Wenn ein Argument in einem logischen System gültig, aber in einem anderen ungültig sein kann, sind logische Argumente dann „sinnvoll“?

So erkläre ich es, wenn ich Logik unterrichte.

Formale oder mathematische Logik verwendet Mathematik, um „gutes Denken“ darzustellen. Diese Modelle sind wie Landkarten: Sie können für bestimmte Zwecke äußerst nützlich sein; aber jede nützliche Karte führt Vereinfachungen, Verzerrungen und Auslassungen ein. Eine gute Karte weist Vereinfachungen, Verzerrungen und Auslassungen auf, die sie für den vorgesehenen Zweck nützlicher machen. Aber es gibt keine universelle, buchstäblich universelle Karte.

Zum Beispiel setzt die Satzlogik oder Aussagenlogik – das formale System, das Sie lernen, wenn Sie zum ersten Mal Logik studieren – Wahrheitsfunktionalität und Bivalenz voraus. Wahrheitsfunktionalität bedeutet, dass der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes (wie „entweder p oder q“) nur vom Wahrheitswert der Teilsätze („p“ und „q“) abhängt. Bivalenz bedeutet, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist und kein Satz beides sein kann. Es gibt kein „teilweise wahr“ oder „ich bin mir nicht sicher“. Wahrheitsfunktionalität und Bivalenz sind äußerst nützlich, um Operatoren wie „nicht“, „und“ und „oder“ darzustellen. Aber sie machen seltsame Dinge mit „wenn-dann“ und sind einfach unvereinbar mit „p weil q“, „ich würde es vorziehen, dass p“ oder „alle Menschen sind sterblich; und Hypatia ist menschlich;

Betrachten Sie einen U-Bahn-Plan. Die Entfernungen zwischen Stationsmarkierungen auf der Karte entsprechen nicht den Entfernungen zwischen Stationen. Beim Lesen der Karte verwenden wir Konventionen und Vorsicht, um falsche Schlussfolgerungen zu vermeiden. Auf die gleiche Weise sollten wir bei der Verwendung der Satzlogik Konventionen und Vorsicht walten lassen, um eine Überinterpretation der Explosion oder der Verrücktheit der materiellen Bedingungen zu vermeiden.

Andere formale Systeme verwenden andere Annahmen, um einige der Dinge besser darstellen zu können, die die Satzlogik nicht wirklich darstellen kann. Aber sie haben ihre eigenen Vereinfachungen, Verzerrungen und Auslassungen. Zum Beispiel macht parakonsistente Logik seltsame Dinge mit "or" . Das bedeutet, dass es kein universelles formales System gibt. Eine Straßenkarte ist keine gute Möglichkeit, die Organisation eines U-Bahn-Systems darzustellen. und beides ist kein guter Weg, um darzustellen, wo verschiedene Vogelarten in der Stadt leben. Für drei verschiedene Aufgaben – Navigation mit dem Fahrrad, Navigation mit der U-Bahn und Vogelökologie – brauchen wir unterschiedliche Karten.

All dies ist mit einigen Arten von Realismus über „gute Argumentation“ vereinbar. Wenn formale Logiksysteme wie Landkarten sind, dann ist tatsächlich gutes Denken wie die auf den Landkarten dargestellte Stadt. Die Stadt ist real, auch wenn keine Karte sie in jedem Aspekt perfekt darstellen kann und wir eine „subjektive“ vorsichtige Beurteilung vornehmen müssen, um eine bestimmte Karte korrekt zu verwenden. In einem analogen Sinne könnte man sagen, dass Argumentation wirklich gut oder schlecht sein kann, auch wenn kein formales System sie in jeder Hinsicht perfekt darstellen kann und wir ein nicht-formales Urteilsvermögen ausüben müssen, um eine Überinterpretation der Macken einer bestimmten Form zu vermeiden System.

Bertrand Russell hat einmal gesagt, dass alle Aussagen in zwei Kategorien fallen. Diejenigen, von denen gesagt (bewiesen) werden kann, dass sie entweder wahr oder falsch sind, und diejenigen, die dies nicht können. Und dann sagte er, dass die notwendige Folge davon ist, dass keine Aussage in der ersten Gruppe (diejenigen, die entweder als wahr oder falsch bewiesen werden können) jemals mit der Realität in Verbindung gebracht werden oder irgendetwas damit zu tun haben kann. dh nur solche Aussagen, die völlig abstrakt sind und überhaupt nichts über das wirkliche Universum aussagen (wie eins plus eins gleich zwei), können jemals als wahr oder falsch bewiesen werden. und jede Aussage, die vorgibt, irgendetwas über die Realität zu sagen, kann niemals als absolut wahr oder falsch bewiesen werden.

Nein, "Gegenschlüsse" müssen nicht "irgendwie falsch" sein. Das einfachste Beispiel ist vielleicht die Modallogik, bei der die Aussage „es regnet“ für einige Orte wahr sein kann, während sie für andere nicht gilt, oder manchmal für denselben Ort und für andere nicht. Aber das beinhaltet per se keinen Abzug.

In diesen Fällen betrifft die Wahl der angemessenen Logik normalerweise Ihr Diskursuniversum. Eine typische klassische Schlussregel wäre zum Beispiel
  A==>B A==>C
-------------------------
      A==> B&C
Nun, auf den ersten Blick könnte man vielleicht denken, dass das tautologisch in allen Diskursuniversen zutrifft. Aber denken Sie an das „Automatenuniversum“, wo Sie beispielsweise eine Cola für einen Dollar kaufen können, was wir schreiben 1$==>Cola . Und Sie können auch einen Schokoriegel für einen Dollar kaufen, 1$==>Candy . Aber jetzt ist es falsch, daraus zu schließen , dass 1$ ==>Coke&Candyweil der Dollar aufgebraucht ist. Etwas formaler „verbraucht“ (oder „entlädt“ in der Terminologie der linearen Logik) der Prozess des Beweisens der Schlussfolgerung die Prämissen. Konstruktive Logik (substrukturelle Logik im Allgemeinen) hat typischerweise etwas andere Schlußregeln als die klassische Logik, was oft zu unterschiedlichen beweisbaren Schlussfolgerungen aus denselben Prämissen führt. Aber das heißt nicht, dass beides „richtig“ oder „falsch“ ist.

Ich denke, eine gute Herangehensweise ist zu sagen, dass unterschiedliche Logiken unterschiedliche natürliche Semantiken haben. Es ist zum Beispiel üblich zu sagen, dass die intuitionistische Logik als die Logik der Beweisbarkeit oder Verifizierbarkeit interpretiert werden kann (das ist die BHK-Interpretation). Wenn also ein Intuitionist einen Satz A schreibt, verstehen wir darunter, dass A beweisbar ist, und wenn er A oder B schreibt, bedeutet dies, dass A beweisbar oder B beweisbar ist. Dies führt zu einer von der klassischen Logik abweichenden Logik, und so kann ein Argument klassisch gültig, aber intuitionistisch ungültig sein. Die beiden müssen sich nicht widersprechen, vorausgesetzt, wir halten die Semantik getrennt. In der klassischen Logik geht es um Wahrheiten und Unwahrheiten, während es beim Intuitionismus um Beweisbarkeit geht. In ähnlicher Weise kann die Relevanzlogik so verstanden werden, dass sie die natürliche Semantik der Weitergabe von Informationen hat. Mindestens eine Form der dialethischen Logik kann so verstanden werden, dass sie die natürliche Semantik der Falsifizierbarkeit besitzt. Eine deontische Logik hätte die natürliche Semantik der Verpflichtung. Die lineare Logik hat (unter anderem) die natürliche Semantik von ressourcengebundenen Interaktionen. Die Bayessche Bestätigungstheorie kann als eine Art Logik des partiellen Glaubens verstanden werden.

Dies ist unter dem Gesichtspunkt geschrieben, dass die klassische Logik tatsächlich die „korrekte“ Logik der Wahrheiten ist. Es gibt echte, sachliche Auseinandersetzungen zwischen den Befürwortern einiger Logiken, z. B. Michael Dummett mit Intuitionismus, Stephen Read mit Relevanzlogik und Graham Priest mit dialethischer Logik, in denen sie behaupten, dass ihre Logik die Logik von Wahrheit und Falschheit ist und dass dies die klassische Logik ist nicht. Verteidiger der klassischen Logik behaupten, dass es in der klassischen Logik um Wahrheiten geht und bei diesen anderen Logiken um etwas anderes.

Sie beziehen sich auf das Explosionsprinzip: dass ein Widerspruch alle Sätze der klassischen Logik beinhaltet. Dies ist unproblematisch, solange wir uns daran erinnern, dass wir über Wahrheiten sprechen. Wir müssen darauf achten, die Semantik nicht in die des Glaubens zu verlagern: Widersprüchliche Glaubenssätze zu haben, berechtigt mich nicht, auf alle Glaubenssätze zu schließen. Wir können einen Widerspruch in der realen Welt nicht „entdecken“, weil ein Widerspruch ein Satz und kein Ding ist. Wenn wir die klassische Logik verwenden, dann würden wir bei der Entdeckung einiger widersprüchlicher Beobachtungen nach einer Möglichkeit suchen, sie zu unterscheiden – eine zusätzliche Variable, die wir übersehen hatten. Man kann sich das auch so vorstellen, dass ein Wissenschaftler, der ein Experiment zweimal durchführt und unterschiedliche Ergebnisse erhält, aus methodischen Gründen nicht zu dem Schluss kommt, dass ein Widerspruch wahr ist. geht aber davon aus, dass es eine unbekannte Variable gibt, die identifiziert und kontrolliert werden muss. Diese Annahme ist tatsächlich eine Form von Realismus.

Was uns davon überzeugt, dass die klassische Logik eine gute Logik ist, wäre eine Antwort im Sinne von Quine zu sagen, dass sich die klassische Logik aufgrund des Beitrags, den sie zu unserem wissenschaftlichen Verständnis der Welt leistet, rechtfertigt. Wenn es nicht funktionierte, würden wir es verwerfen und etwas anderes versuchen. Tatsächlich gab es empirisch motivierte Vorschläge für andere Logiken, wie etwa die Quantenlogik. Eine andere Argumentationslinie könnte darin bestehen, zu behaupten, dass die klassische Logik dem Konzept der Berechenbarkeit über die Curry-Howard-Korrespondenz entspricht. Es gibt verschiedene andere Ansätze zur Erkenntnistheorie der Logik.

Ihr letzter Satz darüber, wie wir über Logik sprechen können, ohne sie tatsächlich vorauszusetzen, fragt: Was ist die Logik unserer Metasprache? In der Praxis ist dies oft klassisch, obwohl es nicht unmöglich ist, dass wir eine andere Logik in unserer Metasprache verwenden könnten. Auch hier, wenn es nicht gut funktionierte, würden wir uns nach einem anderen umsehen.

Wenn ein Computerprogramm auf einem Betriebssystem funktioniert, aber nicht auf einem anderen, hat das einen Sinn?

Natürlich sind Computerprogramme utilitaristisch (im nicht-philosophischen Sinne), und wir haben nur die Erwartung, dass sie im Kontext des Systems funktionieren, für das sie entwickelt wurden. Aber gilt das nicht auch für logische Argumente?

Es kann sein, dass Sie Erwartungen haben, dass logische Systeme Ihnen Einblick in größere metaphysische Wahrheiten gewähren sollten, Erwartungen, die Sie nicht an Betriebssysteme haben. Aber so wie sowohl euklidische als auch nicht-euklidische Geometrien bestimmte Aspekte des Universums widerspiegeln, wie wir es beobachten, spiegeln auch unterschiedliche Logiksysteme unterschiedliche Aspekte der Realität wider. Was Sie möglicherweise aufgeben müssen, ist Ihre Intuition, dass es ein richtiges, universelles logisches System gibt, und nicht mehrere Systeme, die in unterschiedlichen Kontexten und zu unterschiedlichen Zwecken nützlich sind.

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, dies zu beantworten, basierend darauf, was einige dieser Begriffe bedeuten: logisches System, gültig/ungültig und „Bedeutung“.

• Ein logisches System besteht aus einem algebraisch/symbolischen Teil (den logischen Konnektoren, Schlußregeln und deren Syntax) und einem semantischen Teil (was damit gemeint ist). Diese sollen zusammen erfassen, was wir intuitiv als „Logik“ betrachten, eine Formalisierung dessen, was wir vage rationales Denken nennen. Es ist also nicht (vage) unvernünftig zu glauben, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, logisches Denken in Symbolen darzustellen, die zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen führen können. Dies können sogar völlig entgegengesetzte Schlussfolgerungen sein, aber wahrscheinlicher wird es viele Überschneidungen geben oder noch wahrscheinlicher, dass die Gedanken, die in einem System formalisiert und bewiesen werden können, eine Teilmenge eines anderen sind. Was auch immer diese Formalisierungen formalisieren, sie sind bedeutungsvoll. Wenn sich zwei Systeme in einigen Einzelheiten widersprechen, sollten Sie nicht den Schluss ziehen, dass '

• „Gültigkeit“ ist ein technischer Begriff in der Logik, aber behandeln wir ihn informell. Wenn eine Aussage in einer Logik gültig, aber in einer anderen ungültig ist, könnte es sein, dass die beiden Logiken einander widersprechen und dass die Situation, die die beiden Aussagen beschreiben, unverständlich wird. Das heißt aber nicht, dass alle anderen Aussagen bedeutungslos sind. Es könnte bedeuten, dass die beiden Logiken, obwohl sie meistens gleich sind, nur zwei verschiedene Dinge beschreiben. Aber um konkret zu sein, was normalerweise mit Logik passiert, wie zwischen klassischer und intuitionistischer Logik, ist, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte zwar in der klassischen Logik „wahr“ ist, aber in der intuitionistischen nicht so sehr falsch, sondern nicht ableitbar ist. Es ist nur so, dass man in der klassischen Logik mehr Dinge beweisen kann.

• „Bedeutung“ hat mehr als eine Bedeutung. In der Logik ist die technische Bedeutung eines Satzes oft, ob er wahr ist oder nicht, und das ist alles. Die 'Bedeutung' von "A->A" ist wahr. Aber es gibt die nicht-technische, intuitive Bedeutung von „Bedeutung“, die alle Verbindungen sind, die ein Konzept in Ihrem Kopf herstellt, wie „A->A“ ein gutes Axiom ist und manchmal ein gutes Äquivalent für „-A v A' und manchmal nicht. "A->A" ist also in vielerlei Hinsicht bedeutungsvoll, obwohl es je nach Kontext möglicherweise nicht dieselbe Bedeutung hat.

Logik ist nur eine Möglichkeit, Gedanken zu formalisieren. Wenn Sie zwei Logiken haben, die sich widersprechen, bedeutet das nicht, dass alle Logik eine Täuschung ist und Gebäude und Brücken auseinanderfallen werden, es bedeutet, dass Sie möglicherweise einen Fehler bei der Anwendung einer Ihrer Logiken gemacht haben, oder es könnte sein bedeutet, dass die beiden Formalisierungen unterschiedliche Arten von Ideen erfassen, oder es kann bedeuten, dass eine Aussage in beiden wahr, aber in der einen beweisbar ist, in der anderen jedoch nicht.