Mathematik und René Descartes

Zur Zeit Descartes hatte nur die Geometrie (siehe Euklids Elemente) Axiome.

Siehe Descartes' Mathematik : Descartes' neue (analytische) Géométrie wurde nicht axiomatisiert.

Aber Descartes hat die Mathematik eindeutig als das Paradigma der Gewissheit konzipiert; siehe Regeln :

„In den Regeln versuchte er, die Methoden der Mathematik zu verallgemeinern, um einen Weg zu klarem Wissen über alles zu bieten, was Menschen wissen können. Sein methodologischer Rat enthielt einen Vorschlag, der jedem Studenten der elementaren Geometrie vertraut ist: Brechen Sie Ihre Arbeit auf in kleine Schritte, die Sie vollständig verstehen und bei denen Sie absolute Gewissheit haben, und überprüfen Sie Ihre Arbeit häufig."

Das Argument des Cogito "trifft" auch auf mathematische Aussagen zu:

„[In Bezug auf] die Dinge, von denen ich glaube, dass ich sie mit meinem geistigen Auge ganz klar sehe … mich also betrügen, er wird es niemals herbeiführen, dass ich nichts bin, solange ich weiterhin denke, dass ich etwas bin; oder irgendwann in der Zukunft wahr machen, dass ich nie existiert habe, da es jetzt wahr ist, dass ich existiere; oder bewirken, dass zwei und drei zusammengenommen mehr oder weniger als fünf sind, oder irgendetwas in dieser Art, in dem ich einen offensichtlichen Widerspruch sehe. (Med. 3, AT 7:36)"

Abschließend: mathematische Wahrheiten sind „offensichtlich“ (dh ihre Leugnung impliziert einen Widerspruch) und sie werden von Gott garantiert.

Es ist eine Ironie der Geschichte, dass Aristoteles' Erste Philosophie als letzte angesehen und als Metaphysik bezeichnet wurde; für Descartes ist es immer noch das Erste, und seine Antworten bestimmen den Rest. Und zuallererst sind die Fragen nach dem, was existiert. So schrieb Descartes im Diskurs Teil IV :

Ich war sofort bereit, nach anderen Wahrheiten zu suchen, und als ich mir den Gegenstand der Geometer vorstellte ... ging ich einige ihrer einfachsten Demonstrationen durch. Und erstens bemerkte ich, dass die große Gewissheit, die diesen Demonstrationen allgemein zugesprochen wird, nur darauf beruht, dass sie klar nach den von mir bereits aufgestellten Regeln konzipiert sind. Ich nahm wahr, dass es in diesen Demonstrationen überhaupt nichts gab, was mir die Existenz ihres Objekts versichern könnte: so zum Beispiel, als ich ein Dreieck als gegeben annahm, nahm ich deutlich wahr, dass seine drei Winkel notwendigerweise gleich zwei rechten Winkeln waren, aber Ich habe deshalb nichts wahrgenommen, was mir versichern könnte, dass irgendein Dreieck existiert: während im Gegenteil

Man sollte beachten, dass Descartes keine Bedenken hatte, „Realitätsgrade“ zuzugeben, und wie die meisten seiner Zeitgenossen dachte, „das Reale“ sei dem „Möglichen“ irgendwie überlegen. (Leibniz sagte, dass Gott den besten aller möglichen Welten Realität verleiht.) Erst nach der Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien begannen die Menschen, „das Wirkliche“ als einen Sonderfall des „Möglichen“ zu akzeptieren. Verzicht auf Ontologie im frühen 20. Jh. wurde "Ifthenismus" genannt