Angenommen, Sie haben drei Portfolios.
Portfolio A ist zu 100 % in einen Marktindex mit β=1 investiert.
Portfolio B ist eine 50/50-Mischung aus zwei Aktien (Aktie A β=1,5 und Aktie B β=0,5). Der gewichtete Durchschnitt dieser beiden ergibt ein Portfolio β=1.
Portfolio C ist eine 50/50-Mischung aus einer Aktie und Bargeld (Aktie C β=2,0 und Bargeld β=0). Der gewichtete Durchschnitt dieser beiden ergibt ein Portfolio β=1.
Unter der Annahme eines Startwerts von 100 $, wenn alle diese Portfolios β = 1 haben, warum würde Portfolio A mit einem Wert von 100 $ enden, während Portfolio B & C enden, wenn wir sequenzielle Renditen von -10 % gefolgt von +11,11 % erfahren würden mit Werten von 99,72 $ bzw. 98,89 $?
Gibt es eine Möglichkeit, die unterschiedliche Zusammensetzung dieser Portfolios mit demselben Portfolio β=1 anzuzeigen? Oder berechne ich β von Anfang an falsch?
Die Antwort auf Ihre Eingangsfrage lautet ja. Das Portfolio-Beta ist der gewichtete Durchschnitt der einzelnen Betas . Dies gilt nicht für viele Portfoliostatistiken (z. B. Volatilität), aber es gilt für Beta. Sie können dies selbst beweisen, indem Sie die beiden Regressionsgleichungen aufschreiben und dann zusammenzählen.
Die Antwort auf Ihre zweite Frage (im Titel) lautet, dass es viele Möglichkeiten gibt, zwei Portfolios mit demselben Beta zu unterscheiden. Aber Beta ist per Definition keine dieser Möglichkeiten. Beta ist nur eine einzelne Statistik. Wenn Sie zwei Portfolios mit demselben Beta haben, können Sie Beta natürlich nicht verwenden, um sie voneinander zu unterscheiden . Sie müssen etwas anderes verwenden.
Nun, warum Ihr Beispiel mathematisch nicht funktioniert: Beta ist ein Einzelperiodenkonzept (es ist ein marginaler Effekt ) und die CAPM-Gleichung gilt nur für einzelne Perioden. Aus diesem Grund funktioniert Ihr Beispiel in der ersten Periode perfekt, bricht aber in der zweiten zusammen.
Dies ist nicht spezifisch für Beta. Es ist ein Merkmal der Aufzinsung von Renditen. Es ist nicht möglich, dass eine Aktie in mehr als einem Horizont immer doppelt so viel verdient wie eine andere, was Ihr Beispiel annimmt. Ein einfacheres Beispiel veranschaulicht dies: Angenommen, Y verdient in jeder Periode doppelt so viel wie X, und X verdient R1 und dann R2. Dann erwirtschaftet eine Investition in X über zwei Perioden eine Rendite von
(1+R1)(1+R2) - 1 = R1 + R2 + R1*R2
und eine Investition in Y bringt eine Rendite von
(1+2*R1)(1+2*R2) -1 = 2R1 + 2R2 + 4*R1*R2
Beachten Sie, dass die Rendite einer Y-Investition über zwei Perioden nicht doppelt so hoch ist wie die Rendite einer X-Investition. Diese Nichtlinearität der Renditeaggregation führt dazu, dass Ihr 2-Perioden-Beispiel nicht funktioniert.
Intuitiv mag das seltsam erscheinen. Ich finde es am besten, Beta als Maß für das gehebelte Marktrisiko zu betrachten. Das bedeutet, dass Betas nicht konstant sind, ebenso wie die Hebelwirkung nicht konstant ist. Wenn eine gehebelte Aktie Geld verliert, erhöht sich ihre Hebelwirkung automatisch. Aktie A in Portfolio B wird nach der ersten Rendite kein Beta mehr von 1,5 haben. Wir sagen ex ante , dass wir in der zweiten Periode eine Rendite in Höhe des 1,5-fachen des Marktes erwarten, nur weil wir nicht wissen, was in der ersten Periode passieren wird. Übrigens ändern sich auch die Gewichte innerhalb der von Ihnen erstellten Portfolios nach der ersten Periode.
Fazit: Die Verwendung einer CAPM-ähnlichen Gleichung zur Vorhersage von Renditen relativ zur Benchmark funktioniert nur in Erwartung und über einen einzigen Zeitraum.
Peter K.
John Jones
Tavian Barnes