Gibt es bei der Quantenmessung Informationserhaltung?

Betrachten Sie das folgende Experiment. Ich drehe -$\frac{1}{2}$Teilchen und mache a$\sigma_x$Messung (messen Sie den Spin in der$x$Richtung), dann machen Sie a$\sigma_y$Messung, dann noch eine$\sigma_x$dann eins$\sigma_y$, und so weiter für$n$Messungen. Der Formalismus der Quantenmechanik sagt uns, dass die Ergebnisse dieser Messungen zufällig und unabhängig sind. Ich habe jetzt eine Kette von völlig zufälligen Bits der Länge$n$. Kurz gesagt, meine Frage ist, woher kommen die Informationen in dieser Zeichenfolge?

Die offensichtliche Antwort lautet: "Quantenmessungen sind grundsätzlich indeterministisch und es ist einfach ein physikalisches Gesetz, dass Sie dabei eine zufällige Zeichenfolge erhalten". Das Problem, das ich dabei habe, ist, dass gezeigt werden kann, dass die einheitliche Evolution von Quantensystemen die von Neumann-Entropie bewahrt, genauso wie die Hamilton-Evolution eines klassischen Systems die Shannon-Entropie bewahrt. Im klassischen Fall kann dies so interpretiert werden, dass „kein Prozess Informationen auf mikroskopischer Ebene erzeugen oder zerstören kann“. Es scheint, als sollte das Gleiche auch für den Quantenfall gelten, aber dies scheint schwer mit der Existenz von "echter" Zufälligkeit in der Quantenmessung in Einklang zu bringen, die anscheinend Informationen erzeugt.

Es ist klar, dass es einige Interpretationen gibt, für die dies kein Problem darstellt. Insbesondere für eine No-Collaps-Interpretation endet das Universum einfach in einer Überlagerung von$2^n$Zustände, die jeweils einen Beobachter enthalten, der eine andere Ausgabezeichenfolge betrachtet.

Aber ich bin kein großer Fan von No-Collapse-Interpretationen, also frage ich mich, wie andere Quanteninterpretationen damit umgehen. Insbesondere in der „Standard“-Interpretation (womit ich diejenige meine, an der die Leute festhalten, wenn sie sagen, dass die Quantenmechanik keine Interpretation benötigt), wie wird die Unbestimmtheit der Messung mit der Erhaltung der von Neumann-Entropie in Einklang gebracht? Gibt es eine andere Interpretation als No-Collapse, die es besonders gut lösen kann?

Nachtrag

Es erscheint mir sinnvoll, meine derzeitigen Überlegungen dazu zusammenzufassen und einen weiteren Versuch zu unternehmen, klarzustellen, was ich wirklich verlange.

Ich möchte mit dem klassischen Fall beginnen, denn nur dann kann ich deutlich machen, wo die Analogie zu versagen scheint. Betrachten wir ein klassisches System, das eines von übernehmen kann$n$diskrete Zustände (Mikrozustände). Da ich zunächst nicht weiß, in welchem ​​Zustand sich das System befindet, modelliere ich das System mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Das System entwickelt sich im Laufe der Zeit. Wir modellieren dies, indem wir den Vektor nehmen$p$von Wahrscheinlichkeiten und Multiplikation mit einer Matrix T bei jedem Zeitschritt, d.h$p_{t+1} = Tp_t$. Das diskrete Analogon der Hamiltonschen Dynamik erweist sich als die Annahme, dass$T$ist eine Permutationsmatrix, dh sie hat in jeder Zeile und Spalte genau eine 1, und alle anderen Einträge sind 0. (Beachten Sie, dass Permutationsmatrizen eine Teilmenge von unitären Matrizen sind.) Es stellt sich heraus, dass unter dieser Annahme die Gibbs-Entropie (auch bekannt als Shannon-Entropie)$H(p)$ändert sich nicht mit der Zeit.

(Nebenbei sei noch erwähnt, dass statt Repräsentieren$p$als Vektor könnte ich es als Diagonalmatrix darstellen$P$, mit$P_{ii}=p_i$. Es sieht dann sehr nach dem Dichtematrix-Formalismus aus, mit$P$die Rolle spielen$\rho$und$T$was gleichbedeutend mit einheitlicher Evolution ist.)

Nehmen wir nun an, ich führe eine Messung des Systems durch. Wir gehen davon aus, dass ich das System dabei nicht störe. Nehmen wir zum Beispiel an, das System hat zwei Zustände, und ich habe zunächst keine Ahnung, in welchem ​​von ihnen sich das System befindet, also$p=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Nach meiner Messung weiß ich, in welchem ​​Zustand sich das System befindet, also$p$wird beides werden$(1,0)$oder$(0,1)$mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Ich habe ein bisschen Information über das System erhalten, und$H(p)$hat sich um ein bisschen reduziert. Im klassischen Fall werden diese immer gleich sein, es sei denn, das System interagiert mit einem anderen System, dessen Zustand ich nicht genau kenne (wie zB einem Wärmebad).

Unter diesem Gesichtspunkt ist die Änderung der von Neumann-Entropie bei einer Quantenmessung nicht überraschend. Wenn die Entropie nur einen Mangel an Informationen über ein System darstellt, sollte sie natürlich abnehmen, wenn wir Informationen erhalten. In den Kommentaren unten, wo ich mich auf Interpretationen des "subjektiven Zusammenbruchs" beziehe, meine ich Interpretationen, die versuchen, den "Zusammenbruch" einer Wellenfunktion als analog zum oben beschriebenen "Zusammenbruch" der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und der von Neumann-Entropie zu interpretieren als analog zur Gibbs-Entropie. Diese werden auch „$\psi$-epistemische" Interpretationen.

Aber es gibt ein Problem, nämlich dieses: In dem zu Beginn dieser Frage beschriebenen Experiment erhalte ich mit jeder Messung ein Bit an Informationen, aber die von Neumann-Entropie bleibt konstant (bei Null), anstatt um ein Bit abzunehmen jedes Mal. Im klassischen Fall ist „die Gesamtinformation, die ich über das System gewonnen habe“ + „Unsicherheit, die ich über das System habe“ konstant, während sie im Quantenfall zunehmen kann. Das ist beunruhigend, und ich nehme an, was ich wirklich wissen möchte, ist, ob es eine bekannte Interpretation gibt, in der diese "zusätzlichen" Informationen irgendwie berücksichtigt werden (z. B. könnten sie von thermischen Freiheitsgraden im Messgerät stammen) oder in welcher es lässt sich zeigen, dass etwas anderes als die von Neumann-Entropie analog zur Gibbs-Entropie eine Rolle spielt.