Lösen von x+4−−−−−√−2=xx+4−2=x\sqrt{x+4}-2 =x für x≠0x≠0x ≠ 0.

Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung (wie Sie es in Ihrem ersten Schritt richtig gemacht haben) führt möglicherweise zu irrelevanten Lösungen. Sie haben also richtig gehandelt, indem Sie die Kandidatenlösungen in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt haben.

Und ja, die Kandidatenlösung$x=-3$fremd ist (Verletzung der impliziten Bedingung der gegebenen Gleichung, dass$x+2$ist nichtnegativ) und sollte verworfen werden und übrig bleiben$x=0$als einzige wirkliche Lösung.

Fremdlösungen sind aber keine „Absurditäten“, sondern alltäglich. Im Allgemeinen sollten Sie beim Lösen von Gleichungen – es sei denn, Sie haben sichergestellt, dass jeder Schritt „umkehrbar“ ist – alle irrelevanten Lösungen herausfiltern .

Anstelle von "absurder Fakt" sagen wir einfach, dass die Gleichung keine Lösung hat (z$x\ne 0$).

Eine implizite Bedingung aus der Gleichung ist die$x+2\geq 0$.

Die herkömmliche Bedeutung des Quadratwurzelsymbols ist die nicht negative Quadratwurzel.

Das Problem tritt auf, wenn Sie beide Seiten einer Gleichung quadrieren (oder auf gerade Potenzen erheben), wenn Sie versuchen, sie zu lösen. Wenn Sie mit beginnen$x = a$, aber dann quadrieren Sie es, Sie enden mit$x^2 = a^2$. Diese zweite Gleichung - lösen Sie sie wie folgt:$x^2 - a^2 = 0 \implies (x+a)(x-a) = 0$- hat Wurzeln$x = \pm a$, und eindeutig ist einer von ihnen nicht akzeptabel, seit Sie damit begonnen haben$x = a$(einzelne Wurzel). Es ist nur ein einfaches Artefakt des Prozesses.

Diese "zusätzlichen" Wurzeln werden als redundante oder fremde Wurzeln bezeichnet und sollten zurückgewiesen werden. Sie sollten alle Wurzeln testen, die Sie nach dem Quadrieren mit der ursprünglichen Gleichung erhalten, und alle verwerfen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.

Jetzt sollten Sie in der Lage sein zu sehen, was hier vor sich geht.$x =-3$"erfüllt" die ursprüngliche Gleichung nur, wenn Sie den nicht standardmäßigen Ansatz wählen, der Quadratwurzel zu erlauben, eine negative Wurzel zurückzugeben (was nicht die typische Bedeutung ist).

Es gibt keine Lösung (z$x\neq 0$), und Ihre Argumentation ist richtig.

Der Grund dafür ist, dass das Quadrieren beider Seiten der Gleichung kein umkehrbarer Schritt ist: Wir können nicht beide Seiten einer Gleichung quadrieren, weil wir sowohl die positive als auch die negative Quadratwurzel benötigen würden .

Sie können ein bisschen mehr Sinn daraus machen$x=-3$als Antwort, indem du das bemerkst$(x+4)^2=(-1)^2$. Wenn$\sqrt{}$bedeutete dann "negative Quadratwurzel".$x=-3$wäre eine lösung. Darauf weist das Symbol jedoch nicht hin.

Ein trivialeres Beispiel dafür, etwas Irreversibles mit einer Gleichung zu machen, das ungültige Lösungen zulässt, die mit der ursprünglichen Gleichung verglichen werden müssen, ist alles mit zu multiplizieren$0$. Zum Beispiel, wenn wir versuchten, es zu lösen$2x=4$durch Multiplikation mit$0$, wir bekommen$0=0$, was für jeden Wert von gilt$x$, aber wir haben gerade unendlich viele Lösungen zugelassen (jeder Wert von$x$außer$2$), die die ursprüngliche Gleichung nicht lösen.

Wir können dies auf ein sehr einfaches Beispiel reduzieren.

Jetzt wissen wir sicher, dass dies nicht möglich ist, seit diesem Symbol$\sqrt{x}$ist definiert als die positive Zahl, die im Quadrat steht$x$. Da dies eine "absurde Tatsache" ist, können wir sagen, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.

Allerdings, wenn wir naiv versuchen, zu isolieren$x$indem wir beide Seiten quadrieren (weil wir gelernt haben, dass Quadrat und Quadratwurzel Gegensätze sind*), passiert etwas. Die Gleichung wird

die nicht mehr absurd ist und keine Lösungen mehr hat. In der Tat,$x=1$ist (offensichtlich) eine Lösung dieser Gleichung! Was ist das Problem?

Als wir beide Seiten der Gleichung quadrierten, änderten wir die Gleichung tatsächlich auf grundlegende Weise; Wenn wir etwas tun, wie eine Zahl addieren oder subtrahieren oder mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren oder dividieren, ändern wir die Gleichung nicht vollständig. Es scheint also ziemlich wertvoll zu wissen, welche Operationen eine Gleichung ändern (und wie), damit wir uns darauf einstellen können.

Wenn eine Operation zwei verschiedene Werte in denselben Wert umwandeln kann, kann sie die Gleichung ändern. Die Quadrierfunktion hat diese Eigenschaft, weil

Wenn wir unsere "Lösung" oben in der absurden Gleichung verwenden, erhalten wir eine ziemlich konkrete Absurdität

aber das Quadrieren dieser Gleichung ergibt die wahre Aussage

und daher kam unsere falsche Lösung. Die beiden Seiten der Gleichung waren unterschiedlich, aber das Quadrieren kann verschiedene Zahlen in dieselbe Zahl verwandeln und eine Gleichheit herstellen, wo keine war.

Glücklicherweise ist es einfach, dies anzupassen: Überprüfen Sie einfach alle unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung. Wenn wir etwas Absurdes bekommen, werfen Sie diese Lösung einfach weg, und diejenigen, die funktionieren, behalten wir.

* Es gibt viele Funktionen, die in gewissem Sinne "invers" zueinander sind, was nicht immer gut erklärt wird. Sogar Potenzen und sogar Wurzeln, Exponential und Logarithmus, Trig und Trigonumkehr usw. sind Beispiele dafür, und Sie sollten vorsichtig damit sein, wie Sie diese beim Lösen einer Gleichung verwenden, damit Sie keine Lösungen ohne erstellen oder zerstören es merken!