Gibt es grundlegende Theorien der Mathematik ohne Konstanten?

Eines der einfachsten nützlichen Axiomatiksysteme in der Mathematik sind die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen. Bemerkenswerterweise hat es nur eine einzige Konstante (die Zahl Null).

Man könnte annehmen, dass man diese eine Konstante beseitigen kann, indem man ein axiomatisches System für die ganzen Zahlen betrachtet, das keinen ausgezeichneten Startwert hat. Die übliche Konstruktion für die ganzen Zahlen, die über die natürlichen Zahlen geht, scheint diese Möglichkeit zu verneinen. (Alternativ könnte man zeigen, dass es ein einzigartiges Modell hat, ist das möglich)?

ZFC hat auch Konstanten über das Axiom der Unendlichkeit - dass es eine unendliche Menge gibt - eine alternative Sichtweise ist, dass in der Topos-Theorie, die eine verallgemeinerte Mengentheorie ist, der Ersatz für das Axiom der Unendlichkeit das Objekt der natürlichen Zahlen ist ist das kategorische Äquivalent der Peano-Axiome, also sind wir wieder beim ersten oben erwähnten Fall.

Nun, ein Topos hat nicht unbedingt ein Objekt mit natürlichen Zahlen, also könnte das vielleicht als eine solche Theorie gelten, wenn man es grundlegend betrachtet; oder da Topos über die Kategorientheorie beschrieben werden, ist die Kategorientheorie vielleicht eine solche Theorie, wenn sie von Grund auf betrachtet wird. Stimmt das tatsächlich, oder wird das auf anderem Wege (heimlich) ständig eingeschmuggelt?

Natürlich gibt es Theorien ohne Konstanten – nehmen Sie einfach irgendeine Theorie und lassen Sie alle Verweise auf Konstanten fallen; wir können sogar nützliche Beispiele finden - einen Haufen , der im Wesentlichen eine Gruppe mit seiner Konjugationsaktion modelliert (und amüsanterweise auch ein natürliches Beispiel für eine mathematische Struktur mit einer ternären statt einer binären Operation ist); Die Frage, nach der ich suche, ist jedoch, dass es einen grundlegenden Charakter haben muss - wie ZFC, Kategorientheorie oder die Peano-Axiome.

Ich denke, Sie müssen definieren, was Sie mit "einer Konstante" meinen. In ZF postuliert das Unendlichkeitsaxiom lediglich, dass es eine unendliche Menge gibt, die niemals benannt wird und die nur verwendet wird, um die Existenz der leeren Menge zu bestätigen (und um sicherzustellen, dass die Theorie ausdrücklich eine Vielzahl unendlicher Mengen zulässt); aber wie ein deistischer Gott, der die Bühne für das mengentheoretische Universum bereitet hat, spielt er in der Theorie keine Rolle. Es wird nicht einmal benannt, noch irgendwelche Eigenschaften, die für es einzigartig sind, werden benannt. Ich würde zögern, das eine Konstante zu nennen.
Wie sähe eine Stiftung „ohne Konstanten“ aus? In ZF-Infinity behauptet man einfach die Existenz der leeren Menge; dies ist offensichtlich eine Konstante, weil sie sich durch ihre einzigartige Eigenschaft auszeichnet, keine Elemente zu haben. Wie könnten wir verhindern, dass dies eine grundlegende Konstante ist, ohne andere Konstanten wie in ZF einzuführen? Vielleicht indem sichergestellt wird, dass ein Prädikat der leeren Menge (zB ∀x∈S:x≠x) eine Menge hervorbringt. Genau das wird in ZF gemacht: die Eigenschaft ist Unendlichkeit (z. B. ∃x∈S ∃f:S→S: (f ist injektiv und x∉img(f)) ist ein Prädikat, von dem wir behaupten, es zu haben (nicht eindeutig) Exemplare.
In der Modelltheorie kann man sich über die Beschreibung einer Konstanten explizit äußern; aber ich wollte ein gewisses Maß an Mehrdeutigkeit, da ich nicht ganz sicher war, was ich mit einer Konstante meine. Aus Neugier hat jemand die Situation von ZF ohne das Axiom der Unendlichkeit untersucht, aber mit der behaupteten leeren Menge. Wie weit wären wir von traditionellem ZF?
Es scheint, dass es mit PA bi-interpretierbar ist: siehe mathoverflow.net/a/555/3723
Was ist mit dem Versuch, Konstanten im Lambda-Kalkül zu definieren? Ich kann nicht zu viel dazu sagen, ich fange an, das Thema zu lernen. Betrachten Sie auch TRUE und FALSE als Konstanten. Ich würde vermuten, dass es in jeder Art von Theorie einige Konstanten geben wird, ob sie Teil Ihrer grundlegenden Theorie oder definierte Begriffe sind oder nicht, ist eine andere Frage.

Antworten (1)

Ich denke, dass keine der grundlegenden Standardtheorien in der Mathematik unbedingt Konstanten verwendet.

Im Beispiel von ZFC gibt es keine konstanten Symbole in der Sprache, und die offizielle formale Sprache der Mengenlehre wird allgemein so angenommen, dass sie nur die Mengenzugehörigkeitsbeziehung ∈ und Gleichheit ohne Konstanten hat. Wie Niel in den Kommentaren sagt, behauptet das Unendlichkeitsaxiom die Existenz eines Objekts (einer induktiven Menge), aber dies ist eine Existenzbehauptung, die gemacht werden kann, ohne notwendigerweise Konstanten einzuführen.

Im Fall der Arithmetik können, obwohl die üblichen Axiomatisierungen von PA zwei Konstanten beinhalten, eine für 0 und eine für 1, tatsächlich beide weggelassen werden, ohne die Ausdrückbarkeit der Theorie zu opfern. Der Grund dafür ist, dass 0 ein definierbares Objekt ist, denn es ist die eindeutige natürliche Zahl, die für kein x S(x) ist, und deshalb brauchen wir das konstante Symbol 0 nicht, um darauf zu verweisen. In ähnlicher Weise ist die Zahl 1 als Nachfolger des eindeutigen Objekts definierbar, das kein Nachfolger ist, und daher brauchen wir in der Sprache keine 1.

Die Antwort auf Ihre Frage scheint also zu lauten: Ja, es gibt tatsächlich grundlegende Theorien der Mathematik ohne Konstanten, und die standardmäßigen grundlegenden Theorien der Arithmetik und der Mengenlehre können ohne Konstanten durchgeführt werden.

Gibt es grundlegende Theorien der Mathematik ohne Konstanten?
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