Kann es einen harmonischen Oszillator mit asymmetrischer Kopplung geben?

Für dieses spezielle physikalische System sind die Begriffe$\kappa\,(x_2-x_1)$Und$-\zeta\,(x_2-x_1)$sind (1) die von Teilchen 2 auf Teilchen 1 ausgeübte Kraft und (2) die von 1 auf 2 ausgeübte Kraft. Die Kräfte müssen nach Newton III gleich und entgegengesetzt sein, daher müssen wir haben$\kappa=\zeta$. Die beiden Terme beschreiben die Spannung in derselben Feder ( dh der mittleren in Ihrem Diagramm), was eine andere Möglichkeit ist, zu sehen, dass die Konstanten gleich sein müssen.

Die beiden Federkonstanten für die äußeren Federn können natürlich unterschiedlich sein, obwohl Sie sie gleich haben (bis$k$) in deinen Gleichungen.

Nicht, wenn wir wollen, dass die Lagrange-Mechanik wahr ist. Das System besteht aus Federn, also ist das Potential eine quadratische Funktion von$x_1,x_2$. Wir dürfen also schreiben:

$L = \frac{1}{2}(m_1\dot{x_1}^2+m_2\dot{x_2}^2)+\frac{1}{2}(ax_1^2+2bx_1x_2+x_2^2)$

Damit erhält man Bewegungsgleichungen:

$m_1\ddot{x_1}+ax_1+bx_2=0$

$m_2\ddot{x_2}+cx_2+bx_1=0$

Es ist etwas schöner, dies umzuschreiben als:

$m_1\ddot{x_1}+(a+b)x_1+b(x_2-x_1)=0$

$m_2\ddot{x_2}+(c+b)x_1-b(x_2-x_1)=0$

Das ist genau das, was Ihre Gleichungen sind, aber wo sehen wir das$\kappa = \zeta=b$. Minimale Aktion zwingt uns also dazu, die Kupplungen gleich einzustellen.