Ricci-Skalar für Schwarzes Loch

Wenn wir formell sein wollen, at$r=0$es gibt eine mannigfaltige Singularität. Also sind dort keine Tensor-/Skalargrößen wohldefiniert (dh unser mathematischer Formalismus funktioniert dort nicht). Andererseits können wir als Physiker nach verschiedenen Beispielen suchen, die sich ähnlich verhalten. Auch das (klassische) elektromagnetische Feld, das von einem punktförmigen geladenen Teilchen erzeugt wird, divergiert als$r \rightarrow 0$. Es gibt jedoch einen feinen Unterschied: Ein Feld kann ohne viele Kopfkratzer an einem Punkt schlecht definiert sein, für die Schwerkraft ist die Raumzeit selbst schlecht definiert, sodass die gesamte Physik dort hart wird (normalerweise wird die Physik mathematisch mit Funktionen codiert Ort und Zeit).

Es gab Versuche, dieses Problem mathematisch zu formalisieren. In der Elektrodynamik untersuchen wir die Verteilung (Dirac-Deltas) von Ladungen, warum können wir sie nicht in der Schwerkraft verwenden? Ausgehend von den Einstein-Gleichungen ($G=c=1$,$\Lambda=0$)

$$R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=8\pi \ T_{ij},$$ und multipliziert sie mit $g^{ij}$Sie erhalten eine Gleichung für den Ricci-Skalar $$R=-8\pi\,T$$ Wo $T$ist die Spur des Energie-Impuls-Tensors. Also, wenn sich die Sache nur auf konzentriert $r=0$Sie würden eine Verteilungsgröße erwarten, die beschreibt $T$und deshalb $R$.

In der Literatur ist dieser Ansatz zu finden: zum Beispiel in diesem Artikel Distributional Nature of the Energy Momentum Tensor of a Black Hole or What Curves the Schwarzschild Geometry ? von H. Balasin und H. Nachbagauer.

Sie finden das für ein Schwarzes Schwarzschild-Massenloch$M$, sollte der Ricci-Tensor die Form haben

$$R = 8 \pi \, M\, \delta^{(3)}(x)$$ Wo $x$ist die Position in der Raumzeit und $\delta^{(3)}$ist die Dirac-Delta-Funktion im Raum, nämlich überall außer bei Null $r=0$. Wenn es in einer flachen Raumzeit wäre, könnte das Delta auch als definiert werden $\bigtriangleup\left(1/r\right)=\bigtriangledown^{2}\left(1/r\right)=\delta^{\left(3\right)}\left(x\right)$, aber im allgemeinen bin ich mir nicht sicher.

Aber wir müssen mit diesem Verteilungsansatz sehr vorsichtig sein, da wir bei der Singularität nicht wissen, was Raumzeit physikalisch ist, und die mathematische Theorie dahinter, soweit ich weiß, für pseudo-riemannsche Geometrien nicht solide ist , noch.

Dies hängt davon ab, wie Sie die Analyse durchführen. Wenn Sie dies in der Kruskal-Raumzeit tun, was die physischere Methode ist, ist es schwierig, darüber zu sprechen, was „$r = 0$“ ist, und die Frage wird etwas schlecht gestellt.

Wenn Sie es naiv in Schwarzschild-Koordinaten tun, werden Sie das finden$R$hat Terme mit Konstanten multipliziert$\nabla^{2}\frac{1}{r}$, zu denen eine Analyse zum Beispiel in Jacksons Buch Electrodynamics sagt, dass sie proportional sind$\delta^{3}(\vec{r})$. Also, ich denke, es kommt darauf an, wovon du redest. Aber sicherlich ist es nicht verrückt, sich vorzustellen, dass die Masse zu einem Bereich unendlicher Dichte komprimiert wird, was passieren muss, wenn Sie die Materieverteilung in so etwas wie einer Oppenheimer-Snyder-Lösung für einen „kollabierenden Staubstern“ auf die Schwarzschild-Lösung nach dem Kollaps einfügen ist komplett.

Wenn Sie die Einstein-Gleichungen lösen, um das Schwarze Loch zu finden, verschwindet der Energie-Impuls-Tensor überall, sogar bei$r = 0$. In keinem Moment drängen Sie auf, dass es sich um eine Punktquelle handelt$T_{\mu\nu} \sim \delta(r)$, dies würde die Lösung ändern. Die Interpretation der Lösung als Schwarzes Loch mit einer zentralen Singularität ergibt sich aus der Untersuchung der Eigenschaften der Raumzeit, die Sie nach dem Lösen der Gleichungen erhalten. Daher gibt es in dieser Raumzeit wirklich nichts. Denken Sie daran, dass Sie keine Materie in Ihre Raumzeit gebracht haben, also gibt es nichts, was Masse / Energie geben kann, außer dem Gravitationsfeld selbst (in dessen Energie-Impuls-„Tensor“ verborgen ist$G_{\mu\nu}$).

Abschließend hat man$R = 0$überall und insbesondere bei$r = 0$: Deshalb muss man sich der komplizierteren Kretschmann-Invariante zuwenden, um die Singularität zu finden.