Klassische Semantik möglicher Welten

Mögliche-Welten-Modelle sind relationale Strukturen (eine zugrunde liegende Menge, die mit einer Reihe von Beziehungen ausgestattet ist). Beispielsweise kann ein Mögliche-Welten-Modell M aus den folgenden Komponenten bestehen: W, →, @, wobei W eine Menge möglicher Welten ist, → eine Zugänglichkeitsbeziehung auf W 2 ist und @ eine ausgezeichnete Welt ^von W ist. A Die Standardanwendung dieser Modelle ist die Explikation von Modalitäten, aber sie können auch als Modelle des nicht-modalen klassischen Aussagenkalküls betrachtet werden, wenn man es sich folgendermaßen vorstellt. Angefangen bei der Sprache:

Definition 1. ( Sprache ) Bei gegebenem Aussagenbuchstaben p wird die Sprache der Aussagenlogik durch folgende Grammatik definiert: φ := p | ϕ′ | ¬φ | (φ∧φ),

wir können unsere logischen Verfolgungen auf zwei Arten fortsetzen: (1) wir können diese Sprache mit einem Beweissystem (einem Satz von Axiomen und Schlußregeln) ausstatten und damit beginnen, Wahrheiten der Aussagenlogik abzuleiten, und/oder (2) wir können statten Sie diese Sprache mit einer Semantik (einer Interpretation ihrer Formeln in einer anerkannten Struktur) aus und beginnen Sie, semantisch zu argumentieren. Die zu betrachtende Frage betrifft die Semantik für (Definition 1), daher ignorieren wir Beweissysteme der klassischen Aussagenlogik und betrachten ihre Semantik:

Definition 2. ( Semantik ) Modelle der klassischen Aussagenlogik sind Wahrheitszuweisungen.

Wahrheitszuweisungen sind Funktionen, die Aussagenbuchstaben der Sprache der Aussagenlogik in Wahrheitswerte umwandeln (was im klassischen Fall {0, 1} bedeutet). Eine Formel φ der Sprache der Aussagenlogik heißt wahr bezüglich einer Wahrheitsbelegung v (symbolisch: v ⊧ φ) genau dann, wenn φ wahr wird, wenn den in φ vorkommenden aussagenlogischen Buchstaben Wahrheitswerte gemäß v zugewiesen werden B. unter der Zuweisung v = {p → 1, q → 0} wird die Formel (p → q) falsch.

Nun stellt sich die Frage, ob diese Semantik irgendetwas mit möglichen Welten zu tun hat, und die Antwort lautet: Ja. Der Schlüssel liegt darin, zu beobachten, dass Funktionen (einschließlich der Wahrheitszuweisungen) auch Relationen sind , und daher sind Wahrheitszuweisungsfunktionen auch Relationen, nämlich Relationen, die aussagekräftige Buchstaben mit (einzigartigen) Wahrheitswerten verknüpfen. Die Menge aller Wahrheitszuweisungen ist eine relationale Struktur, und wir verwenden sie ständig, wenn wir über Tautologien und Widersprüche in der klassischen Aussagenlogik sprechen:

Definition 3. ( Tautologien & Widersprüche ) Formel φ ist eine Tautologie ( ⊧ φ ) genau dann, wenn jede Wahrheitsbelegung φ wahr macht. Ebenso ist φ genau dann ein Widerspruch , wenn ¬φ eine Tautologie ist.

Wahrheitszuweisungen können als mögliche Welten betrachtet werden: Alles, was wir tun müssen, ist, jene Aussagebuchstaben aus ihnen zu extrahieren, die sie auf 1 abbilden, und wir haben eine Menge von Aussagebuchstaben, von denen gesagt werden kann, dass sie in dieser „Welt“ wahr sind. Beispielsweise hat die Formel (p ∨ q) 2 ² mögliche Wahrheitszuweisungen, 4 mögliche Welten: 00, 01, 10 und eine 11-Welt. Die erste kann als die Welt beschrieben werden, in der weder p noch q gelten; die zweite als die Welt, in der p gilt, aber q nicht, und so weiter. Die Formel wird weder eine Tautologie noch ein Widerspruch (also eine Kontingenz) sein, denn es gibt Welten (nämlich: 01, 10 und 11), wo sie gilt, und es gibt eine Welt (nämlich: 00), wo sie gilt. t.

Das ist die Grundidee. Für eine Standardbehandlung von Wahrheitszuweisungen siehe:

Enderton, H. (1972) A Mathematical Introduction to Logic , 2. Auflage, § 1.2.

Ja, du kannst! Mögliche Weltsemantiken für aussagenlogische Modallogik können durch Boolesche Algebren mit Operatoren modelliert werden. Siehe B. Jonsson und A. Tarski: Boolesche Algebren mit Operatoren. American Journal of Mathematics 73 (1951) und R. Bull und K. Segerberg: Basic Modal Logic. In: Handbuch der Philosophischen Logik . Vol. 3.