Interpretation der Dirac-Gleichungszustände

In der Pauli-Theorie wurden die Komponenten der Zweikomponenten-Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplituden interpretiert, um das Teilchen in einem bestimmten Spinzustand zu finden. Dies scheint einfach zu verstehen.

Aber wenn wir über die Dirac-Gleichung sprechen, haben wir eine Wellenfunktion mit vier Komponenten, von denen zwei den üblichen Spinkomponenten des Pauli-Elektrons entsprechen, und zwei weitere ... Wie interpretiere ich Positronen-bezogene Komponenten des Dirac-Elektrons? Sind sie Wahrscheinlichkeitsamplituden dafür, dass das Teilchen Positron zu sein scheint? Oder vielleicht kein Positron zu sein (unter Berücksichtigung des Dirac-Seebildes)?

Antworten (1)

Die Interpretation der Zustände der Dirac-Gleichung hängt davon ab, welche Darstellung Sie für Ihre wählen γ μ -Matrizen oder Ihre a ich und β -Matrizen, je nachdem, was Sie bevorzugen. Beide sind über verbunden γ μ = ( β , β a → ) . Die Wahl Ihrer Darstellung wird (mehr oder weniger) Ihre Basis fixieren, in der Sie die Lösungen Ihrer Gleichung betrachten (die Wahl einer anderen Darstellung wird Ihre gesamte Lösung drehen).

Die Darstellung, die ich wählen werde, ist die Dirac-Pauli-Darstellung, gegeben durch:

β = ( ich 2 × 2 0 0 − ich 2 × 2 ) und a ich = ( 0 σ ich σ ich 0 ) ,
wo σ ich sind die Pauli-Matrizen.

Wenn Sie die Dirac-Gleichung in dieser Darstellung lösen würden, finden Sie 4 unabhängige Lösungen :

ψ 1 ( x ) = N 1 ( 1 0 p z E + m p x + ich p j E + m ) exp ⁡ ( − ich p μ x μ )
ψ 2 ( x ) = N 2 ( 0 1 p x − ich p j E + m − p z E + m ) exp ⁡ ( − ich p μ x μ )
ψ 3 ( x ) = N 3 ( p z E − m p x + ich p j E − m 1 0 ) exp ⁡ ( ich p μ x μ )
ψ 4 ( x ) = N 4 ( p x − ich p j E − m − p z E − m 0 1 ) exp ⁡ ( ich p μ x μ )

Der Weg, diese Zustände zu interpretieren, besteht darin, sie im Ruhe-Frame zu betrachten, also dem Rahmen, in dem sie stillstehen p μ = ( E , 0 , 0 , 0 ) , werden die Zustände einfach wie folgt:

ψ 1 = N 1 ( 1 0 0 0 ) e − ich E t , ψ 2 = N 2 ( 0 1 0 0 ) e − ich E t , ψ 3 = N 3 ( 0 0 1 0 ) e ich E t  und  ψ 4 = N 4 ( 0 0 0 1 ) e ich E t ,
durch Betrachtung der zeitlichen Entwicklung des Phasenfaktors können wir das bereits sehen ψ 1 und ψ 2 positive Energiezustände (Teilchen) darstellen und die ψ 3 und ψ 4 negative Energiezustände darstellen (also Antiteilchen).

Um den Spin zu kennen, sollten Sie den Helizitätsoperator verwenden , gegeben durch:

σ p = p → ^ ⋅ S ^ | p → | ,
Im Fall der Dirac-Gleichung ist der Spin-Operator durch die doppelte Pauli-Matrix gegeben:
S ^ = 1 2 ( σ → 0 0 σ → ) ,
wenn wir diesen an den Spinoren arbeiten lassen ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 und ψ 4 , stellen wir fest, dass ihr Spin jeweils oben, unten, oben, unten ist. Betrachtet man also Elektronen, so lässt sich der Dirac-Spinor in der Pauli-Dirac-Darstellung interpretieren als (zum Beispiel für das Elektron):
ψ = ( e − ↑ e − ↓ e + ↑ e + ↓ ) .
Wenn der Impuls NICHT gleich Null ist, vermischen sich diese verschiedenen Zustände und Sie können eine so einfache Identifizierung nicht vornehmen. Normalerweise sagt man, dass das Elektron eine Mischung aus einem Elektron mit Positronen wird, wenn es sich zu bewegen beginnt.

Wie sollte ein Zustand von ψ 1 + ψ 3 dann interpretiert werden? Findet eine Messung mal Elektron, mal Positron?
@Ruslan, der Staat 1 2 ( ψ 1 + ψ 2 ) , wird eine Überlagerung eines Spin-up-Elektrons und eines Spin-down-Positrons (im Ruhesystem) sein, sodass eine Messung tatsächlich eine 50% ige Chance hätte, ein Spin-up-Elektron zu finden, und eine 50% ige Chance, ein Spin-up-Elektron zu finden Spin-Up-Positron.
Ich würde nicht sagen, dass die Dirac-Darstellung "die häufigste" ist. Die Chiral- (oder Weyl-) Darstellung
γ μ = ( 0 2 σ μ σ ¯ μ 0 2 )
wo
σ μ = ( ich 2 , σ ich )  und  σ ¯ μ = ( ich 2 , − σ ich )
mit dem σ ich die üblichen Pauli-Matrizen, ist ebenfalls sehr verbreitet. Wie bei der metrischen Konvention ist dies ein unglücklicher Fall, dem nicht alle zustimmen werden.
@Nick Ich habe nicht nach Zuständen gefragt 1 und 2 , meine Frage bezog sich auf 1 und 3 . ψ 1 + ψ 2 ist in der Tat ziemlich offensichtlich.
@Nick: Ich glaube auch, dass der Index in dieser Sekunde ist ψ sollte eine 3 sein.
@Ruslan, wie Flint72 betonte, habe ich einen Tippfehler gemacht, es sind tatsächlich die Staaten ψ 1 und ψ 3 Ich sprach über.
@ Flint72, Tatsächlich werden sowohl Weyl als auch Dirac-Pauli am häufigsten verwendet, vielleicht war es falsch von mir zu sagen, dass Dirac am häufigsten verwendet wird. Ich glaube, dass in der Teilchenphysik eher die Weyl-Darstellung verwendet wird, aber für eine Einführung ist die Dirac-Pauli-Darstellung die typische Wahl (wenn ich mich nicht irre).
@Nick Was mich beim Dolmetschen zweifeln lässt ψ 3 , 4 als Positronenwahrscheinlichkeit ist folgende: In Halbleitern ist ein Elektron im Valenzband immer noch ein Elektron, auch wenn seine effektive Masse negativ ist und die Energie (bezogen auf die Mitte der Bandlücke) ebenfalls negativ ist, ist es immer noch kein Loch. Aber wenn es viele solcher Elektronen gibt, dann sind die nicht gefüllten Zustände im Valenzband Löcher . Es scheint ganz analog zu den Dirac-Elektronen zu sein. Sollte nicht ψ 3 , 4 Zustände von Elektronen im Dirac-Meer sein, und das Fehlen solcher Elektronen die Positronen? Oder ist eine solche Analogie fehlerhaft?
@ Ruslan 1) Denken Sie daran 1 2 ( Ψ 1 + Ψ 3 ) ist kein Eigenzustand des Dirac-Hamilton-Operators, da einer Energie > 0 hat, während der andere < 0 ist. Ihre Überlagerung ist möglich, aber in der Hamilton-Basis undefiniert. 2) Sicher, Ψ 3 , 4 sind Elektronen mit Energie < 0. Sie können sie dann wie Dirac als zum Dirac-Meer gehörig interpretieren und sagen, dass Positronen Löcher sind; oder Sie können sich den konservierten Strom ansehen und ihn als positiv geladene Zustände neu interpretieren. In beiden Fällen erkennen Sie, dass die Dirac-Gleichung Energie<0-Zustände für Elektronen zulässt. Das war in der Tat Paulis Sorge.
@Ruslan, tatsächlich haben Sie in Halbleitern auch Elektronen und Löcher, und wenn Sie möchten, können Sie diese Art von Analogie zeichnen, da ein Loch auch wie ein positiv geladenes Teilchen wirkt, siehe auch Wizzerads Kommentar! Da ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 und ψ 4 alle folgen Diracs Gleichung wir wissen, dass es Teilchen mit Masse sind m (also alle gleiche masse), wenn man sich die ladung anschaut sieht man dass die ladung aus ψ 1 und ψ 2 ist das Gegenteil von ψ 3 und ψ 4 (Sie können dies durch Symmetrie tun oder indem Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte berechnen und diese als Ladungsverteilung interpretieren, wie es Pauli getan hat).
Interpretation der Dirac-Gleichungszustände
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v