Gibt es eine direkte physikalische Interpretation für die komplexe Wellenfunktion?

Ich hinterlasse eine Antwort auf Ihre letzte Frage, ob komplexe Zahlen für QM erforderlich sind.

Scott Aaronson hat hier einen netten Vortrag gehalten http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html , scrollen Sie nach unten zum Abschnitt über reelle vs. komplexe Zahlen.

Mein Lieblingsargument ist das erste – das, wenn Sie einen linearen Operator haben$U$, dann möchten Sie Operatoren wie haben$V$Wo$V^2=U$, einfach weil Sie Kontinuität erwarten; dh wenn Sie eine vollständige Transformation durchführen dürfen, sollten Sie auch "die Hälfte" davon durchführen können. (Wenn das Warten für eine Sekunde erlaubt ist, dann sollte auch das Warten für eine halbe Sekunde erlaubt sein). Um im Allgemeinen Quadratwurzeln von Operatoren zu haben, müssen Sie Operatormatrizen mit komplexen Elementen zulassen. Und sobald Sie das zulassen, müssen die Zustandsvektoren, auf die sie wirken, im Allgemeinen auch komplex sein. Ihre Wellenfunktion muss also auch komplex sein.

Können wir Quantenmechanik ohne komplexe Zahlen machen? Ja.
Verwenden Sie die geometrische Algebra (GA) als einfacheres Gerüst, um Physik auszudrücken:

Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics
Geometry Algebra (GA) umfasst in einem einzigen Rahmen für all dies:

• Synthetische Geometrie,
• Koordinatengeometrie,
• Komplexe Variablen ,
• Quaternionen,
• Vektoranalyse,
• Matrixalgebra,
• Spinoren,
• Tensoren,
• Differentialformen.

Es ist eine Sprache für die gesamte Physik.
Wahrscheinlich hätten Schrödinger, Dirac, Pauli, etc ... GA verwendet, wenn es das damals gegeben hätte.

GA Reduces “grad, div, curl and all that” to a single vector

Ableitung, die unter anderem den Standardsatz von vier Maxwell-Gleichungen zu einer einzigen Gleichung kombiniert und neue Methoden zu ihrer Lösung bereitstellt.

Mit der geometrischen Algebra ist eine intuitive Ansicht um die Ecke (Geometrievorstellungen passen besser in meinen Kopf). In dieser PSE verlinke ich eine Liste von Ressourcen von GA.

Zu Ihrer Frage: Können wir Quantenmechanik ohne komplexe Zahlen machen?

Ja. Man kann im Allgemeinen jede komplexe Zahl durch eine 2x2-Matrix mit reellen Werten ersetzen.

$a+ib ~=~\left(\begin{array}{rr} ~~a & -b \\ b & a \end{array}\right)$

Andere Beispiele sind die komplexen Pauli-Matrizen und die Quaternionen, die beide durch reellwertige 4x4-Matrizen ersetzt werden können. Die Verwendung komplexer Werte in der Physik hat nichts Magisches oder Besonderes.

Das Problem ist nicht so sehr, dass Sie die Frage nicht stellen sollten, sondern dass Sie, wenn Sie die Frage stellen, möglicherweise von vielen verschiedenen Antworten überschwemmt werden, zwischen denen Beziehungen bestehen, die Sie möglicherweise nicht verstehen können, es sei denn du hast schon viel gelesen.

Eine mäßig Standardantwort ist, dass die Born-Interpretation der Wellenfunktion Sie weit bringt. Man kann die Statistik experimenteller Rohdaten recht gut durch Wahrscheinlichkeitsmaße modellieren, die aus der Mathematik der Quantenmechanik stammen, wenn man das richtige Modell für die experimentelle Apparatur bekommt. Eine einfache Art zu sagen, was QM vorhersagt, wenn Messungen nicht pendeln (das ist nicht sehr üblich), ist, dass die Wahrscheinlichkeiten negativ ausfallen und Sie kein Experiment durchführen können, das Statistiken erhält, die diesen Wahrscheinlichkeiten entsprechen, von denen wir kann sagen, dass diese Messungen nicht kompatibel sind.

Eine ausgefallene Rechtfertigung für komplexe Zahlen – meiner Meinung nach definitiv kein Standard, und es gibt sicherlich andere Versuche dazu – ist Leon Cohens Artikel „Rules of Probability in Quantum Mechanics“, Foundations of Physics 18, 983 (1988) (der Wahrscheinlichkeiten bindet zu komplexen Strukturen, indem gezeigt wird, dass die Einführung eines charakteristischen Funktionsansatzes eine komplexe Struktur natürlich macht – obwohl dies Sie über die Zirkularität beunruhigen sollte), die leider nur hinter einer Paywall verfügbar ist, unter https://doi.org/10.1007/BF01909934 , da es für eine arXiv-Preprint-Version noch zu früh ist.

EDIT: Aber algebraische Vollständigkeit ist ein sehr guter Grund, der den Vorteil hat, dass er schön von der Zunge fällt.

EDIT (2): Die Frage ist vielleicht, ob es eine natürliche komplexe Struktur gibt. Der einzig mögliche Kandidat, soweit ich das je gesehen habe, ist das Hodge-Dual in Tensorform${\epsilon^{\alpha\beta}}_{\mu\nu}$, im äußeren Kalkül$\star$, aber bisher hat mir nichts gefallen, was ich gesehen oder versucht habe zu konstruieren, das diese Struktur verwendet. Ehrlich gesagt ist es oft nicht einfach, Ansätze ernst zu nehmen, die das Hodge-Dual mit ontologischer Ernsthaftigkeit nehmen. Der übliche Ansatz führt effektiv eine komplexe Struktur ein$i$als das Imaginäre, das verwendet wird, wenn man eine Fourier-Transformation konstruiert, was eine ganz natürliche Einführung ist, aber aus keinem anderen Grund eine natürliche Struktur ist.

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist in fast allen Lehrbüchern korrekt angegeben. Seine "Ungewöhnlichkeit" ist auf eine zu vereinfachte Vermittlung der klassischen Mechanik zurückzuführen. Fragen Sie sich zum Beispiel, was die Mondposition ist. Es ist ein Durchschnitt vieler Datenpunkte. Die CM-Sicherheit wird als Ergebnis der Mittelung vieler Datenpunkte erhalten. "Viele Datenpunkte" sind eine intrinsische Sache für physikalische Phänomene. In der Tat, können Sie irgendjemanden in irgendetwas überzeugen, wenn Sie nur einen Punkt auf Ihrem Fotofilm bringen? In der QM ist die Position keine Funktion der Zeit mehr, sondern ein Operator mit unterschiedlichen Eigenwerten. Die Gesamtheit dieser Eigenwerte beschreibt einen Zustand. Ein Punkt beschreibt leider keinen Zustand. Ein Foto des Mondes unterscheidet sich von einem Foto des Mars in Details, die unterschiedliche Punkte sind.

Arrays von Daten sind also nichts Ungewöhnliches in der Physik. Sie sind notwendig und in unseren Vorstellungen von Raum, Zeit, Bezugssystemen usw. enthalten. Diese Anordnungen gehorchen ihren eigenen Gesetzen. Diese Gesetze sind manchmal Wellengesetze. Die Wellenfunktion ist also eine Darstellung der Daten, die ein bestimmtes physikalisches System beschreiben, wenn es "viele Male" beobachtet wird. Ohne Mittelung ist es detaillierter als nach Mittelung. Um mit komplexen Wellen fertig zu werden, denken Sie an die Lichtbeschreibung in Form komplexer Amplituden und an den Weg, um eine reelle Intensität zu erhalten.

Es gibt einen Unterschied zwischen der physikalischen Bedeutung der Wellenfunktion und der physikalischen Bedeutung eines Wertes der Wellenfunktion. Stellen Sie sich ein System aus zwei Komponenten vor, die nicht unterscheidbar sind, mit einem räumlichen Freiheitsgrad und einem halben Spin. Dann könnten wir zum Beispiel psi(q_1,p_2,s_1,s_2) haben, wobei s_i Spin-Variablen sind, die die Werte 1,-1 annehmen. {Oder hätte man eine andere Polarisierung des Konfigurationsraums wählen können, hätte es xi(q_2,p_1,s_1,s_2) sein können.} (Ich lasse die Bedingungen weg, die psi erfüllen muss.)

Die physikalische Bedeutung von psi als Ganzes (bis auf einen Phasenfaktor) ist, dass es der "Zustand" ist, in dem sich das System befindet. "Zustand" ist ein physikalischer Begriff, er umfasst alle physikalischen Eigenschaften des Systems. Jede weitere Frage wie „Was ist ein Staat“ ist im Wesentlichen Philosophie, nicht Physik.

Die physikalische Bedeutung des Werts von psi (vorausgesetzt, psi ist normalisiert, um eine L^2-Normeinheit zu haben) bei einem bestimmten Wert von q_1, p_2, s_1 und s_2 ist, dass das Quadrat des Moduls des Werts die Wahrscheinlichkeit ist, dass die System liefert ein Messergebnis von Position der ersten Komponente = q_1, Impuls der zweiten Komponente = p_2, Spin der ersten Komponente = s_1, Spin der zweiten Komponente = s_2 --- vorausgesetzt natürlich, dass das System mit der geeigneten Messvorrichtung interagiert für diesen Fragenkomplex.

Die physikalische Bedeutung von psi als Ganzes oder von xi als Ganzes ist dieselbe. Und diese Bedeutung ist einfach eines der sechs Axiome der QM. Die physikalische Bedeutung der Werte von psi unterscheidet sich von denen von xi, aber diese physikalischen Bedeutungen folgen logisch aus der physikalischen Bedeutung von psi oder xi als Ganzes plus den Messaxiomen plus den Definitionen der Spin-Observablen, Positions-Observablen und Impuls beobachtbar.

Genauso wie man eine Funktion untersuchen könnte, ohne Koordinaten auszuwählen (und damit erst recht keine Polarisation des Konfigurationsraums auszuwählen) und ohne ihre Werte zu untersuchen, macht die physikalische Bedeutung von psi unabhängig von der physikalischen Bedeutung ihrer Werte Sinn und ist: im üblichen axiomatischen Rahmen des QM, logisch vorausgehend. Aber es gibt Rekonstruktionen von QM, die diese Reihenfolge umkehren. Einige Leute bevorzugen diese Rekonstruktionen .... Lucien Hardy ist der berühmteste Rekonstrukteur dieser Art und hat es zweimal versucht (sein System wird jedes Mal komplizierter ....)

Der Beitrag von Vladimir Kalitvianski ist sehr vernünftig: Die Werte von psi sind in der Tat eine Menge messbarer Daten, und ein geeignet gewähltes 'Array' davon reicht aus, um psi vollständig (bis auf einen Phasenfaktor) zu bestimmen.

Man kann keine ähnlichen reellwertigen Funktionen verwenden, weil Phasenbeziehungen physikalisch sind. Wenn man versuchen würde, nur reellwertige Funktionen zu verwenden, würde dies nicht alle physikalischen Eigenschaften des Systems beschreiben (es könnte die Phasenbeziehungen nicht berücksichtigen).

Nachdem ich viele Jahre darüber nachgedacht habe, was die Wellenfunktion darstellt, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass es sich um eine komplexwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Konfigurationsraum handelt und nicht um die Darstellung des physikalischen Zustands des Systems, wie üblicherweise behauptet wird. Wegen der Unschärferelation können wir nicht alle Eigenschaften eines Systems kennen, sondern nur einige. Wenn wir maximal mögliches Wissen haben (dh wenn wir uns in einem reinen Wissenszustand befinden), kennen wir einige Eigenschaften (z. B. den Impuls eines Teilchens) und die Quantentheorie liefert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über andere Eigenschaften (z. B. über die Position des Teilchens im Raum). Wir können daher den quantenmechanischen Formalismus als eine Theorie der komplexwertigen Wahrscheinlichkeit betrachten und es scheint, dass wir Regeln einer solchen Wahrscheinlichkeitstheorie mehr oder weniger unabhängig von diesem Formalismus konstruieren können, und gehören zu diesen Regeln Prinzipien für die Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten in Bayes'scher Weise. (Dies sind Verallgemeinerungen des Indifferenzprinzips, der Methode der Transformationsgruppen und des Maximum-Entropie-Prinzips, wie sie beispielsweise von Jaynes im Fall reellwertiger (nicht-negativer) Wahrscheinlichkeiten formuliert wurden.) Ohne der üblichen Quantenmechanik zu widersprechen Formalismus können wir somit einen realistischen Ansatz zur Interpretation der Quantentheorie einnehmen.

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