Mathematische Strenge für Ingenieure

Als Diplom-Ingenieur möchte ich meine mathematische Genauigkeit verbessern. Zum Beispiel möchte ich zum Verständnis kommen

  • was die Maßtheorie mit der Fourier-Reihe zu tun hat und
  • was die Gruppentheorie mit dem Eigenwert zu tun hat,

unter anderen. Ich würde gerne verstehen, warum die Lebesgue-Integration wichtig ist (die Idee erscheint mir irgendwie trivial, was natürlich bedeutet, dass ich sie noch nicht wirklich verstehe), warum die Formalität von Weierstrassschen Tests der bloßen Umgehung des Problems vorzuziehen ist , sagen wir, die Extraktion von Hadamards endlichem Teil und so weiter.

Zu diesem Zweck habe ich Georgi E. Shilovs Elementary Real and Complex Analysis gelesen, das mir gefällt; aber bei der Geschwindigkeit, mit der Shilov vorgeht, würde es ungefähr 10.000 Seiten dauern, um bis zur Fourier-Reihe vorzudringen. Daher habe ich stattdessen bei Amazon und Google Books nach dem Buch Mathematical Rigor for Engineers gesucht .

Leider scheint niemand dieses Buch geschrieben zu haben.

Welche Möglichkeiten habe ich?

(Zur Klarstellung: Ich möchte nicht die meinungsbasierte Frage stellen: „Was soll ich tun?“ Ich meine vielmehr die erfahrungsbasierte Frage stellen: „Welche Optionen habe ich? seek ähnelt Finanzanalyse für Kindergärtner oder Transozeanische Logistik für Einzelhandelskaufleute, aber da ich zufällig mit mathematischen Produkten wie der Fourier-Reihe und dem Eigenwert vertraut bin, ganz zu schweigen von Hadamards endlichem Teil, dachte ich, ich würde fragen.)

Hatten Sie einen ernsthaften Kurs in linearer Algebra, dh nach Friedberg Insel und Spences linearer Algebra/Hoffman & Kunze/Axler/etwas anderem auf diesem groben Niveau?
@Batman: warte .... Mein Lehrer für lineare Algebra ist Joel N. Franklin, also lass mich jetzt nach Friedberg Insel und Freunden suchen ....
Ich glaube nicht, dass es einfach ist, eine allgemeine Frage wie diese zu beantworten. Ich fände es sinnvoller, nach einzelnen Themen zu fragen. Zum Beispiel: „Ich habe X Hintergrundwissen in Analysis. Ich möchte das mathematische Fach Y auf mathematisch strenge Weise lernen, mit Schwerpunkt auf den Bereichen der Theorie, die im angewandten Bereich Z wichtig sind. Wie kann ich das in der direkteste Weg?" Je nach konkreter Wahl von X, Y und Z erhalten Sie sehr unterschiedliche Antworten. Wenn Sie sich für viele Bereiche interessieren, dann wäre es ratsam, den gleichen Lernweg zu gehen ...
...dass Mathematikstudenten machen, einschließlich eines breiten Grundkurses in Analysis. Da Sie erwähnt haben, dass Sie Maßtheorie lernen möchten, halte ich es für fast unvermeidlich, dass Sie einen guten Hintergrund benötigen, zumindest in Analysis und linearer Algebra, ähnlich dem von Mathematikstudenten.
@Batman: Ich habe einmal einen einsemestrigen Anfangskurs in linearer Algebra belegt, der von der Mathematikabteilung für Nichtmathematiker angeboten wurde: Er berührte etwa 2/3 des Inhaltsverzeichnisses von Insel und Spence. Zum Beispiel: Singulärwertzerlegung, ja; Markov-Ketten, nein.
@ user49640: Ich verstehe. Im Allgemeinen ist es sehr schwer zu wissen, wo man anfangen soll. Gerade die Namen, die Mathematiker für ihre Fächer verwenden, wie etwa Analysis, tragen tendenziell eine nicht verwandte Semantik zu Ingenieuren. Die Sache ist die: Je mehr man lernt, desto positiver beeindruckt man vom Charakter des typischen Berufsmathematikers. Ich glaube nicht, dass die meisten Mathematiker absichtlich versuchen, undurchsichtig zu sein; und ich glaube Felix Klein, wenn er sagt, Mathematiker wollen für Ingenieure möglichst verständlich sein. Aber da ist diese Lücke. Ich möchte es überbrücken.
@ user49640: Ihr Rat bezüglich Analyse und linearer Algebra wird gut angenommen.
Wenn Sie 2/3 von dem wissen, was in dem anderen Buch steht, müssen Sie sich meiner Meinung nach vorerst nicht allzu viele Gedanken über lineare Algebra machen. Wie weit sind Sie in Shilovs Buch? Und möchten Sie im Chat weitermachen?

Antworten (4)

Siehe Romans zweibändiges Buch [1] weiter unten. Obwohl es möglicherweise die beste Referenz ist, die ich für Ihre Frage kenne (die im Laufe der Jahre in verschiedenen Online-Mathematikforen ziemlich oft gefragt wurde), wird sein zweibändiges Buch fast nie erwähnt. Die Bücher [2] und [3] sind ziemlich bekannt und möglicherweise werden andere sie erwähnen, das Buch [4] ist ziemlich fortgeschritten, aber ausreichend leserfreundlich, um von Zeit zu Zeit einen Blick wert zu sein, und [5] ist es etwas weniger bekannt (und etwas eigenwillig).

[1] Paul Roman, Some Modern Mathematics for Physicists and Other Outsiders , Volume 1 (1975): An Introduction to Algebra, Topology, and Functional Analysis ( Inhalt von Band 1 ) UND Volume 2 (1975): Functional Analysis with Applications ( Band 2 Inhalt -- klicken Sie auf "look inside" von amazon.com für Band 1; Inhalt von Band 2 finden Sie auf den Seiten x-xi)

Review in Physics Today Band 30 #5 (Mai 1977), S. 72 & 74; Rezension von Andrew Lenard (1927-2020)

Review in Computers and Mathematics with Applications Volume 3 #1 (1977), S. 83-84; Rezension von Wilhelm Ornstein (1905-2002)

[2] George F. Simmons, Einführung in die Topologie und moderne Analysis (1963)

[3] Thomas A. Garrity und Lori Pedersen, All die Mathematik, die Sie verpasst haben: Aber wissen müssen für die Graduiertenschule (2001)

[4] Charalambos D. Aliprantis und Kim C. Border, Unendliche Dimensionsanalyse. Ein Führer per Anhalter (2006)

[5] Robert Hermann, Vorlesungen in Mathematischer Physik Band 1 (1970) und Band 2 (1970)

Nachdem ich dies gepostet hatte, bemerkte ich, dass dies eine 3,5 Jahre alte Frage ist, die in den letzten Stunden ein paar neue Antworten erhalten hat und dadurch auf die "Startseite mit Fragen" gestoßen wurde. Während meine Antwort für das OP möglicherweise nicht mehr von Nutzen ist, nehme ich an, dass sie in Zukunft für andere noch von Nutzen sein könnte.
Trotz des 3,5-jährigen Alters der Frage hat mich Ihre Antwort erreicht. Die Antwort ist hilfreich, aufschlussreich, gründlich und geschätzt. Es ist auch jetzt die akzeptierte Antwort auf die Frage .

Ich denke, wonach Sie wirklich suchen, ist die Repräsentationstheorie. Nun besteht das Problem darin, dass es für einen Ingenieur, der versucht, sich diesem Thema aus mathematischer Sicht zu nähern, ziemlich fortgeschritten sein kann. Aber vielleicht kann es aus einer "physischeren" Sicht getan werden.

Ich würde Ihnen " Vorlesungen über lineare Algebra " von Gelfand vorschlagen, die, wenn ich mich richtig erinnere, auch Fourier-Reihen ansprechen, und dann den zweiten Band von "Principles of Advanced Mathematical Physics Volume 2" von Richtmeyer, der in den ersten 10 Kapiteln die Grundlage hat Darstellungstheorie auf sehr verständliche Weise. Ich bin mir bei letzterem nicht sicher, da es vielleicht zu fortgeschritten ist, aber ich würde es versuchen, wenn ich du wäre.

Für die Verbindung Fourier-Reihe <-> Maßtheorie können Sie einige Operationen mit unendlichen Reihen als Blackbox durchführen, aber um eine Fourier-Reihe zu beschreiben, die einer unstetigen Funktion entspricht, werden Sie (irgendwann) mit der Maßtheorie beginnen. Bitte erinnern Sie mich daran, nach diesem Semester zu antworten, da ich mich in einen Kurs zu genau dieser Frage einschreibe, der nächste Woche beginnt (mein Bachelor hat die "anwendungsorientierte" Seite außerhalb des Fachbereichs Physik nicht betont). Die Gruppentheorie ist mit Eigenwerten verbunden, da die quadratischen Matrizen eine Gruppe bilden und Eigenwerte es Ihnen ermöglichen, Eigenschaften einer einzelnen Matrix zu erkennen (z. B. ob sie auf verschiedene Arten zerlegt werden kann, was das "Langzeitverhalten" einer Markov-Kette ist wird sein,

Ich denke, es ist schwer, "Real Analysis" von John zu übertreffen. M. Howie von Springer. Ich habe einen ingenieurwissenschaftlichen Hintergrund und fing erst an, dieses Buch zu lesen, nachdem ich meinen Bachelor und MSc in Ingenieurwesen abgeschlossen hatte: nachdem ich festgestellt hatte, dass mir nach 5 Jahren Studium immer noch die strengen Grundlagen der Mathematik fehlten.

Das obige Buch ist "dünn" genug, um innerhalb eines Jahres gelesen zu werden, einschließlich Übungen (ich hatte das gesamte Buch nur an meinen Wochenenden durchgearbeitet: Ich habe weniger als 12 Monate gebraucht). Es hat definitiv die Grundlagen geliefert, die es mir dann ermöglicht haben, weiter voranzukommen.

Einige der von Ihnen erwähnten Themen (z. B. Rigorous Lebesgue Integration) gehören zu dem, was ich als "Mathematik auf Hochschulniveau" bezeichnen würde: Das oben vorgeschlagene Buch ist für Studenten. Aber der Ansatz, den ich gewählt habe, ist, damit zu beginnen und dann selektiv Themen zu studieren, die für mich interessant waren (dh Lebesgue-Integrale, Wahrscheinlichkeitsmaßtheorie).

Ich denke, der obige Ansatz ist besser, als nur ein dickes Buch mit Mathematik auf Hochschulniveau in die Hand zu nehmen, denn wie Sie betonen: Es würde zu viel Zeit in Anspruch nehmen, zu versuchen, "allgemeines mathematisches Wissen auf Hochschulniveau" durch Selbstlernen aufzubauen.

Nachdem ich das Buch von Howie gelesen hatte, ging ich dann zum Beispiel die MIT Open-Courseware-Vorlesungsunterlagen hier durch : Ich fühlte, dass die Notizen dort anfingen, wo das Buch von Howie "endet", dh das Buch erlaubte mir, Themen auf Graduiertenniveau "aufzugreifen". das wäre mir vorher unzugänglich gewesen.

PS: Es ist ein interessantes Thema für sich, warum Ingenieurstudiengänge (einschließlich Graduiertenniveau) Mathematik nicht streng lehren. Ich denke, es ist ein großes Problem und sollte angegangen werden.

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