Krümmungsinvarianten in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Singularitäten

Question

Krümmungsinvarianten in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Singularitäten

Rexcirus

Angenommen, ich möchte überprüfen, ob eine bestimmte Metrik singulär ist oder nicht. Ich interessiere mich für Krümmungssingularitäten, nicht für Koordinatensingularitäten, also kann ich auf Skalare schauen, die mit Ricci, Riemann und Weyl Tensor erstellt wurden.

Wenn ich herausfinde, dass einer dieser Skalare irgendwo divergiert, dann bin ich fertig. Mein Problem ist das Gegenteil, angenommen, ich finde keine Singularitäten, nachdem ich einige Invarianten überprüft habe. Wie kann ich sicher sein, dass das Leerzeichen nicht singulär ist? Umformuliert: Gibt es eine VOLLSTÄNDIGE Grundlage für skalare Krümmungsinvarianten in der Allgemeinen Relativitätstheorie? Sagen wir rein $D=4$ für Konkretheit. Das Vakuumgehäuse im Besonderen.

Ich habe irgendwo gehört, dass im Vakuum und drin $D=4$ Es genügt, sich zu beschränken auf: $R$ , $R_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ , $R_{\mu \nu } R^{\mu \nu }$ , ${{}^\star R}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ , ${{}^\star R}^{\star}_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$ . Ist das wahr?

Referenzen sind willkommen.

BEARBEITEN: Um genauer zu sein, wenn man sich nur auf Krümmungssingularitäten bezieht (ich weiß, dass es andere Möglichkeiten gibt, eine Singularität zu charakterisieren, wie das explizite Arbeiten mit Geodäten), muss eine Mindestanzahl von Invarianten überprüft werden, um zu dem Schluss zu kommen, dass die Metrik frei von ist Krümmungsabweichungen?

Rexcirus

In der Tat, XD. Jedenfalls ist es jetzt noch klarer.

m4r35n357

Das Papier hier geht sehr ins Detail (viel mehr, als ich selbst verdauen kann!), Aber ich denke, es trägt viel dazu bei, Ihre Frage zu beantworten. arxiv.org/abs/gr-qc/0302095

asperanz

Ich denke, Sie würden nur den Ricci-Tensor-Teil benötigen

4

$4$ . Sie können sich diese als die vier Eigenwerte von vorstellen

R_{ν}^{μ}

$R^\mu_\nu$ , die durch ausgedrückt werden kann

R

$R$ ,

R_{μ ν} R^{μ ν}

$R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ ,

R_{α}^{μ} R_{β}^{α} R_{μ}^{β}

$R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\mu$ , und

R_{α}^{μ} R_{β}^{α} R_{ν}^{β} R_{μ}^{ν}

$R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\nu R^\nu_\mu$ . Für den Weyl-Tensor würde ich vermuten, dass Sie 5 benötigen. Dies kommt vom Betrachten

C_{μ ν}^{α β}

$C^{\alpha \beta}_{\mu\nu}$ Als ein

6 \times 6

$6\times 6$ spurfreie Matrix, also gibt es 6 Eigenwerte, die der Einschränkung unterliegen, dass sie sich zu Null summieren,

6 - 1 = 5

$6-1=5$ .

asperanz

Die andere Möglichkeit ist, dass Sie insgesamt 20 Invarianten benötigen, da der Riemann-Tensor 20 unabhängige Komponenten enthält

D = 4

$D=4$ .

asperanz

Beachte das auch

^{*} R_{μ ν ρ σ}^{*}

$^*R_{\mu\nu\rho\sigma}^*$ ist nicht unabhängig von

R_{μ ν ρ σ}

$R_{\mu\nu\rho\sigma}$ in

D = 4

$D=4$ .

asperanz

Diese Referenz scheint bei der Klassifizierung der skalaren Invarianten nützlich zu sein: iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/9/5/003/meta

GrenzeGraviton

Sie benötigen 20 Invarianten in 4 Dimensionen, wie von ansperanz angegeben. Dies wird im folgenden Vortrag von Ashoke Sen. youtu.be/pxtSkmqps5A deutlich. Ich bin mir sicher, dass Sie die meisten Inhalte des Vortrags kennen. Der Punkt ist nur, dass es die Menge an unveränderlicher Information ist, die im Riemann-Tensor enthalten ist.

Rexcirus

Können Sie mir den genauen Zeitpunkt nennen, zu dem er diese Behauptung im Video aufstellt? (es ist zu lang!) Wahrscheinlich beziehen Sie sich auf die Tatsache, dass es 20 unabhängige Komponenten des Riemann-Tensors in D = 4 gibt.

Antworten (2)

Krümmungsinvarianten in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Singularitäten

Das Papier hier geht sehr ins Detail (viel mehr, als ich selbst verdauen kann!), Aber ich denke, es trägt viel dazu bei, Ihre Frage zu beantworten. arxiv.org/abs/gr-qc/0302095
Ich denke, Sie würden nur den Ricci-Tensor-Teil benötigen $4$ . Sie können sich diese als die vier Eigenwerte von vorstellen $R^\mu_\nu$ , die durch ausgedrückt werden kann $R$ , $R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ , $R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\mu$ , und $R^\mu_\alpha R^\alpha_\beta R^\beta_\nu R^\nu_\mu$ . Für den Weyl-Tensor würde ich vermuten, dass Sie 5 benötigen. Dies kommt vom Betrachten $C^{\alpha \beta}_{\mu\nu}$ Als ein $6\times 6$ spurfreie Matrix, also gibt es 6 Eigenwerte, die der Einschränkung unterliegen, dass sie sich zu Null summieren, $6-1=5$ .
Die andere Möglichkeit ist, dass Sie insgesamt 20 Invarianten benötigen, da der Riemann-Tensor 20 unabhängige Komponenten enthält $D=4$ .
Beachte das auch $^*R_{\mu\nu\rho\sigma}^*$ ist nicht unabhängig von $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ in $D=4$ .
Diese Referenz scheint bei der Klassifizierung der skalaren Invarianten nützlich zu sein: iopscience.iop.org/article/10.1088/0264-9381/9/5/003/meta
Sie benötigen 20 Invarianten in 4 Dimensionen, wie von ansperanz angegeben. Dies wird im folgenden Vortrag von Ashoke Sen. youtu.be/pxtSkmqps5A deutlich. Ich bin mir sicher, dass Sie die meisten Inhalte des Vortrags kennen. Der Punkt ist nur, dass es die Menge an unveränderlicher Information ist, die im Riemann-Tensor enthalten ist.
Können Sie mir den genauen Zeitpunkt nennen, zu dem er diese Behauptung im Video aufstellt? (es ist zu lang!) Wahrscheinlich beziehen Sie sich auf die Tatsache, dass es 20 unabhängige Komponenten des Riemann-Tensors in D = 4 gibt.

Benutzer4552 · Answer 1

Um genauer zu sein, wenn man sich nur auf Krümmungssingularitäten bezieht (ich weiß, dass es andere Möglichkeiten gibt, eine Singularität zu charakterisieren, wie das explizite Arbeiten mit Geodäten), muss eine Mindestanzahl von Invarianten überprüft werden, um zu dem Schluss zu kommen, dass die Metrik frei von Krümmungsdivergenzen ist ?

Nein. Es gibt eine breite Klasse von Raumzeiten, sogenannte verschwindende skalare Invarianten (VSI) Raumzeiten, für die jede skalare Invariante verschwindet. Insbesondere ist eine ebene Gravitationswelle VSI. (Dies folgt aus der Tatsache, dass die Welle Doppler-Verschiebungen erfahren kann, aber ein Skalar unter einem Boost gleich bleiben muss.) Sie können Gravitationswellen haben, die im Sinne geodätischer Unvollständigkeit singulär sind (wie Penrose-Hawking-„Donnerkeile“. ), so dass keine Untersuchung beliebig vieler Krümmungsskalare ausreichen wird, um zu beweisen, dass es keine Singularität gibt.

Erik Jörgenfelt · Answer 2

HAFTUNGSAUSSCHLUSS: Ich habe nie gesehen, dass die folgende Schlussfolgerung explizit gemacht wurde, aber sie scheint mir eine direkte Folge der etablierten Theorie zu sein. Ich kann keinen Denkfehler finden, daher werde ich ihn posten und Ihr Urteil abwarten.

Der zB in Cartans Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann bewiesene Äquivalenzsatz besagt, dass in einem starren Rahmen eine endliche Anzahl der kovarianten Ableitungen des Riemann-Tensors ausreicht, um die lokale Geometrie einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit vollständig zu klassifizieren. Dieses Theorem ist die Grundlage des Cartan-Karlhede-Algorithmus , und eine formellere Aussage findet sich auf Englisch in Karlhedes Artikel hier(obwohl beachten Sie, dass er auf seinen eigenen ursprünglichen USIP-Bericht verweist, den ich anscheinend nirgendwo online finden kann; vielleicht weiß ich einfach nicht, wo ich suchen soll). Die maximale Anzahl kovarianter Ableitungen, die in vier Dimensionen benötigt werden, beträgt sieben, aber viele Lösungen erfordern weniger, und die Komponenten aller höheren kovarianten Ableitungen sind funktional abhängig von vorherigen Komponenten.

Betrachten Sie daher einen starren Rahmen. Wenn die Quadrate aller erforderlichen kovarianten Ableitungen endlich sind, z

| R_{ich j k ℓ; m_{1} \dots m_{r}} R^{ich j k ℓ; m_{1} \dots m_{r}} | < \infty,

$|R_{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}R^{ijk\ell;m_1\ldots m_{r}}| < \infty,$ dann sind die kovarianten Ableitungen endlich, also sind alle kovarianten Ableitungen durch funktionale Abhängigkeit endlich. Darüber hinaus sind in einem starren Rahmen alle Kontraktionen des Riemann-Tensors endlich, wenn alle Komponenten es sind, ebenso wie alle Duale. Daher scheint mir eine endliche Anzahl kovarianter Ableitungen des Riemann-Tensors in einem starren Rahmen ausreichend zu sein .

Nun, in einem gegebenen (wohldefinierten) starren Rahmen, dh so, dass die Rahmenvektoren $e_i$ endlich und glatt sind, sind die kovarianten Ableitungen endlich, solange die Komponenten $R_{ijk\ell}$ und die Ricci-Rotationskoeffizienten $\gamma^i{}_{jk}$ sind auch alle endlich und glatt ( $C^\infty$ ). Dies passt gut zur etablierten Theorie im festen Rahmen, siehe z . B. dieses Papier .

Fazit : Unter Beschränkung auf einen wohldefinierten starren Rahmen genügt es zu zeigen, dass die Riemannschen Tensorkomponenten und die Ricci-Rotationskoeffizienten alle endlich und glatt sind.

In einem nichtstarren Rahmen kann eine ähnliche Aussage meines Erachtens nicht gemacht werden, da es Fälle gibt (z. B. Gravitationswellenlösungen), in denen unendlich viele kovariante Ableitungen benötigt werden, um eine vollständige lokale Beschreibung der Geometrie zu geben.

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Benutzer4552

Erik Jörgenfelt

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