Frage der Identität

Sich mit jemandem zu unterhalten, der versucht, mich davon zu überzeugen, dass 2 und 1+1 nicht dasselbe sind.

Sein Argument war, dass, obwohl 1 + 1 = 2 ist, sie tatsächlich unterschiedlich sind, weil die Notation unterschiedlich ist. Wir sehen „1+1“ auf der einen Seite des Gleichheitszeichens und „2“ auf der anderen. Also ist 1+1 nicht gleich 2.

Ich bin mir nicht sicher, aber diese Argumentation scheint trügerisch zu sein. Ich habe einfach nicht genug Hintergrundwissen in Philosophie, um genau darauf hinzuweisen, warum das so ist.

Lesen Sie Naming and Necessity (Saul Kripke). Im Ernst, jeder sollte es lesen - es ist ein kleines Buch, aber vollgepackt mit so viel interessantem Zeug zu diesem Thema.
Mögliches Duplikat von Ist 1+1=2 per Definition wahr?
Das scheint nur eine Frage der Semantik zu sein. Bei Zahlengleichheit sind „1+1“ und „2“ gleich. Als Textteile ("Strings" nennen Programmierer sie) unterscheiden sie sich, weil die verwendeten Zeichen andere sind. Es kommt also auf den Kontext an.

Antworten (4)

Das ist eine gute Frage, die mich an Freges monumentalen Aufsatz On Sense and Reference erinnert .

Ausgehend von Freges klassischer Sichtweise sagen wir, dass „2“ und „1 + 1“ sich auf dasselbe beziehen (dh die Zahl 2), aber dass sie einen anderen Sinn haben . In einer Hinsicht sind sie also dasselbe, aber in einer anderen nicht.

Einer von Freges Gründen für diese Unterscheidung ist, dass die Behauptung einer Identität wie „1 + 1 = 2“ informativ ist, während „2 = 2“ es nicht ist. Einige weniger triviale Beispiele sind: „47 + 119 = 166“, „Barack Obama = Der 44. US-Präsident“.

Das ist der richtige Ansatz. Für narurale Sprachen ist das klassische Beispiel Hesperus und Phosphorus (ebenfalls von Frege, glaube ich). Dieser Unterschied ist rechnerisch offensichtlich - stellen Sie sich einfach 2 = x vor, wobei x ein monströser Ausdruck ist, dessen Berechnung 10000 Jahre dauert, was zu 2 führt.

Ja, die berühmte Dichotomie der Gleichheit durch Absicht und Gleichheit durch Ausdehnung. Der einfachste Weg, diese Dichotomie zu erklären, ist so

  • Gleichheitsabsicht bezieht sich auf die Bedeutung der Dinge, die Sie gleichsetzen, 4/2 ist gleich 2, weil Sie möchten, dass sie die gleiche Bedeutung haben
  • Gleichheit in der Erweiterung ist Gleichheit durch Berechnung, sie wird auch als propositionale Gleichheit bezeichnet

Seien Sie vorsichtig, denn es gibt auch die Dichotomie Gleichheit-Identität. Das Beste daran ist, dass sich diese Begriffe je nach mathematischem Teilgebiet unterscheiden, in dem Sie arbeiten ...

Sie sehen deutlich, dass 1+1 nicht dasselbe ist wie 4/2, das sich gleichermaßen von 2 unterscheidet. Die Arbeit, die in jeder der Abbildungen von 2 erforderlich ist, ist nicht dieselbe, die Argumentation ist nicht dieselbe. Natürlich können einige Leute nicht ertragen, dass sich 2, 1+1 und 4/2 unterscheiden, weil sie es hassen, das Ergebnis durch die Methode, um das Ergebnis zu erhalten, zu kontextualisieren. Diese Leute, die diese Situation hassen, sehnen sich nach etwas Absolutem, von dem sie behaupten, dass die Methode zum Erzielen des Ergebnisses für das Erzielen des Ergebnisses irrelevant ist. Was für sie zählt, ist das Ergebnis und nichts anderes.

Schauen wir uns nun an, was passiert, wenn Sie die Methode berücksichtigen. Sobald Sie sagen, dass die Methode wichtig ist, hängen Sie an das Ergebnis 2 die Methode an, um diese 2 zu erhalten. Dies bringt Sie zum Konzept der Äquivalenz des Beweises (der Zahl 2): ​​Der einfachste Beweis der Zahl sind die Daten der Zahl 2 ; Sie zeigen sich 2 und dies ist der einfachste Weg, 2 zu beweisen. Aber Sie haben viele andere Algorithmen, andere Methoden, um die Zahl 2 zu erhalten, und diese Methoden führen Sie zum Begriff der Äquivalenz von Beweisen.

Ich lasse Sie in diesem Durcheinander von Erweiterung und Absicht für Gleichheit und Identität verweilen. https://ncatlab.org/nlab/show/equality https://en.wikipedia.org/wiki/Extensionality

Siehe Gleichberechtigung :

In der Mathematik ist Gleichheit eine Beziehung zwischen zwei Größen oder allgemeiner zwei mathematischen Ausdrücken , die behauptet, dass die Größen denselben Wert haben oder dass die Ausdrücke dasselbe mathematische Objekt darstellen .

Wenn wir in der Mathematik die Gleichheit behaupten: 1 + 1 = 2 , behaupten wir nicht , dass die beiden Symbolketten 1 + 1 und 2 gleich sind, sondern wir behaupten, dass die Objekte, die jeweils mit " 1 + 1 " und " 2 " benannt sind " sind dasselbe Objekt: die Nummer zwei.

Nein. Wir behaupten, dass 1+1 und 2 dieselbe Zahl ergeben. 1+1 bezieht sich auf einen Ausdruck, ebenso wie 2. Aber diese Ausdrücke sind nicht gleich, zum Beispiel ist 2 atomar, während 1+1 es nicht ist.
@Taemyr - In der modernen Logik sind die Terme 1 und 2 individuelle Konstanten und der Ausdruck 1+1 ist ein Term, der aus der Konstante 1 und der binären Funktion + gebildet wird : Beide bezeichnen Objekte des Bereichs der Interpretation. Der Satz 1+1=2 ist - gemäß der Semantik für Logik - genau dann wahr, wenn beide Begriffe denselben Gegenstand bezeichnen.
Ja. Aber der Ausdruck ist eine von der Zeichenfolge getrennte Sache. Und es ist der Ausdruck, auf den sich die Zeichenfolge bezieht. Um zur Gleichheit zu gelangen, müssen Sie das a-Modell (im Fall Ihrer Kommentar-FOL-Arithmetik) aufrufen, in dem Sie den Ausdruck auswerten können.

Basierend auf der Art und Weise, wie OP die Frage formuliert hat: Wenn wir die Gleichungen nach wörtlichem "symbolischem Wert" statt nach implizitem Wert betrachten, warum betrachten wir dann, dass "=" ein Gleichheitsoperator ist? Müssen wir nicht alle Symbole im selben Kontext betrachten?

Ich denke, wir sollten alle Symbole unter dem Zweck betrachten, für den die symbolische Darstellung erfunden wurde, dh Mathematik.

Genauso unsinnig ist es, auf Englisch zu schreiben und mitten im Satz auf chinesische Zeichen umzuschalten und zu versuchen, der anderen die Grammatikregeln der einen Sprache aufzuzwingen.

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