Setzt die Dirac-Gleichung Ladung und Spin auf eine Stufe?

Eines der Missverständnisse bei der Dirac-Gleichung ist, dass die 2 Komponenten der 4 insgesamt ein Elektron beschreiben und die anderen 2 ein Positron. Das kann nicht einfach sein, denn wenn man die Dirac-Gleichung an das elektromagnetische Feld koppelt, koppeln alle Komponenten mit der gleichen Kopplungskonstanten inklusive ihres Vorzeichens.

$$(i\gamma^\mu p_{\mu} -m)\psi =0 \quad\rightarrow (i\gamma^\mu (p_{\mu}-eA_\mu) -m)\psi =0$$

Wo$p_\mu$sind die Komponenten des 4-Impulses und$A_\mu$sind die Komponenten des elektromagnetischen 4-Vektor-Potentials und$e$ist die elektrische Elementarladung$e$was für alle 4 Komponenten inklusive Vorzeichen gleich ist.

Im Folgenden definieren wir positive Frequenzlösungen der Dirac-Gleichung, die mit Elektronen assoziiert sind, und negative Frequenzlösungen, die mit Positronen „assoziiert“ sind (aber „Assoziation“ bedeutet nicht, dass sie mit Positronen identisch sind). Was diese Assoziation wirklich bedeutet, wird im Folgenden erklärt.

Tatsächlich werden Positronenlösungen nur erhalten, wenn die Negativfrequenzlösungen der Dirac-Gleichung mit dem Ladungskonjugationsoperator ladungskonjugiert werden$C$:

$$\psi_{positron}^{positive frequency} = C\bar{\psi}_{electron}^{negative frequency}$$

Nach der Interpretation von Feynman-Diagrammen sehen negative Frequenzlösungen aus wie Elektronen, die sich in der Zeit rückwärts bewegen. Diese können dann als Positronen interpretiert werden, die sich in der Zeit vorwärts bewegen. Aber diese Lösungen entsprechen immer noch Elektronen, die nur durch Interpretation als Positronen betrachtet werden können. Allerdings müssen dazu Feynman-Regeln strikt eingehalten werden, damit negative Frequenzlösungen aus der Zukunft in die Vergangenheit (statt positive Frequenzlösungen aus der Vergangenheit in die Zukunft) in den Wechselwirkungspunkt einfließen. Sie können aufgrund der Interpretation als ausgehende Positronen betrachtet werden, die in die Zukunft laufen.

Der formale Ausdruck einer Streuung eines Teilchens an einem Wechselwirkungspotential$V$nach nicht-relativistischer QM ist

$$\psi^\ast_{outgoing} V \psi_{ingoing}$$

und dies gilt für positiv und negativ geladene Teilchen. Daran ändert sich in der relativistischen QM prinzipiell nichts. Zum Beispiel der formale Ausdruck einer Ecke eines gestreuten u-Quarks mit negativer Ladung$-1/3$würde aussehen wie:

$$\bar{\psi}_u \gamma^\mu \psi_u$$

wohingegen das der formale Ausdruck eines Scheitelpunkts eines gestreuten d-Quarks mit positiver Ladung ist$2/3$würde genauso aussehen:

$$\bar{\psi}_d \gamma^\mu \psi_d$$

obwohl die Teilchen unterschiedlich geladen sind. Die Lösung des ausgehenden Teilchens steht auf der linken Seite und die Lösung des eingehenden Teilchens steht auf der rechten Seite des Ausdrucks (der Gamma-Matrix). Beachten Sie, dass$\psi_{u/d} \sim \exp(-ipx)$, das sind also einströmende Teilchen.

Ein Scheitelpunkt eines gestreuten Antielektrons (= Positrons) muss jedoch nach den Feynman-Regeln wie geschrieben werden

$$\bar{v}\gamma^{\mu} v$$

Bemerkenswert ist hier die negative Frequenzlösung$v$interpretiert als "ausgehendes Positron"$v$(es geht ab weil$v\sim \exp(ipx)$) steht auf der rechten Seite des formalen Ausdrucks des Scheitels und des so interpretierten „eingehenden Positrons“$\bar{v} \sim\exp(-ipx)$auf der linken Seite der Gamma-Matrix im Gegensatz zu dem, was zuvor gezeigt wurde.

Dies zeigt, dass negative Frequenzlösungen der Dirac-Gleichungen nicht wirklich Positronen sind, die wahren Positronenlösungen würden der Regel folgen, die für die Quarks gezeigt wurde. Eigentlich kann man die ladungskonjugierten Negativfrequenzlösungen der Dirac-Gleichung für einen formalen Ausdruck einer Ecke verwenden. Dies sind echte Positronenlösungen und folgen der gleichen Regel wie für die Quarks.

Die Quintessenz ist, dass eine auf eine Lösung der Dirac-Gleichung angewendete Basenänderung Spin nicht mit Ladung mischt. Die Ladung ist für alle 4 Komponenten gleich und wird durch eine solche Transformation nicht verändert.