie und Temperatur durch.

• Um die Enthalpie aus der Energie zu gewinnen, führt man eine Legendre-Transformation zwischen Volumen und Druck durch.

• Um die freie Gibbs-Energie aus der Energie zu erhalten, führen Sie zwei Legendre-Transformationen durch, eine zwischen Entropie und Temperatur und die andere zwischen Volumen und Druck.

• Und so weiter (es gibt andere, aber sie werden weniger häufig angewendet). Insbesondere können Sie bei Bedarf eine Beschreibung in Form von Partikelzahlen gegen eine in Form von chemischen Potentialen austauschen.