Modulräume supersymmetrischer Feldtheorien und ihre Singularitäten

Question

Modulräume supersymmetrischer Feldtheorien und ihre Singularitäten

Module
Physik
Supersymmetrie
Quantenfeldtheorie

Steve

Ich bin Mathematiker und mache eine Arbeit, die damit zusammenhängt $\mathcal N=2$ Supersymmetrische Quantenfeldtheorie in $d=4$ und bin ein wenig verwirrt über den physikalischen Begriff des Modulraums in diesem Zusammenhang. Ich entschuldige mich im Voraus, wenn diese Frage zu einfach, zu vage oder einfach nur irgendwie dumm ist. Hinweise auf entsprechende Literatur sind sehr willkommen.

Aus Skimming-Artikeln gibt es mindestens drei Dinge, die die Leute als Modulraum bezeichnen:

der Modulraum des supersymmetrischen Vakuums,
die Erfassung aller Parameter, wie Massen, Kopplungskonstanten etc.,
der Modulraum komplexierter Kähler-Strukturen (A-Modell) oder der Modulraum komplexer Strukturen (B-Modell), beide normalerweise auf einer festen Kähler- oder Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit betrachtet.

Frage. Welche Beziehung besteht zwischen diesen verschiedenen Modulräumen? Sind sie in einem angemessenen Sinne gleich? Wenn sie unterschiedlich sind, welches ist das mit einem "Coulomb-Zweig"?

Ich habe den Eindruck, dass der entsprechende Modulraum einige singuläre Punkte hat, an denen die entsprechende physikalische Theorie speziell ist (zB winkeltreu?).

Frage. Was für schöne Dinge passieren mit physikalischen Theorien, die einzelnen Punkten des Modulraums entsprechen? Sind dies die Theorien, an denen wir tatsächlich interessiert sind, und entsprechen die generischen Punkte berechenbareren Annäherungen an diese Theorien?

Antworten (1)

Modulräume supersymmetrischer Feldtheorien und ihre Singularitäten

nein · Answer 1

Dies wird eine sehr unvollständige Antwort sein, was noch wichtiger ist, ich bin auch neu in dem Thema, also ist dies ein persönliches Verständnis, keine endgültige Antwort, ich entschuldige mich dafür. Ein paar gute Referenzen zu 4d N=2-Theorien, die mir bekannt sind, sind [1,2].

Einige Antworten vorab:

Q1) Modulräume vom Typ 2 und 3 können ins gleiche Licht gerückt werden, Typ 1 ist etwas anders. Der Coulomb-Zweig gehört zum Typ 1.

Q2) Du hast Recht, denke ich. Grob gesagt entsprechen die Punkte in den Modulräumen Theorien eines bestimmten Typs, mit einem bestimmten Typ von Feldinhalten, wenn wir uns entlang des Modulraums bewegen, variieren allgemein nur einige kontinuierliche Parameter dieser Theorien, aber an den singulären Punkten diskontinuierlich Änderungen auftreten, wie z.

die Zahl der masselosen Felder springt
nichtkonforme Theorien können konform werden
In Fällen, in denen wir den Theorien einige Kohomologiegruppen zuordnen können, ändern sich die Gruppen nicht generisch unter Bewegung entlang der Modulräume, aber sie können sich an singulären Punkten ändern.

Sicherlich sind die singulären Punkte bunter als ein generischer Punkt, was uns mehr interessiert, kann, denke ich, von Problem zu Problem variieren.

Kommentare zu Modulräumen vom Typ 2 und 3 in Ihrer Liste: Jede Feldtheorie wird mit einem Satz "statischer" Daten definiert. Die Idee ist, dass es bei einem festen "Typ" der Theorie einen Raum statischer Daten gibt, so dass jeder Punkt von dieser Raum definiert eine Theorie des gleichen Typs.

Beispiel 1:Angenommen, wir interessieren uns für konforme Feldtheorien (CFTs) in einer Dimension mit einigen Feldern. Der "Typ" wird in diesem Fall durch eine Darstellung der konformen Gruppe (reduzierbar, bestehend aus unendlich vielen irreduziblen Darstellungen) mit der Struktur einer assoziativen Algebra (als Operator-Produkt-Expansion (OPE)-Algebra bezeichnet, Beispiel enthält Vertex-Operator-Algebren) . Wenn wir CFT mit einer bestimmten Supersymmetrie wollen, müssen wir Darstellungen der geeigneten superkonformen Algebra berücksichtigen. Bei einer solchen Darstellung sind die statischen Daten, die zur Lokalisierung einer bestimmten CFT erforderlich sind, eine Sammlung von Zahlen, eine für jeden höchsten Gewichtszustand einer bestimmten konformen Dimension (Eigenwert des Dilatationsoperators in der konformen Algebra). Diese Zahlen werden als marginale Kopplungen bezeichnet, und für jede beliebige Wahl dieser Zahlen haben wir eine CFT (im Allgemeinen nicht wahr, Zahlen, die einer Teilmenge der Menge der höchsten Gewichtungen entsprechen, müssen möglicherweise aus Gründen, die auf statischer Ebene nicht sichtbar sind, auf Null festgelegt werden ). Der Raum statischer Daten in diesem Fall oder äquivalent der Raum von CFTs wird also (lokal homöomorph zu) sein $\mathbb{R}^n$ oder $\mathbb{C}^n$ Wo $n$ die Anzahl der höchsten Gewichtszustände der jeweiligen konformen Dimensionsdimension ist (abzüglich der Anzahl solcher Zustände, deren entsprechende Kopplungskonstanten auf Null gesetzt werden müssen), und die Wahl reeller oder komplexer Zahlen hängt von der Theorie ab. [3]

Beispiel 2: Angenommen, wir interessieren uns für das sogenannte "A-twisted Sigma-Modell in 2 Dimension". Dies ist eine Art von Theorien mit einer bestimmten Supersymmetrie-Algebra. Die statischen Daten sind in diesem Fall eine Auswahl von Kopplungskonstanten, die zufällig durch den Raum komplexer Kähler-Strukturen einer Kähler-Mannigfaltigkeit parametrisiert werden. [4]

Beispiel 3: Ersetzen Sie in Beispiel 2 „A-verdreht“ durch „B-verdreht“ und „Kähler-Struktur einer Kähler-Mannigfaltigkeit“ durch „komplexe Struktur einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit“. [4]

Die Zusammenfassung hier ist, dass es bei einer gegebenen Symmetriealgebra eine Familie von Theorien mit dieser Symmetriealgebra geben kann, die Familie wird durch einen Modulraum parametrisiert. Singuläre Punkte sind etwas Besonderes, sie können eine vergrößerte Symmetrie haben.

Kommentare zum Modulraum vom Typ 1 in Ihrer Liste:Abgesehen von den statischen Daten, und erheblich schwieriger zu bestimmen, sind die "dynamischen" Daten, das sind die Dinge, die wir herausfinden können, wenn wir die Entwicklung des beschriebenen Systems beobachten können (eine Analogie in der Informatik wäre der Unterschied zwischen den Code eines Programms (statisch) und seine Ausgabe (dynamisch)). Ein allgegenwärtiges und besonders wichtiges Beispiel für solche Daten ist der Modulraum von vacua. In Situationen, in denen wir mit unserer Feldtheorie einen Hilbert-Raum assoziieren können, ist der Vakua-Raum einfach der Raum der Zustände mit der minimal möglichen Energie. Eine alternative und allgemeinere Definition dieses Raums bezieht sich auf das „effektive Potenzial“. Alle dynamischen Daten einer Theorie sind in einer Entität enthalten, die als "effektive Aktion" bezeichnet wird und eine Funktion von Feldern ist. Die effektive Aktion ist im Wesentlichen die durch Quantenkorrekturen modifizierte klassische Aktion (und im Allgemeinen nicht genau zu berechnen, Ausnahmen sind daher hochinteressant). Genau wie die klassische Aktion besteht die effektive Aktion aus zwei Teilen, einem "kinetischen" Teil und einem "potentiellen" Teil. Der Potentialteil ist das klassische Potential mit Quantenkorrektur. Wenn wir den potentiellen Teil als bezeichnen $V(\phi)$ dann bilden die Feldkonfigurationen, die das Potential minimieren, den Raum des Vakuums. In supersymmetrischen Theorien kann gezeigt werden, dass die Minima des Potentials Null sind, dh der Raum des Vakuums ist der Raum der Lösung der Gleichung $V(\phi) = 0$ . In Störungsfeldtheorien erweitern wir die Felder in unserem klassischen Handeln um die Vakuumlösungen. Also wenn $\phi$ ist ein Feld in unserer Theorie und $\phi_0$ eine Lösung der Vakuumgleichung ist, werden wir dann definieren $\widetilde\phi := \phi - \phi_0$ und bedenke $\widetilde\phi$ als das dynamische Feld unserer Theorie. (Beachten Sie, dass in Bezug auf $\widetilde\phi$ , das Vakuum ist gegeben durch $\widetilde\phi=0$ ). Die Hoffnung ist, dass bei ausreichend niedriger Energie die Wahl des Vakuums das dominierende Merkmal ist, das die Dynamik bestimmt, alles andere kann als Störung behandelt werden. Wenn es eine Familie von Lösungen für die Vakuumgleichung gibt, kann die Niedrigenergiedynamik je nachdem, um welches Vakuum wir uns ausdehnen, etwas anders aussehen. In diesem Sinne ist der Vakuaraum der Modulraum der Niederenergiebeschreibung der Theorie. Coulomb-Zweig ist der Name eines bestimmten Unterraums des Raums der supersymmetrischen Vakua in bestimmten supersymmetrischen Theorien (der Name Coulomb-Zweig bezieht sich auf die Tatsache, dass, wenn wir um einen generischen Punkt dieses Unterraums expandieren, die Niedrigenergietheorie, die wir finden, ein abelsches Messgerät ist Theorie, wie die Maxwellsche Theorie der "Coulomb-Kraft"). Eine letzte Anmerkung ist, dass wir normalerweise nur am Ursprung des Coulomb-Zweigs eine CFT erhalten, die konforme Symmetrie ist überall sonst auf dem Coulomb-Zweig gebrochen. [1,2]