Geschwindigkeit, mit der ein Pendelkörper aufgrund des Luftwiderstands langsamer wird?

Der Widerstand für eine Kugel ist ungefähr proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat über einen weiten Bereich von Geschwindigkeiten (solange die Reynolds-Zahl angemessen groß ist) und gegeben durch

$$F= \frac12 \rho v^2 A C_D$$

Wo$\rho$ist die Dichte des Mediums (ca. 1,2 kg/m$^3$für Luft),$v$ist die Geschwindigkeit, A die Querschnittsfläche ($\pi r^2$) Und$C_D$der Luftwiderstandsbeiwert, der mit der Reynolds-Zahl variiert, aber für einen weiten Bereich von Geschwindigkeiten auf 0,5 angenähert werden kann.

Da das Quadrat der Geschwindigkeit proportional zur Höhe von der Spitze des Schwungs ist, deutet dies darauf hin, dass die durch die Widerstandskraft geleistete Arbeit ungefähr proportional zur Höhe des Schwungs multipliziert mit dem Bogen des Schwungs ist.

Sie werden anhand der bereits gegebenen Antworten und Kommentare feststellen, dass dies ein kompliziert zu analysierendes System ist.

Es wurden zwei Reibungskraftregime vorgeschlagen.

Einer ist$F_D= \frac12 \rho v^2 A C_D$die Reibungskraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und die andere$F_D = 6 \pi r v \eta$wobei die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist (Gesetz von Stokes).

$r$ist der Radius des Bobs,$A=\pi r^2$,$\rho$ist die Dichte der Luft,$C_D$ist der Luftwiderstandsbeiwert, der von der Reynolds-Zahl abhängt (siehe unten) und$\eta$das ist die Viskosität der Luft.

Ein wichtiger dimensionsloser Parameter in der Fluiddynamik ist die Reynolds-Zahl, die in diesem Beispiel geschrieben werden kann als$R_e = \dfrac {r v \rho}{\eta}$.

Wenn die Reynolds-Zahl groß ist$(>1000)$dann herrscht das Geschwindigkeitsquadrat-Regime vor, wohingegen wenn die Reynolds-Zahl klein ist$(<1)$dann überwiegt das Geschwindigkeitsregime.

Beachten Sie, dass der Luftwiderstandsbeiwert für niedrige Reynolds-Zahlen umgekehrt proportional zur Reynolds-Zahl und daher umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit ist. Der Luftwiderstand ist also in diesem Bereich wieder proportional zur Geschwindigkeit.

Es gibt auch eine massive Komplikation, ob der Luftstrom, der den Bob passiert, laminar oder turbulent ist, und auch die Oberflächenbeschaffenheit des Bobs wird zu der Komplikation beitragen.

Nun, das Experiment, das Sie durchgeführt haben, ist eines, das von vielen Schülern durchgeführt wurde, und es gibt Unterschiede in Bezug auf die Aufzeichnung der Daten.

Ihre Variation misst eine Höhe von der Gleichgewichtsposition, was experimentell schwierig sein könnte, genau zu sein.

Andere Variationen bestehen darin, die Winkelamplitude der Schwingung zu messen$\theta$da es mit jeder Zeit variiert$t$oder Anzahl der Schwünge$n$.
Eine andere Variante besteht darin, die Amplitude des Schwungs mit einem horizontalen Lineal zu messen. Bei dieser Variation können Sie die Anzahl der Schwingungen zählen, wenn die Amplitude schrittweise um beispielsweise einen Zentimeter abfällt.

Es gibt Komplikationen, da die Periode des einfachen Pendels mit der Amplitude usw. variiert. Das bedeutet, dass die Zeit$t$denn eine gegebene Anzahl von Schwüngen ist nicht proportional zur Anzahl von Schwüngen$n$.

Die theoretische Analyse mit der Annahme, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist, ist viel einfacher (wie in einem der Kommentare beschrieben) als mit der Annahme, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat ist.

Bei einer Reihe von Annahmen sagt das Geschwindigkeitsregime eine Beziehung der Form voraus

$A_n=A_o e^{-k n}$oder$A(t) = A(0) = e^{-k' t}$

für die Variation der Amplitude. mit Anzahl der Schwünge oder Zeit.

So$\ln(A_n) = -k\; n + \ln(A_n)$könnte eine vernünftige Beziehung sein, wenn Sie ein Diagramm von zeichnen$\ln(A_n)$gegen$n$und erhielt ein gerades Liniendiagramm.

Nebenbei können Sie dann sehen, ob die Reynolds-Zahl in Ihrem Experiment niedrig ist, indem Sie Werte von einsetzen$v, r \rho$Und$\eta$?

Es gibt umfangreiche (100 Artikel) lit. im Internet in Bezug auf atmosphärischen Widerstand und Luftwiderstand im Allgemeinen. Ein kugelförmiger Bob und ein sehr dünner Stab machen das Problem sehr einfach. Man kann diese Grafik verwenden:

http://eis.bris.ac.uk/~memag/Teaching/Multi/dragcurve.pdf ,

und berechnete dann die Reynolds-Zahl, um die Widerstandskraft unter Verwendung der Formel zu finden, die vom ersten Antwortenden (Floris) angegeben wurde. Sie fragen nach der Geschwindigkeit, das ist die Kraft (oben gefunden) mal die Geschwindigkeit. Im Bereich des kleinen Winkels (definiert von einem anderen Antwortenden) und wenn der Verlust (Verlust) klein ist, dh ein hohes Q, dann kann man sich annähern, indem man die Position differenziert; auch oben angegeben. Ich vermute, Sie wollen den Gesamtverlust für jeden Zyklus (Periode). Dazu muss man die Rate über die Zeit integrieren. Mindestens zwei technische Texte machen das: „Vibration Theory and Applications“ (Thomson) und „Fundamentals of Mechanical Vibrations“ (KELLY), und ich habe den „ganzen Kram“ in meinem Entwurf für den Horological Science Newsletter gemacht. Es kann gefunden werden Hier:

http://www.cleyet.org/Pendula,%20Horological%20and%20Otherwise/HSN/Drafts/

wenn ich "dazu komme", es dort hinzustellen.

bc, empfiehlt das Studium von Eisbergs (und Lerner) Physik/ Grundlagen und Anwendungen. Dieser Text befasst sich auf der einfachstmöglichen Ebene.

Die Pendelbewegung wird beschrieben durch$\ddot{\theta} + 2 \gamma \dot{\theta} + \omega^2 \sin(\theta)= 0$, Wo$\theta$ist der Winkel von der vertikalen Position,$\gamma$ist der Verlustkoeffizient, und$\omega^2 = g/l$. Für kleine Winkel ($\theta < \sim \pi/6)$, diese Gleichung kann angenähert werden als$\ddot{\theta} + 2 \gamma \dot{\theta} + \omega^2 \theta= 0$. Die letzte Gleichung hat eine Lösung

$$\theta = e^{-\gamma t} [\theta_0 \cos(\Omega t) + (v_0 + \gamma \theta_0) \sin(\Omega t)/ \Omega],$$ Wo $\Omega = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}$, $\theta(0) = \theta_0$Und $\dot{\theta}(0) = v_0$. Eine Höhe von der Gleichgewichtsposition wird als gefunden $h(t) = l [1-\cos(\theta)] \approx l(1-\theta^2/2)$. Wenn Sie planen $h(t)$, dann gibt jedes gerade (oder ungerade) Maximum die Höhe nach einem Schwung an, d.h $h_0$, $h_1$, $h_2$, $\dots$Bei großen Winkeln muss man die nichtlineare Gleichung lösen. Es ist auch möglich, in diesem Fall eine explizite Lösung zu schreiben, aber es ist viel komplizierter.