Geometrie der Yang-Mills-Theorie

Zweifellos ist DeWitts The Global Approach to Quantum Field Theory das beste Nachschlagewerk, um etwas über Eichtheorien zu lernen . In diesem Buch finden Sie die allgemeinste Formulierung sowohl der klassischen als auch der Quantenfeldtheorie und eine gründliche Diskussion praktisch aller verwandten Unterthemen. Die Formulierung ist von vornherein allgemein kovariant (Nr$3+1$Splitten); gilt für Felder beliebiger Grassmann-Parität und beliebigen Spins; und es ist in der Lage, jede Eichalgebra (offen, reduzierbar usw.) aufzunehmen. Die Formulierung übernimmt die moderne Sichtweise, die auf dem funktionalen Integral als primitivem Konzept basiert, und löst sich damit von den Methoden der alten Schule der kanonischen Quantisierung.

Das zweibändige Set ist über tausend Seiten lang und aus dem Jahr 2003, also ziemlich aktuell. Wenn es um Eichtheorien geht, können Sie es nicht besser machen. Wenn Sie sich für ein Buch entscheiden möchten, sollten Sie sich unbedingt für dieses entscheiden. Viel Glück!

Einige Leute würden sagen, dass die in anderen Antworten zitierten Bücher veraltet sind. Ich muss widersprechen, dass die Yang-Mills-Theorie, wie sie in den 90er Jahren präsentiert wurde, veraltet ist. In den letzten 30 Jahren hat sich die Teilchenphysik nicht drastisch verändert. Die vielleicht größten Neuigkeiten in dieser Zeit waren die Entdeckungen des Higgs-Teilchens, der Neutrino-Oszillationen, des Top-Quarks und des Tau-Neutrinos. Nichts davon änderte jedoch unser Wissen über Eichtheorien.

Wie Ihr Beitrag andeutet, interessieren Sie sich mehr für die Eichfeldtheorie und ihren mathematischen Formalismus als für die Teilchenphysik selbst, daher kann ein Buch wie das von Baez & Muniain (BM) überhaupt nicht veraltet sein. In der Tat ist dies einer der besten Orte für einen ersten Kontakt mit Differentialgeometrie und Topologie für Physiker. Es ist in sich abgeschlossen, sehr gut geschrieben und präsentiert die wichtigsten mathematischen Konzepte, die für das Verständnis von Eichtheorien grundlegend sind. Sie vermeiden umständliche Beweise und ziehen es vor, einige Ergebnisse zu skizzieren, als sie rigoros zu präsentieren. Dieser Mangel an mathematischer Strenge sollte jedoch kein Problem darstellen, da das Ziel des Buches lediglich darin besteht, Geometrie und Topologie einzuführen.

Es gibt ein Buch von B. Felsager: Geometry, Particles, and Fields , das die Mathematik der Eichtheorien außergewöhnlich gut abdeckt. Neben Baez & Muniain werden Geometrie und Topologie vorgestellt, der Schwerpunkt liegt hier jedoch mehr auf Berechnungen. Es deckt im Vergleich zu BM mehr Themen ab und enthält die Grundlagen der Pfadintegralquantisierung. Wenn Sie ein eher neueres Buch mit ähnlichen Themen suchen, versuchen Sie es mit The Geometry of Physics 2013 von T. Frankel. Meiner Meinung nach sind beide Bücher ausgezeichnet und es gibt aufgrund ihres Altersunterschieds keinen großen Unterschied zwischen ihnen.

Mein Lieblingsbuch über klassische Eichtheorien ist V. Rubakovs Classical Theory of Gauge Fields. Das Buch stammt aus dem Jahr 2002, und wir wissen heute nichts über klassische Eichtheorien, das dort nicht behandelt wird. Obwohl das Buch nicht viel Wert auf Geometrie legt, ist es in vielen anderen Aspekten einzigartig. Zum Beispiel gibt es gründliche Diskussionen über Lie-Algebren und -Gruppen (einschließlich Darstellungstheorie), Symmetrien und die Rolle der Topologie in Eichtheorien. Es ist mathematisch in sich geschlossen, physikalisch streng und detailliert. Ein Teil des Buches erfordert jedoch Vorkenntnisse in Quantenmechanik. Es hat den Stil von Vorlesungsnotizen und konzentriert sich auf explizite Berechnungen anstelle von Phänomenologie und Handbewegungsargumenten. Es hat auch viele gute Übungen, die immer wieder im Buch auftauchen. Das einzige, was mich stört, ist, dass der Autor aus irgendeinem Grund beschlossen hat, alle Lorentz-Indizes nach unten zu verwenden.

Wenn Sie an Quantenaspekten von Eichtheorien sowie Teilchenphysik interessiert sind, können Sie Eichtheorien der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkungen, 2. Auflage, ausprobieren. von C. Quigg. Dies ist aus Sicht der Teilchenphysik definitiv auf dem neuesten Stand und deckt die klassische Feldtheorie bis zur Teilchenphysik ab und bietet auch eine Einführung in Grand Unified Theories. Ich glaube aber nicht, dass es in sich geschlossen ist. Sie werden aus diesem Buch keine Quantenfeldtheorie lernen und es hat eher den Stil eines phänomenologischen und pragmatischen Buches: Sie kennen die Feynmann-Regeln und ziehen dann alles daraus, was Sie können. Es ist eine direkte Folge zu Rubakovs Buch.

Wenn Sie an Grand Unification interessiert sind, ist Slanskys Überarbeitungspapier Group Theory for Unified Model Building einer der besten Ausgangspunkte . Es konzentriert sich hauptsächlich auf Lügenalgebren und Darstellungstheorie. Es mag ein bisschen alt sein, aber diese mathematischen Themen haben sich seit 1983 nicht geändert.

Diese Bücher, zusammen mit einem guten Buch über Quantenfeldtheorie, werden Ihnen ein solides Verständnis der Hochenergiephysik vermitteln und Ihnen die Voraussetzungen dafür geben, auf diesem Gebiet zu arbeiten.

Das schwierigste Problem in der Yang-Mills-Theorie ist das Problem der Reduktion der Eichsymmetrie (Redundanz); dh die Charakterisierung des Orbitraums von Eichpotentialen modulo Eichtransformationen.

In 3+1-Dimensionen ist dieser Raum sowohl geometrisch als auch topologisch furchtbar kompliziert. Die Lösung dieses Problems sollte Licht in die seit langem offenen Probleme der Yang-Mills-Theorie wie Massenlücke und Einschluss bringen. Der reduzierte Orbitraum ist unendlich dimensional und nicht einmal eine Mannigfaltigkeit.

Wenn wir eine Lösung für dieses Problem wüssten, könnten wir im Prinzip den reduzierten Konfigurationsraum quantisieren (mittels geometrischer Quantisierung, was selbst ein gewaltiges Problem ist) und die Quanten-Yang-Mühlen erhalten, die die oben vermuteten Eigenschaften widerspiegeln sollten.

Die meisten der bekannten Verfahren (mit Ausnahme der Gitterregulierung) verwenden eine Eichfixierung (zusammen mit Feddeev-Popov-Geistern und BRST), um die Eichredundanz zu reduzieren. Dieses Verfahren reduziert die Eichredundanz nur näherungsweise, da es unter dem Problem von Gribov-Kopien leidet. Es wird angenommen, dass diese Annäherung nur in der Störungstheorie gültig ist. Es gibt mehrere störungsfreie Annäherungen wie die Faddeev-Niemi-Theorie, aber ihre Verbindung zu Yang-Mills ist nur heuristisch.

Zwei Physiker: Gurd Rudolf und Matthias Schmidt (zusammen mit einer Reihe von Mitarbeitern) arbeiten an mehreren Methoden, um dieses schwierige Problem anzugehen, indem die Eichredundanz ohne Eichfixierung reduziert wird. Sie haben viele Veröffentlichungen zu diesem Thema. Sie verwenden hauptsächlich Methoden der Geometrie und Topologie. Ihre Bemühungen führten zu bestimmten Klassifizierungsergebnissen der Umlaufbahn des Yang-Mills-Messgeräts. Sie schrieben ein Buch mit dem Titel Differentialgeometrie und mathematische Physik ( Teil 1 , Teil 2 ).

In dem Buch geben sie in einer rigorosen mathematischen Darstellung einen detaillierten Bericht über die Grundlagen der Geometrie und Topologie, die für die Yang-Mills-Theorie relevant sind. Das gesamte Buch kann jedoch als Einführung in die letzten beiden Kapitel von Teil 2 angesehen werden, wo sie einige ihrer Ergebnisse bei der Klassifizierung und Quantisierung der Yang-Mills-Theorie darlegen. Dieses Thema ist sehr schwer. Ihre Forschung ist noch nicht abgeschlossen. Sie haben Ergebnisse für bestimmte Spielzeugmodelle, wie z. B. ein Gitter aus einer einzelnen Plakette. Sie behandeln sowohl Probleme der klassischen Charakterisierung des Orbitraums als auch seiner Quantisierung für diese Modelle. Das Buch deckt viele fortgeschrittene Themen ab und kann ein nützliches Nachschlagewerk für Physiker sein, die sich für die Erforschung der Yang-Mills-Theorie und Quantisierung interessieren.

Eine detaillierte Darlegung des mathematischen Hintergrundmaterials, das für die Eichtheorie benötigt wird, ist in einem Buch von Mark Hamilton mit dem Titel „Mathematical Gauge Theory; With Applications to the Standard Model of Particle Physics“ enthalten. Die letzten Kapitel befassen sich mit den physikalisch relevanten Anwendungen der Yang-Mills-Theorie.

Eines meiner absoluten Lieblingsbücher ist
Baez, J. und Muniain, JP: Gauge Fields, Knots and Gravity . World Scientific Publishing Co Inc, 1994.
Teil II des Buches ist das, wonach Sie vielleicht suchen, er erklärt die mathematischen (geometrischen) Grundlagen der klassischen Yang-Mills-Theorie. Meiner Meinung nach ist das Buch sehr gut lesbar und geht gerade genug auf mathematische Details ein; Gleichzeitig vergisst es nicht, alle physikalisch interessanten Anwendungen zu erwähnen.

Wenn Sie die Mathematik in ihrer vollen Pracht mit mehr Details wollen, ist die Standardreferenz
Nakahara, M.: Geometry, Topology and Physics . CRC Press, 2003.
Dieses Buch erfordert etwas mehr Kampf, um durchzukommen.