Frage zum Raumzeitintervall bei der Beschleunigung in der speziellen Relativitätstheorie

In der speziellen Relativitätstheorie kann das Raumzeitintervall zwischen zwei Ereignissen durch die Gleichung dargestellt werden

$${\Delta_s}^2={\Delta_x}+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2-c^2{\Delta_t}^2$$ mit ${\Delta_s}^2$ist das Raumzeitintervall zwischen den beiden Ereignissen, $\Delta_x$der Abstand zwischen den beiden Ereignissen in der x-Dimension ist, $\Delta_y$der Abstand zwischen den Ereignissen in der y-Dimension ist, ${\Delta_z}$der Abstand zwischen den beiden Ereignissen in der z-Dimension ist $c$die Lichtgeschwindigkeit ist, und $\Delta_t$der Abstand zwischen den Punkten in der Zeitdimension ist.

In einem 4d euklidischen Raum lautet die Abstandsformel

$${\Delta_d}^2={\Delta_x}^2+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2+{\Delta_w}^2$$ und wenn Sie reelle Zahlen für eingeben $\Delta_x$, $\Delta_y$, Und $\Delta_z$, und entweder $0$oder eine reine imaginäre Zahl für $\Delta_w$, Dann ${\Delta_x}^2$, ${\Delta_y}^2$, Und ${\Delta_z}^2$sind alle positiv, während ${\Delta_w}^2$entweder $0$oder negativ, ähnlich wie ${\Delta_x}^2$, ${\Delta_y}^2$, Und ${\Delta_z}^2$sind alle positiv während $c^2{\Delta_t}^2$entweder $0$oder negativ in der speziellen Relativitätstheorie.

Das bedeutet, dass die vierdimensionale Raumzeit auch als drei reale Dimensionen beschrieben werden kann, die den Raum darstellen, und eine imaginäre Dimension der Zeit, die wir ersetzen können${\Delta_w}^2$für$-c^2{\Delta_t}^2$und haben$\Delta_w$immer beides sein$0$, oder eine reine imaginäre Zahl zu machen${\Delta_w}^2$Negativ. So lässt sich nun das Raum-Zeit-Intervall zwischen zwei Ereignissen darstellen als

$${\Delta_s}^2={\Delta_x}^2+{\Delta_y}^2+{\Delta_z}^2+{\Delta_w}^2$$ und erhalten die gleichen Ergebnisse wie bei Verwendung der vorherigen Gleichung für das Raum-Zeit-Intervall.

Man kann sagen, dass alles, was sich langsamer als die Lichtgeschwindigkeit bewegt, die gleiche Änderungsrate in der Raumzeit hat, wobei die Gesamtänderungsrate in der Raumzeit für alle Teilchen durch die Gleichung dargestellt wird

$${\iota_s}^2={\iota_x}^2+{\iota_y}^2+{\iota_z}^2+{\iota_w}^2$$ mit $\iota_s$die Gesamtänderungsrate in der Raumzeit ist, $\iota_x$die Änderungsrate in x-Richtung ist, $\iota_y$die Änderungsrate in y-Richtung ist, $\iota_z$die Änderungsrate in der z-Richtung ist, und $\iota_w$die Änderungsrate in der w-Richtung ist. $\iota_x$, $\iota_y$, Und $\iota_z$sind alle reelle Zahlen, während $\iota_w$ist eine imaginäre Zahl und $|\iota_w|\ge\sqrt{{\iota_x}^2+{\iota_y}^2+{\iota_y}^2}$.

Das bedeutet auch, dass unterschiedliche Referenzsysteme als reine imaginäre Rotationen in der Raumzeit beschrieben werden können, wobei der Raumzeitwinkel zwischen zwei Weltlinien a und b durch die Gleichung dargestellt wird

$$arctan\left(\frac{i\sqrt{{\Delta_v}^2}}{c}\right) \;=\theta$$ mit $\Delta_v$die Geschwindigkeit ist, die die Weltlinien a und b relativ zueinander haben, und $\theta$der Raumzeitwinkel zwischen den beiden Weltlinien ist. Der Raumzeitwinkel zwischen zwei Weltlinien ist also immer imaginär und der Raumzeitwinkel zwischen der Weltlinie eines massiven Teilchens und der Weltlinie eines masselosen Teilchens ist es $i{\infty}$.

Wenn es zwei Weltlinien g und f gibt und g sich in einem Trägheitsbezugssystem befindet und f sich in einem nicht trägheitsbezogenen Bezugssystem befindet und f mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zu g beschleunigt, dann ist der reine imaginäre Raumzeitwinkel zwischen g und f ändert sich mit einer konstanten Rate im Referenzrahmen von f.

Wenn sich im euklidischen Raum, in dem jede Dimension real ist, der Winkel zwischen etwas, das sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den Raum bewegt, und einer geraden Linie, die sich nicht bewegt, mit konstanter Geschwindigkeit und in einer konstanten Richtung ändert, dann ist dies etwas das bewegt sich auf einem Kreis und es gibt einen Punkt im Raum, in dem der Abstand zwischen diesem Punkt und jedem Punkt auf dem Kreis gleich ist.

In der speziellen Relativitätstheorie zeichnet ein Objekt, das mit konstanter Geschwindigkeit beschleunigt, eine Hyperbel in der Raumzeit nach, und so wie die Parametergleichung eines Kreises oder jeder Art von Ellipse Sinus und Kosinus verwendet, verwendet die Parametergleichung einer Hyperbel hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus. Und$cosh(x)=cos(ix)$, während$isinh(x)=sin(ix)$. Genauso wie$cos^2(x)+sin^2(x)=1$,$(isinh(x))^2+(cosh(x))^2=1$

Wenn also ein Objekt in der speziellen Relativitätstheorie für immer mit konstanter Geschwindigkeit beschleunigt, gibt es einen Punkt in der Raumzeit, an dem das Raumzeitintervall zwischen diesem Punkt und jedem Punkt auf der Weltlinie des Objekts gleich ist?