A stehe für einen beliebigen Satz. Ich habe kürzlich einige Artikel gelesen, die unterschiedliche Notationen verwenden, um die Vorstellung auszudrücken, dass "A wahr ist". Die beiden machen mir Sorgen um die folgenden:
(1) [[A]] ist wahr
(2) ⌈ A ⌉ ist wahr
Ich habe sogar gesehen, dass diese beiden unterschiedlichen Notationen in derselben Arbeit verwendet wurden. Was ist der typische Unterschied zwischen den beiden, falls vorhanden? Ich vermute, dass sich [[A]] (oft) buchstäblich auf eine Reihe von Welten bezieht, während sich ⌈A⌉ nur auf eine Aussage bezieht, ohne irgendwelche Verpflichtungen einzugehen, ob es sich um eine Reihe von Welten handelt oder nicht, aber ich bin es hier alles andere als sicher.
Kennt sich hier jemand mit typischer Notation in der Literatur aus? Was ist mit einfachen Klammern wie [A]?
Die erste (oft als semantische Klammern bezeichnet ) findet sich meistens in der formalen Semantik und ist der Name der Bewertungsfunktion , die Ausdrücke in einer formalen Sprache Objekten im Bewertungsmodell zuordnet. Angenommen, A ist der Satz "Schnee ist weiß". So werden semantische Klammern verwendet:
[["A"]] ist wahr ≡ Schnee ist weiß
Das zweite (oft als Eckzitate bezeichnete ) findet sich meistens in Kontexten, in denen es um zwei Sprachen geht: eine Objektsprache und eine Metasprache , und es ist sehr wichtig, die Unterscheidung im Auge zu behalten. Es bildet Ausdrücke in der Metasprache auf Ausdrücke in der Objektsprache ab. Ihr Beispiel:
⌈ Ein ⌉ ist wahr ≡ „Schnee ist weiß“ ist wahr ≡ Schnee ist weiß
Bei Eckzitaten ging es hier darum, das metalinguistische A durch den Ausdruck „Schnee ist weiß“ zu ersetzen, der im Gegensatz zu A auch in der Objektsprache vorkommt. Sobald die Ersetzung abgeschlossen ist, werden die Eck-Anführungszeichen durch gewöhnliche Anführungszeichen ersetzt, und von da an entfaltet die übliche Tarski-Definition ihren Zauber.
Schließlich bin ich mit keiner Verwendung von [] im Kontext der Semantik vertraut.
In Bezug auf die Klammernotation haben Sie grundsätzlich Recht. Es ist am einfachsten, die Idee wie folgt zu formulieren. Sagen wir der Konkretheit halber, wir haben es mit einem Satz "A oder nicht-B" zu tun. Dies ist logisch äquivalent zu „nicht-(nicht-A und B)“ und „wenn B, dann A“ (zumindest in der klassischen Logik). Aber alle drei sind unterschiedliche Sätze (einer ist eine Disjunktion, ein anderer eine Negation einer Konjunktion, ein anderer ein Konditional). Die Notation „[A]“ oder manchmal „[[A]]“ kann als bequeme Bezeichnung des „Aussageninhalts“ von A angesehen werden (was mathematisch präziser gemacht werden kann). In unserem ursprünglichen Beispiel ist beispielsweise [A oder nicht-B] = [nicht-(nicht-A und B)] = [wenn B, dann A]. (Ich glaube nicht, es' s signifikanter Unterschied zwischen einfachen Klammern und doppelten Klammern; Soweit ich weiß, ist es nur eine Notationspräferenz.)
Beispielsweise kann [A] im Kontext der Modallogik die Menge von Zuständen in einem Modell bezeichnen, bei dem A wahr ist. Im Zusammenhang mit Gittern oder algebraischer Logik kann [A] als ein Punkt auf einem Gitter betrachtet werden, den A (und alle seine logischen Äquivalente) bezeichnet.
Eckzitate hingegen sind syntaktischer Natur. Sie werden am häufigsten im Zusammenhang mit nicht standardmäßigen Modellen der PA, der Mengenlehre oder immer dann gesehen, wenn Sie es mit Systemen zu tun haben, die leistungsfähig genug sind, um Sätze ihrer Sprache zu codieren (wie Sie es manchmal zum Beispiel in Debatten über die Lügner sehen Paradox). Eck-Anführungszeichen um einen Satz bilden einen Begriff in der Sprache, mit der Sie es zu tun haben, und können daher direkt in Formeln erscheinen und darauf verwiesen werden. Normalerweise bezeichnen Eckzitate um logisch äquivalente Aussagen jedoch nicht die gleichen Begriffe.
Sie werden manchmal auch verwendet, um die Unterscheidung zwischen Verwendung und Erwähnung bei komplexen Formeln richtig zu berücksichtigen, obwohl dies eher ein philosophisches Gerät / Anliegen als ein mathematisches ist. ( Eine Erklärung finden Sie in John MacFarlanes Handout zu Substitutionsquantifizierern .)
prash