Innere Produkte, die das Tensorprodukt zweier Operatoren enthalten

Das Buch Nielsen & Chuang „Quantum Computation and Quantum Information“ stellt das Konzept der Tensorprodukte wie folgt vor.

Angenommen, wir haben die Vektoren | v ⟩ Und | w ⟩ die in Vektorräumen existieren v Und W bzw. Wir definieren auch die linearen Operatoren A Und B die in denselben jeweiligen Vektorräumen existiert. Dann können wir das Tensorprodukt dieser Vektoren und Operatoren definieren, das sich wie folgt verhält

(1) ( A ⊗ B ) ( | v ⟩ ⊗ | w ⟩ ) = A | v ⟩ ⊗ B | w ⟩

Ich kann dies als Definition akzeptieren, aber meine Frage ergibt sich aus einer Übung, in der es um eine Bewertung geht

(2) ⟨ ψ | E ⊗ ICH | ψ ⟩
Wo E ist ein positiver Operator und | ψ ⟩ einer der vier Bell-Zustände ist . Das Buch beschreibt jedoch nicht das Verhalten des Ausdrucks
(3) ( A ⊗ B ) ( | v ⟩ )
Meine Vermutung ist, dass dies kein gültiger Ausdruck ist, da | v ⟩ existiert nicht im Vektorraum v ⊗ W auf dem der Operator definiert ist. Bin ich richtig, wenn ich das denke? Wie entwickelt man das Skalarprodukt in Gleichung (2)?

Antworten (1)

Es ist ein perfekt definierter Ausdruck, weil das Tensorprodukt ein linearer Raum ist.

Die Vektoren | v ⟩ ⊗ | w ⟩ bilden eine Basis des gesamten Tensorprodukt-Vektorraums, sodass jeder Vektor (einschließlich des Bell-Zustands) in diesem Raum als lineare Kombinationen solcher Basisvektoren geschrieben werden kann.

| ψ ⟩ = ∑ ich J C ich J | v J ⟩ ⊗ | w J ⟩
Da die Operatoren linear sind und wir wissen, wie auf jeden Term zu reagieren ist, ist das Ergebnis der Aktion des Operators L Ist
L | ψ ⟩ = ∑ ich J C ich J L | v J ⟩ ⊗ | w J ⟩
wobei deine formeln schon aussagen wie man die einzelnen begriffe zB für auswertet L = E ⊗ ICH .

Das natürliche innere Produkt zweier Vektoren auf dem Tensorproduktraum ist durch das einfache Produkt der Faktoren gegeben. Wählen Sie eine Basis wie oben und schreiben Sie das innere Produkt zweier Basisvektoren auf einfachste Weise als Produkte.

⟨ v ich | ⊗ ⟨ w J | ⋅ | v M ⟩ ⊗ | w k ⟩ = ⟨ v ich | v M ⟩ ⋅ ⟨ w J | w k ⟩
Dies definiert wiederum das Skalarprodukt für zwei beliebige Vektoren durch Linearität. Zerlegen Sie jeden der beiden allgemeinen Vektoren im Tensorproduktraum, die als Linearkombination des Einfachen in das Skalarprodukt eingehen v w Basisvektoren oben, wenden Sie das Verteilungsgesetz an, um das innere Produkt jedes Terms zu berechnen, und summieren Sie die Terme mit denselben Koeffizienten.

Vielen Dank für ihre Antwort. So im Fall des Bell-Staates | ψ ⟩ = | 00 ⟩ + | 11 ⟩ 2 , es ist gleichbedeutend damit, es auszudrücken als | ψ ⟩ = 1 2 | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ . Was dann impliziert ⟨ ψ | E ⊗ ICH | ψ ⟩ = 1 2 ⟨ 0 | E | 1 ⟩ ⟨ 0 | ICH | 1 ⟩ Ist das richtig?
@Hedra: Ja zu deiner ersten Frage. Es ist genau dasselbe, die erste Notation ist kompakter. Nein zu Ihrer zweiten Frage, haben Sie 4 Bedingungen, beachten Sie das E ⊗ ICH | ψ ⟩ = 1 2 E | 0 ⟩ ⊗ ICH | 0 ⟩ + 1 2 E | 1 ⟩ ⊗ ICH | 1 ⟩
Ahh, jetzt, wo ich es sehe, ist es offensichtlich, aber ich denke, ich habe das erwartet, da ich wegen der Notation verwirrt war. Danke euch beiden.
Innere Produkte, die das Tensorprodukt zweier Operatoren enthalten
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