Ist diese Ableitung der Entropie des Schwarzen Lochs realisierbar?

Question

Ist diese Ableitung der Entropie des Schwarzen Lochs realisierbar?

Entropie
Physik
Schwarze Löcher
Schwarze-Loch-Thermodynamik

Anixx

Diese Frage wird durch diese motiviert .

Vermuten $l$ ist die kleinste messbare Längeneinheit. Was ist die Entropie eines in diesem Intervall enthaltenen spinlosen Teilchens?

Wir wissen, dass die Entropie eines zweistufigen Systems von den Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Stufen abhängt, wenn die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 0 ist $p_0$ , dann ist die Entropie (in natürlichen Einheiten ):

S = - \sum_{ich = 0}^{1} P_{ich} \ln P_{ich} = - P_{0} \ln P_{0} - (1 - P_{0}) \ln (1 - P_{0})

$S= -\sum_{i=0}^1 p_i \ln p_i = -p_0 \ln p_0 - (1 - p_0) \ln (1 - p_0)$

Also wenn $p_0=1/2$ Dann $S=\ln 2\: \mathrm{nat}$ , gleich $1\: \mathrm{bit}$ . Ein Teilchen, das das Maximum in der Mitte hat, hat eine Entropie von $1\: \mathrm{bit}$ (es wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechts und links von der Mitte gemessen).

Da wir Intervalle kleiner als nicht messen können $l$ , können wir keine Vermutungen darüber anstellen, wo das Maximum der Wahrscheinlichkeit für das Teilchen liegt. Wenn wir also davon ausgehen, dass das Teilchen gleich wahrscheinlich ist, haben wir an jedem Punkt des Intervalls das Maximum der Wahrscheinlichkeit $x\in[0,l]$ , wird die Gesamtentropie

S = \int_{0}^{l} \frac{- (1 - \frac{X}{l}) \ln (1 - \frac{X}{l}) - \frac{X}{l} \ln (\frac{X}{l})}{l} D X = \int_{0}^{1} - (1 - X) \ln (1 - X) - X \ln (X) D X = \frac{1}{2}

$S=\int_0^l \frac{-(1-\frac xl) \ln (1- \frac xl)-\frac xl \ln (\frac xl)}{l} \, dx=\int_0^1 -(1-x) \ln (1-x)-x \ln (x) \, dx=\frac12$

Eine Entropie eines ähnlichen Teilchens, das in einer quadratischen Fläche mit Seite enthalten ist $l$ wird zweimal mehr sein, das heißt $1\: \mathrm{nat}$ .

Wenn wir das jetzt annehmen $l=2l_p$ Wo $l_p$ die Planck-Länge ist, kommen wir an, dass ein solches spinloses Teilchen eine Entropie von hat $1\: \mathrm{nat}$ pro 4 Quadrat-Planck-Länge bzw $1/4\: \mathrm{nat}$ für eine quadratische Plancklänge.

Aus der einzigen Annahme, dass die doppelte Planck-Länge das kleinste messbare Intervall ist und die doppelte Planck-Länge im Quadrat voraussichtlich durchschnittlich 1 Teilchen enthält, gelangen wir zum Standardwert der Entropie des Schwarzen Lochs in nats:

S = \frac{A}{4 l_{P}^{2}} = \frac{1}{4} A_{P}

$S=\frac{A}{4l_p^2}=\frac14 A_p$

Wo $A_p$ ist die Fläche in Planck-Einheiten.

Manchmal bin ich auf die Behauptung gestoßen, dass die grundlegende Informationseinheit 1 Bit ist. Aus den obigen Überlegungen folgt, dass möglicherweise die Grundeinheit 1/2 (oder 1 oder 1/4) nat ist.

AKTUALISIEREN

Beachten Sie, dass der Abstand von $2l_p$ zwischen zwei Teilchen ist natürlich, wenn wir davon ausgehen, dass es sich bei den Teilchen um Planckons handelt , deren Radius gleich der Planck-Länge ist $l_p$ . Als solches kann das Schwarze Loch als kugelförmige Hülle betrachtet werden, die aus einer Schicht von Planckons besteht.

N. Jungfrau

Ich bin sehr verwirrt. Wenn

x

$x$ ist eine Wahrscheinlichkeit und

l

$l$ ist eine Länge, wie kann es Sinn machen zu sagen

x \in [0, l]

$x\in [0,l]$ ?

Anixx

@Nathaniel im ersten Beispiel ist es die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Beispiel ist es die Koordinate und die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in l zu finden, ist x/l, während es für das Finden eines Teilchens in 0 1-x/l ist. Wenn wir l=1 nehmen, dann ist x die Wahrscheinlichkeit.

N. Jungfrau

Ich habe bearbeitet, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen. Bitte rollen Sie zurück, wenn ich es falsch verstanden habe.

N. Jungfrau

Aber dann, wenn

x

$x$ eine Positionskoordinate ist, welchen Sinn soll ich aus dem Integranden machen

- (1 - x) \log (1 - x) - x \log (x)

$-(1-x)\log(1-x) - x\log(x)$ ?

Anixx

@Nathaniel dieser Ausdruck ist eine Vereinfachung des vorherigen. l hebt auf. Beachten Sie die unterschiedliche Integrationsgrenze.

N. Jungfrau

Das weiß ich, aber ich kann aus dem vorherigen Ausdruck auch keinen Sinn machen. Ich kann sehen, woher es kommt: Du nimmst

x / l

$x/l$ als die Wahrscheinlichkeit von etwas, seine Entropie berechnen und dann die Erwartung übernehmen

x

$x$ (Das ist also eigentlich die bedingte Entropie von etwas Gegebenem

x

$x$ , nicht die "Gesamtentropie", die immer noch ein Bit ist). Aber warum interpretieren Sie

x / l

$x/l$ als Wahrscheinlichkeit? Die Wahrscheinlichkeit von was?

Anixx

@Nathaniel Wenn das Maximum der Wellenfunktion des Teilchens in x liegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es in l erkannt wird, x / l, während die Wahrscheinlichkeit, dass es in 0 erkannt wird, 1-x / l beträgt.

N. Jungfrau

Okay, jetzt verstehe ich es. Sie gehen davon aus, dass ein Teilchen, das auf eine solche Entfernung beschränkt ist, zu einem System mit zwei Zuständen wird, weil Sie keine Messungen in der Mitte des Intervalls oder so ähnlich durchführen können, richtig?

Anixx

@Nathaniel ja. Exakt.

Antworten (2)

Ist diese Ableitung der Entropie des Schwarzen Lochs realisierbar?

Ich bin sehr verwirrt. Wenn $x$ ist eine Wahrscheinlichkeit und $l$ ist eine Länge, wie kann es Sinn machen zu sagen $x\in [0,l]$ ?
@Nathaniel im ersten Beispiel ist es die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Beispiel ist es die Koordinate und die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in l zu finden, ist x/l, während es für das Finden eines Teilchens in 0 1-x/l ist. Wenn wir l=1 nehmen, dann ist x die Wahrscheinlichkeit.
Ich habe bearbeitet, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen. Bitte rollen Sie zurück, wenn ich es falsch verstanden habe.
Aber dann, wenn $x$ eine Positionskoordinate ist, welchen Sinn soll ich aus dem Integranden machen $-(1-x)\log(1-x) - x\log(x)$ ?
@Nathaniel dieser Ausdruck ist eine Vereinfachung des vorherigen. l hebt auf. Beachten Sie die unterschiedliche Integrationsgrenze.
Das weiß ich, aber ich kann aus dem vorherigen Ausdruck auch keinen Sinn machen. Ich kann sehen, woher es kommt: Du nimmst $x/l$ als die Wahrscheinlichkeit von etwas, seine Entropie berechnen und dann die Erwartung übernehmen $x$ (Das ist also eigentlich die bedingte Entropie von etwas Gegebenem $x$ , nicht die "Gesamtentropie", die immer noch ein Bit ist). Aber warum interpretieren Sie $x/l$ als Wahrscheinlichkeit? Die Wahrscheinlichkeit von was?
@Nathaniel Wenn das Maximum der Wellenfunktion des Teilchens in x liegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es in l erkannt wird, x / l, während die Wahrscheinlichkeit, dass es in 0 erkannt wird, 1-x / l beträgt.
Okay, jetzt verstehe ich es. Sie gehen davon aus, dass ein Teilchen, das auf eine solche Entfernung beschränkt ist, zu einem System mit zwei Zuständen wird, weil Sie keine Messungen in der Mitte des Intervalls oder so ähnlich durchführen können, richtig?

N. Jungfrau · Answer 1

Die Rechnung ist interessant (ist mir vorher nie aufgefallen, dass das rauskommt $1/2\:\mathrm{nat}$ !). Vielleicht hat es tatsächlich eine Interpretation in Bezug auf Schwarze Löcher, aber ich denke, es funktioniert nicht genau so, wie Sie es sagen, weil Sie tatsächlich eher eine bedingte Entropie als eine Entropie berechnen.

Betrachten wir Ihre Berechnung rein wahrscheinlichkeitstheoretisch. Lassen $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable sein, die Werte annimmt $[0,1]$ (Ich habe normalisiert durch $l$ der Einfachheit halber) und let $M$ (für "Messung") eine diskrete Zufallsvariable sein, die Werte aufnimmt $\{0,1\}$ .

Hier, $X$ steht nicht für die Position des Teilchens, sondern nur für die Spitze der Wellenfunktion. Ihre Annahmen entsprechen $(i)$ der Rand für $X$ gleichmäßig verteilt ist $[0,1]$ , Und $(ii)$ die bedingte Wahrscheinlichkeit $p(M=1\mid X=x) = x$ . (Sie geben Vermutung an $(i)$ ausdrücklich in der Frage, und verwenden $(ii)$ implizit beim Schreiben der zweiten Gleichung in Ihrem Beitrag.) Die gemeinsame Verteilung ist daher gegeben durch

P (M = ich, X = X) = P (M = ich ∣ X = X) P (X = X) = {\begin{cases} X D X & Wenn ich = 1 \\ (1 - X) D X & Wenn ich = 0, \end{cases}

$p(M=i,X=x) = p(M=i\mid X=x)p(X=x) = \left\{ \begin{array}{ll} xdx &\text{if $i=1$}\\ (1-x)dx & \text{if $i=0$,}\end{array} \right.$

Für ein Paar gemeinsam verteilter Zufallsvariablen $A$ Und $B$ , die Randverteilung für $A$ wird von gegeben $p(A=a) = \sum_b p(A=a,B=b)$ . Dabei wird daraus ein Integral:

P (M = 1) = \int_{0}^{1} P (M = 1, X = X) = \int_{0}^{1} X D X = 1 / 2.

$p(M=1) = \int_0^1 p(M=1, X=x) = \int_0^1 x dx = 1/2.$

Nun, die Shannon-Entropie von $M$ konditioniert $X$ einen besonderen Wert haben $x$ wird von gegeben $-\sum_{i\in\{0,1\}}p(M=i\mid X=x) = -(1-x)\log (1-x) - x\log x$ . Die bedingte Entropie ist definiert als $H(A|B) = \sum_b p(B=b)H(A\mid B=b)$ , die in diesem Fall zu einem Integral wird:

H (M | X) = - \int_{0}^{1} D X ((1 - X) Protokoll (1 - X) + X Protokoll X),

$H(M|X) = -\int_0^1 dx((1-x)\log (1-x) + x\log x),$ was sich auswertet

1 / 2 n a t

$1/2\:\mathrm{nat}$ wie du sagst.

Die Entropie, die wir in der Physik verwenden, ist jedoch die von Neumann-Entropie, die nicht einer bedingten Entropie entspricht, sondern der Grenzentropie der Messung (vorausgesetzt, wir messen in einer Eigenbasis). In Ihrem System ist dies gegeben durch

H (M) = - \sum_{ich} P (M = ich) Protokoll P (M = ich) = - Protokoll (1 / 2) = 1 B ich T .

$H(M) = -\sum_i p(M=i)\log p(M=i) = -\log(1/2) = 1\:\mathrm{bit}.$

(Wieder unter der Annahme, dass dies eine Messung in einer Eigenbasis ist, was der Fall sein wird, wenn die Entropie maximiert wird, da in diesem Fall alle Basen Eigenbasen sind) ist die von Neumann-Entropie gemäß Ihren Annahmen $1\:\mathrm{bit}$ , nicht $1/2\:\mathrm{nat}$ . Ein Teilchen, das auf ein Quadrat der Länge beschränkt ist $l$ wird eine von Neumann-Entropie von haben $\log(4) = 2\:\mathrm{bits}$ , da sie an jeder der vier Ecken gemessen werden kann.

Nein. Ich bin nie davon ausgegangen, dass das Teilchen eine gleichmäßig verteilte Wahrscheinlichkeitsdichte über [0,1] hat. Das ist nicht meine Annahme! Meine Annahme ist, dass die Verteilung X des Teilchens das Maximum hat. Wenn die Skala nicht in der Nähe von Planks Skala wäre, könnten wir einen Punkt annehmen, an dem das Maximum ist, und die von Neuman-Entropie einer solchen Verteilung finden. Aber mein Punkt ist, dass die Planck-Skala es unmöglich macht, das Maximum der Wellenfunktion auch statistisch zu lokalisieren, ABER die Wellenfunktion HAT das Maximum (im Gegensatz zu einer flachen Wellenfunktion).
Wie Sie der verknüpften Frage entnehmen können, ist diese Formel aus der Diskussion über die Knight'sche Unsicherheit (Unsicherheit über die Wahrscheinlichkeitsverteilung) entstanden.
Auf der Skala der üblichen Quantenmechanik können wir davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wellenfunktion) genau definiert ist. Mein Punkt ist, dass Sie auf der Planck-Skala nicht davon ausgehen können, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte genau bekannt ist.
Entschuldigung, ich hätte stattdessen ein anderes Symbol verwenden sollen $X$ . Ich weiß, dass Sie nicht davon ausgegangen sind, dass die Position des Partikels gleichmäßig verteilt ist. Vielmehr gehen Sie davon aus, dass es eine Zufallsvariable gibt (die Position des Maximums der Wellenfunktion, die ich törichterweise bezeichnet habe $X$ ), die mit korreliert ist $M$ so wie ich es gesagt habe. Die Art der Argumentation, die ich hier vorstelle, ist einfach die Bayes'sche Art, mit Knight'scher Ungewissheit umzugehen. Auf diese Weise wird die Dempster-Shafer-Theorie überflüssig.
Nur zur Verdeutlichung: In der Bayesschen Wahrscheinlichkeitstheorie kann eine Zufallsvariable sowohl für Unwissenheit als auch für eine stochastische Art von Unsicherheit stehen. In diesem Fall ist die (Rand-)Wahrscheinlichkeitsverteilung vorbei $X$ stellt Ihre Unsicherheit über die Spitze der Wellenfunktion dar (die einen realen Wert hat, aber nicht bekannt sein kann), während die bedingte Wahrscheinlichkeit $p(M=i|X=x)$ repräsentiert die (Quanten-)Wahrscheinlichkeit der Messung $M=i$ Wenn $X$ irgendwie bekannt waren. In der Bayes'schen Theorie ist es kein Problem, diese beiden unterschiedlichen Unsicherheiten zu einer einzigen gemeinsamen Verteilung zu kombinieren.
Entschuldigung, das war ein Fehler, ich habe es korrigiert. ( $S$ ist das gleiche wie $M$ , ich habe nur seinen Namen geändert, während ich den Beitrag geschrieben habe, und ein paar Instanzen vergessen.)
Sie sagten "vorausgesetzt, wir messen in einer Eigenbasis", aber diese Annahme kann auf Planck-Skala NICHT erfüllt werden. Denn die Basis ist nur bis zur Planck-Skala definiert. Aus diesem Grund ist die von Neuman-Entropie hier nicht anwendbar.
Wie kann man p(M=i) für die von Neumann-Entropie berechnen? Woher hast du es 1/2? Dies widerspricht den Daten. In der Frage $p_0$ wurde nur als Beispiel für ein klassisches (Nicht-Planck-) Bit/Qubit mit 1/2 angenommen, bei dem die maximale Position bekannt ist.
Berechnen Sie die von Neumann-Entropie mit einer Basis, die gleichmäßig von -1/2 bis +1/2 variiert, und Sie erhalten dasselbe Ergebnis wie bei mir.
Ich habe bearbeitet, um die Definition der Grenzwahrscheinlichkeit und ihre Berechnung explizit zu machen.
Ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher, wie ich die von Neumann-Entropie für ein solches System direkt berechnen soll. Ich gehe nur von deinen Annahmen aus $(i)$ Und $(ii)$ und zeigen, dass Ihre Berechnung unter diesen Annahmen eine bedingte Entropie darstellt, nicht die marginale. Um die von Neumann-Entropie richtig zu berechnen, müssten Sie vermutlich einen expliziten Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Wellenfunktionen geben und nicht nur für ihren Höhepunkt.
Nun, möglicherweise kann die Wellenfunktion auf einer solchen Planck-Skala nur flach sein, weil kleinere Entfernungseinheiten nicht gemessen werden können. Ich nehme an. Mit flacher Wellenfunktion haben wir p~x.
Für ein normales System mit zwei Zuständen ist der Hilbert-Raum endlichdimensional, sodass die Wellenfunktion nur aus zwei komplexen Zahlen besteht. (Oder ein $2\times 2$ Dichtematrix, wenn es sich um einen gemischten Zustand handelt.) Wenn Systeme auf der minimalen Längenskala wie von Ihnen vorgeschlagen zu Systemen mit zwei Zuständen werden, würde ich erwarten, dass sie sich ähnlich verhalten.
Mein Punkt ist, dass man Basis auf dieser Skala nicht starr definieren kann, also ist es nicht nur wie ein gewöhnliches Zwei-Ebenen-System. Dies macht die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Gegensatz zur normalskaligen QM grundsätzlich unsicher.
Sie behaupten also, dass H(x)=H(M)-H(M|X)=log(2)-1/2? Ich glaube nicht, dass eine Variable, die gleichmäßig in [0,1] verteilt ist, eine solche Entropie hat.
$H(X)=H(M)-H(M|X)$ ist nicht richtig, sollte es sein $H(X)=H(M,X)-H(M|X)$ . Das Problem ist jedoch, dass die Entropie für kontinuierliche Variablen nicht gut definiert ist (wenn Sie mit einem diskreten System beginnen und die Grenze nehmen, von der es abweicht), weshalb ich keine Werte angegeben habe $H(X)$ oder $H(M,X)$ . Sie können Shannons differentielle Entropie verwenden, um zu erhalten $H(X)=\int_0^1 1\log 1 dx = 0$ , aber die differentielle Entropie ist keine großartige Verallgemeinerung der diskreten Entropie. Es ist besser, in Begriffen von Kullback-Leibler-Divergenzen zu denken, aber das ist eine ganz andere Geschichte.
Ich denke, H(X) ist irrelevant, weil es den Vakuumhintergrund (Fluktuationen der Basis) charakterisiert. Ich denke, alles in dieser Größenordnung sollte vor dem schwankenden Hintergrund gemessen werden.
Also ist H(M|X) die tatsächliche Entropie des BH (relativ zum Vakuum).
Bitte setzen Sie jede weitere Diskussion in einem neuen Physik-Chatraum fort . Versuchen Sie im Allgemeinen, lange Kommentardiskussionen zu vermeiden, da diese später möglicherweise bereinigt werden. Erstellen Sie stattdessen einen Chatroom und verlinken Sie ihn in den Kommentaren. Danke :)

Lawrence B. Crowell · Answer 2

Sie modellieren ein Zwei-Zustandssystem für ein Schwarzes Loch. Die Bekenstein-Grenze gilt wirklich bei großen $N$ Zustände. Witten hat herausgefunden, wie ein BTZ-Schwarzes Loch in 3-dim Quantenzustände haben würde, die zu einem Bekenstein-Ergebnis konvergieren $N~\rightarrow~\infty$ .

https://arxiv.org/abs/0706.3359

Off-Topic: Wie konntest du 10,9.000 Reputationen bekommen, während du ungefähr die gleichen Medaillen (1 Gold, 10 Silber und 24 Bronze) hast wie ich? Du solltest viel mehr Medaillen haben, da du das 8,5-fache meines Rufs hast! Ich versuche nur zu verstehen, wie dieses System funktioniert.

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