Löse 3−2x−−−−−√3+3x2+4−−−−−−√=x2+23−2x3+3x2+4=x2+2\sqrt[3]{3-2x} + \sqrt{ 3x^2+4} = \frac{x}{2} + 2

Sie haben auf dem richtigen Weg begonnen.

Lassen$v^2 = 3x^2 +4$Und$u^3 = 3-2x$. Jetzt haben wir die Beziehung

$$x = \frac{3-u^3}{2} \quad x^2 = \frac{v^2-4}{3}$$ Quadrieren der ersten Gleichung ergibt die folgende Beziehung zwischen$u$Und$v$. $$\frac{v^2 - 4}{3} = \left( \frac{3-u^3}{2}\right)^2$$ Vereinfachung gibt dies $$v^2 = 3\left(\frac{3-u^3}{2}\right)^2 + 4$$ Andererseits haben wir auch von der Hauptgleichung $$u+v = \frac{3-u^3}{4} + 2$$ Lösung für$v$und Quadrieren gibt $$v^2 = \left(\frac{11-4u - u^3}{4}\right)^2$$ Sie haben also jetzt zwei Gleichungen für$v^2$, beide gleich zu bekommen $$\left(\frac{11-4u - u^3}{4}\right)^2 = 3\left(\frac{3-u^3}{2}\right)^2 + 4$$ Dies ist eine Gleichung sechsten Grades in$u$, aber es gibt keine ungeraden Exponenten; also kannst du lassen$t = u^2$um eine kubische Gleichung einzugeben$t$was mehr oder weniger einfach zu lösen sein sollte, da Sie es haben$x=2$bereits eine Lösung, wie in den Kommentaren vorgeschlagen (verwenden Sie diese jetzt und befolgen Sie die richtigen Schritte$u$Und$v$die zu finden$t$korrespondierend zu$x=2$). Jetzt können Sie den rationalen Wurzelsatz verwenden, um auf ein Quadrat zu reduzieren und die Wurzeln für zu finden$t$mit der quadratischen Formel. Verfolgen Sie dann Ihre Schritte zurück, um alle möglichen zu finden$u$(grundsätzlich$u = \pm\sqrt{t}$), von denen Sie alles Mögliche bekommen können$x$'s (verwenden Sie die erste Beziehung in meiner Antwort in Bezug auf$x$Und$u$). Nehmen Sie aus der letzten Liste das Reale$x$Werte, das ist die Antwort, die Sie suchen.

Das letzte Stück ist ein wenig lang und schmerzhaft zu berechnen, aber nicht zu schwer im Geiste, weshalb ich nicht alle Details ausfülle. Alles Gute!