Wie weit würde ein Pfeil in einer Raumstation fliegen und trotzdem tödlich sein?

Wie weit würde es gehen, bevor es einfach stehen blieb und in der Luft schwebte?

Ich biete eine zweite Meinung an. Irgendwann kommt der Pfeil tatsächlich zum Stehen, und selbst nach unendlich langer Zeit hat der Pfeil nur eine endliche Strecke zurückgelegt.

Die Annahme, dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, gilt nur bei hohen Reynolds-Zahlen, bei denen die Turbulenz die Viskosität dominiert. (Nebenbei: Es trifft dann nicht einmal ganz zu. Es gibt eine Reihe von Annahmen, die in diese Herleitung einfließen. Der Luftwiderstandsbeiwert ist nicht konstant, sondern hängt von der Geschwindigkeit ab.)

Turbulenz ist bei niedrigen Reynolds-Zahlen im Wesentlichen nicht vorhanden, was bedeutet, dass alle verschiedenen Terme, die zu einem (ungefähr) quadratischen Widerstandsterm der Geschwindigkeit führen, verschwinden. Der viskose Widerstand, auch bekannt als Stokes-Widerstand, ist die dominierende Quelle des Widerstands in Systemen mit niedriger Reynolds-Zahl. Hier ist der Luftwiderstand (ungefähr) proportional zur Geschwindigkeit und nicht zum Quadrat der Geschwindigkeit:

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -k\frac{dx}{dt}$$

Das bedeutet, wenn ein Objekt, das einem viskosen Widerstand ausgesetzt ist, eine Geschwindigkeit relativ zur Flüssigkeit hat, kommt das Objekt zum Stillstand (bei$t=\infty$) nach einer zurückgelegten Strecke von$\frac v k$.

Was die genaue Entfernung ist, wo das Objekt zum Stillstand gekommen ist, ist eher ein technisches als ein physikalisches Problem. Gleiches gilt für die erste Frage, die Entfernung, bei der der Pfeil nicht mehr tödlich ist.

Die Widerstandskraft auf einen Pfeil ist bei hoher Geschwindigkeit proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und bei niedriger Geschwindigkeit proportional zur Geschwindigkeit selbst. Angenommen, die Anfangsgeschwindigkeit$v_0$hoch ist, können wir den Luftwiderstand proportional zu vernachlässigen$v$und die Bewegungsgleichung,$\vec F=m\vec a$, ist einfach

$$\frac{dv}{dt}=-\frac{b_2}{m}v^2,$$ für einen Massenpfeil $m$im $Ox$Achse. Wir integrieren diese Gleichung $$\int_{v_0}^v\frac{dv}{v^2}=-\frac{b_2}{m}\int_0^t dt,$$ erhalten $$v(t)=\frac{mv_0}{m+v_0b_2t}.$$

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit gegen Null geht, wenn die Zeit gegen unendlich geht, dh der Pfeil hält tatsächlich nie an.

Schreiben$v=dx/dt$wir können die obige Gleichung integrieren,

$$\int_0^x dx=\int_0^t \frac{mv_0}{m+v_0b_2t}dt,$$ was gibt $$x=\frac{m}{b_2}\ln\frac{m+v_0 b_2t}{m}.$$ Wenn Sie die Entfernung wissen wollen $x$als Funktion der Geschwindigkeit $v$du eliminierst einfach $t$aus den beiden Gleichungen. Wenn Sie dann wissen, welche Geschwindigkeit erforderlich ist, um jemanden zu töten (was meiner Meinung nach kein Thema ist), stecken Sie die Zahlen ein und erhalten die Entfernung.

Bearbeiten: Wenn der Pfeil eine niedrige Geschwindigkeit erreicht hat, ist die Widerstandskraft proportional zu$v$. Die Bewegungsgleichung lautet

$$\frac{dv}{dt}=-\frac{b_1}{m}v,$$ dessen Lösung ist $$v=v_0e^{-b_1t/m}.$$ Wenn wir noch einmal integrieren, erhalten wir $$x=\frac{mv_0}{b_1}\left( 1-e^{-b_1t/m}\right).$$ Die zurückgelegte Gesamtstrecke im Grenzbereich niedriger Geschwindigkeiten ( $v\ll b_1/b_2$) ist deshalb $mv_0/b_1$.