ist die Mengendifferenz ℝ \ R noch nicht abzählbar?

Ich weiß, dass die Menge der reellen Zahlen nach Cantors Diagonalargument nicht abzählbar ist. Aber die Mengendifferenz von ℝ und R (reelle Zahlen minus sich selbst) muss gleich einer leeren Menge sein, richtig? Und eine leere Menge ist selbst abzählbar? Oder ist es eine Fangfrage, bei der sie R nur als Teilmenge (nicht alle) reeller Zahlen definieren?

Frage: Betrachten Sie die Menge R der reellen Zahlen, die auf eine der üblichen Arten geschrieben werden kann: Ziffernfolgen mit einem optionalen Minuszeichen und/oder einem optionalen Dezimalpunkt, ein Bruchzeichen zwischen solchen Zeichenfolgen und/oder solche Zeichenfolgen mit Quadrat Wurzelzeichen.

  • Ist diese Menge R endlich; unendlich, aber zählbar; oder nicht zählbar? Erkläre deine Antwort

  • Ist ℝ \ R abzählbar oder nicht abzählbar?

Irgendeine Bedeutung für die zwei verschiedenen Schriftarten für den Buchstaben R?
Ja. Das ist das Seltsame. Die Frage hat zwei verschiedene Schriftarten. Ich bin mir also nicht sicher, ob sich R auf ℝ bezieht und ob sie gleich sind oder nicht
Sie haben definiert R als Teilmenge von R : es ist "die Menge der reellen Zahlen, die auf eine der üblichen Arten geschrieben werden kann: [usw.]" Es bezieht sich nicht unbedingt auf die Menge der reellen Zahlen. Wenn sich das herausstellt R = R (was Sie noch bestimmen müssen), dann haben Sie Recht, dass die Mengendifferenz natürlich leer und daher trivial zählbar wäre.
@Théophile unter der Annahme, dass beide gleich sind. Ist ℝ \ ℝ unabzählbar oder abzählbar?
Ich denke, was die Frage mit einer Ziffernfolge bedeutet, ist, dass sie aus einer endlichen Anzahl von Ziffern besteht. Oder der Rest der Definition ergibt keinen Sinn.
@nugh Die leere Menge ist sehr zählbar.

Antworten (2)

Ich glaube das R ∖ R ist überabzählbar unendlich. Der Satz R enthält Q , und ist in der Menge der reellen algebraischen Zahlen enthalten. Aber die Menge der reellen algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich. Somit,

  1. R ist abzählbar unendlich.
  2. R ∖ R ist überabzählbar unendlich.

Weitere Informationen finden Sie in diesem Beitrag .

Ich denke, es ist ein Tippfehler: Die Menge der algebraischen reellen Zahlen ist nicht endlich ... Aber sie ist zählbar
@DIdier_ oops, ich wollte zählbar unendlich sagen, ich habe bearbeitet. Danke für die Korrektur!

Gegeben sind zwei endliche Ziffernfolgen, die wir nur machen können M viele Darstellungen wie eine schlampig beschrieben: zB aus 123 und 456 kann ich 1,23 / 45,6 oder -12,3 machen, oder − 123 usw. ist mir egal was M ist so lange, wie es endlich ist. Dann beachte, dass es eigentlich nur abzählbar viele Ziffernfolgen (die ich als endlich lang betrachte!) gibt, also nur abzählbar viele Paare von Ziffernfolgen. Alle solche Paare erzeugen also nur endlich viele Darstellungen R ist höchstens zählbar, und R ∖ R hat tatsächlich die gleiche Größe wie R (insbesondere unzählige).

ist die Mengendifferenz ℝ \ R noch nicht abzählbar?
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