Modus Ponens als Syllogismusersatz

Dies ist eine ziemlich grundlegende Frage, aber ich konnte in den verschiedenen Quellen, die ich mir angesehen habe, einschließlich des Kapitels der Kneales über Konditionale in „The Development of Logic“, keine klare Antwort finden.

Wenn in der Aussagenlogik modus ponens für ein syllogistisches/kategorisches Argument steht, wobei der Vordersatz die Konjunktion der Prämissen des ursprünglichen Syllogismus und der Konsequent die Schlussfolgerung ist, ist es die Standardinterpretation, die Bestätigung des Vordersatzes als dadurch zu betrachten Schlussfolgerung nur unter der Annahme , dass das ursprüngliche Argument gültig war, dh die Gültigkeit liegt außerhalb des Bedingungssatzes selbst, im Gegensatz dazu, dass diese Gültigkeit irgendwie auf den Bedingungssatz übertragen wird, solange der Vordersatz als Prämisse bestätigt wird?

Und weiter gefasst ist die Aussagenlogik nur eine Logik von „das ist, was folgt, unter der Annahme, dass nicht nur die Aussagen p, q usw zielen und nicht etwa kausale Argumente)?

Als Antwort auf Graham füge ich dies der ursprünglichen Frage wegen der Textbegrenzung für Kommentare hinzu.

In der Aussagenlogik werden syllogistische, also kategoriale Argumente regelmäßig im modus ponens ausgedrückt, wobei die Konjunktion der beiden Prämissen (z. B. „alle Menschen sind sterblich & Sokrates ist ein Mensch“) als Vordersatz zum Konditional dient, wenn p dann q , und die Konsequenz ("Sokrates ist sterblich") als Schluss. Es wird anerkannt, dass es nicht ausreicht, dies in Form einer bedingten Aussage zu sagen, damit die Schlussfolgerung aus den Prämissen per se folgt, aber wenn die Konjunktion der Prämissen „p“ dann als wahr bestätigt wird, wird die Bedingung umgedreht in ein Modus-Ponens-Argument umwandeln, dann beschreiben die Logik-Lehrbücher die Konklusion 'q' als dann 'abgeleitet'. Aber das kann doch nicht sein, und meine Frage war "ist allgemein anerkannt, dass dem nicht so ist".

Als Beispiel dafür, warum dies nicht so sein kann, nehmen Sie das Enthymem „Sokrates ist ein Mensch, also ist Sokrates sterblich“, was in seiner jetzigen Form ein ungültiges Argument ist, aber wenn Sie die fehlende Prämisse „alle Menschen sind sterblich“ hinzufügen dann es wird ein gültiger Syllogismus, aber modus ponens unterscheidet nicht zwischen den beiden - solange die Prämissen als wahr bestätigt werden, kann die Schlussfolgerung, dass "Sokrates sterblich ist", in beiden Fällen "gefolgert" werden. Dies bedeutet sicherlich, dass die Gültigkeit des ursprünglichen Arguments nicht auf die Formulierung des Modus Ponens übertragen wurde.

Ja, ein gültiger Syllogismus wird niemals ungültig, wenn er mit modus ponens ausgedrückt wird, sondern nur, weil die durch die ursprüngliche logische Form bereitgestellte Gültigkeit verschwunden ist (wenn dies nicht der Fall wäre, sollten wir nicht in der Lage sein, eine Konsequenz zu 'schlussfolgern' die für die Schlussfolgerung eines Syllogismus steht, aus der Bestätigung eines Antezedens, das für die Prämisse eines Enthymems steht, aber wir können). Mir scheint, dass der Schluss nur dann „abgeleitet“ ist, wenn der Syllogismus bereits außerhalb des Systems bewiesen und dann innerhalb desselben angenommen wurde. Und selbst dann, was für eine Art von Schlussfolgerung ist "dies ist ein gültiges Argument und seine Prämissen sind wahr, also ist es auch ein solides Argument, was bedeutet, dass seine Schlussfolgerung auch wahr ist"? Dies erklärt lediglich, dass ein gültiges Argument, das an anderer Stelle vorgebracht wurde, stichhaltig ist. Du nicht

Mit anderen Worten, in einem Syllogismus ist eine Schlussfolgerung unter der Bedingung wahr, dass die Prämissen wahr sind, nur weil ein solches Argument bereits gültig ist, während bei Modus Ponens, wenn es zum Ausdrücken eines solchen Arguments verwendet wird, die Schlussfolgerung nur unter der Voraussetzung wahr ist Bedingung, dass die Prämissen wahr sind UND dass es sich zunächst um ein gültiges Argument handelt. Und die Bejahung des Vorhergehenden bejaht lediglich die erstere. Wenn das stimmt, dann ist die Aussagenlogik, die stark auf materielle Implikationen angewiesen ist, nicht „wahrheitserhaltend“ in dem Sinne, dass tatsächlich gültige Argumente wahrheitserhaltend sind, dh wo Sie nur von wahren Prämissen zu wahren Schlussfolgerungen gelangen können, weil es so ist eine gültige Form, die jedem Anspruch auf Solidität vorausgeht, sondern wenn wir von vornherein zugeben, dass bestimmte Aussagen wahr sind und dass auch bestimmte materielle Implikationen wahr sind, dh wirklich für gültige Argumente stehen, dann können wir daraus sagen (nicht „schlussfolgern“ oder „schlussfolgern“, außer indirekt und implizit), dass andere Dinge wahr sein müssen. Noch einmal, soweit ich weiß, könnte das alles alltäglich sein, aber der Zweck meiner ursprünglichen Frage war nur, zu überprüfen, ob dem so ist.

Ich habe hauptsächlich eine Bearbeitung vorgenommen, um den Text in kleinere Teile zu zerlegen. Sie können dies rückgängig machen oder mit der Bearbeitung fortfahren. Willkommen!
Es gibt zwei verschiedene Begriffe von Konsequenz, semantisch und syntaktisch. Für die semantische Inferenz spielt es keine Rolle, was die Inferenzregeln sind, sie werden in Bezug auf die Wahrheit in Modellen definiert, für die syntaktische Inferenz sind alle angenommenen Inferenzregeln automatisch "gültig", da durch ihre Befolgung die Gültigkeit definiert wird, siehe Implies vs Entails vs. Provable auf Math SE. Aber in beiden Fällen macht es keinen Unterschied, ob Prämissen wahr sind, damit eine Bedingung gültig ist, daher bin ich mir nicht sicher, was das "ursprüngliche Argument" hier tut.
@ScottB. Bitte unterteilen Sie diese Frage in noch kürzere Aussagen.
Es ist nicht klar, was Sie fragen. Geben Sie vielleicht ein Beispiel für einen "ursprünglichen Sylogismus" und wie "modus ponens" dafür steht.
Hallo Graham, ich habe dir geantwortet, indem ich die Frage bearbeitet habe.

Antworten (1)

In der Aussagenlogik werden syllogistische, also kategoriale Argumente regelmäßig im modus ponens ausgedrückt, wobei die Konjunktion der beiden Prämissen (z. B. „alle Menschen sind sterblich & Sokrates ist ein Mensch“) als Vordersatz zum Konditional dient, wenn p dann q , und die Konsequenz ("Sokrates ist sterblich") als Schluss. Die Angabe in Form einer bedingten Aussage wird als nicht ausreichend anerkannt, damit der Schluss aus der Prämisse per se gezogen werden kann,

Nein, „Alle Menschen sind sterblich“ ist die Bedingungsaussage (um genau zu sein eine universelle). „Sokrates ist ein Mensch“ ist ein weiteres Prädikat. Sie ziehen gemeinsam das konsequente „Sokrates ist sterblich“ nach sich.

Ɐx (Mensch(x)→Sterblich(x)), Mensch(Sokrates) Ⱶ Sterblich(Sokrates)

aber wenn die Konjunktion der Prämissen „p“ dann als wahr bestätigt wird, was den Konditional in ein modus ponens-Argument verwandelt, dann beschreiben die Logiklehrbücher die Konklusion „q“ als dann „abgeleitet“. Aber das kann doch nicht sein, und meine Frage war "ist allgemein anerkannt, dass dem nicht so ist".

Es ist nicht. Es ist so , dass q aus p und p→q nach der Regel des 'modus ponens' abgeleitet wird.

p→q, p Ⱶ q

PS:

Sie scheinen die Regel des Modus Ponens mit der Tautologie zu verwechseln : ((p → q) ˄ p) → q , was mit dieser Schlussregel bewiesen werden kann.

0. |___
1. |  |_ (p → q) ˄ p      Assumption
2. |  |  p → q            ˄ Elimination (1)    
3. |  |  p                ˄ Elimination (1)
4. |  |  q                → Elimination (2,3)  aka Modus Ponens               
5. |  ((p → q) ˄ p) → q   → Introduction (1-4)
Hallo Graham, danke für die Antwort, zum ersten Punkt bestreite ich nicht die Gültigkeit der Art und Weise, wie die Prädikatenlogik das syllogistische Argument darstellt, sondern nur die Art und Weise, wie die Aussagenlogik dies tut. Ihre Linie der Prädikatenlogik ist kein Beweis und erfordert immer noch UI und dann MP. Und mein Punkt war genau, dass MP nichts hinzufügt, es sei denn, es gibt eine vorherige kategorische Demonstration, wie Sie sie gegeben haben: Ɐx (Man(x)→Mortal(x)), Man(Socrates) Ⱶ Mortal(Socrates). Das heißt, um dieses Argument zu beweisen, muss Man(Socrates) Ⱶ Mortal(Socrates) instantiiert und dann Man(Socrates) bestätigt werden, woraus wir dann Mortal(Socrates) by MP schließen.
Was den zweiten Punkt betrifft, weiß ich, dass MP sagt, dass Sie q aus (p>q und p) ableiten können, aber in meiner Frage habe ich argumentiert, dass i) es sei denn, es gibt eine vorherige Demonstration der Art, die in der Prädikatenlogik explizit ist, oder (ich glaube) in der Aussagenlogik angenommen, dann können Sie nichts sinnvoll „ableiten“, und ii) selbst wenn Sie vor Ihrem „Beweis“ durch MP entweder ein explizites oder angenommenes kategoriales Argument haben, läuft ein solcher Beweis lediglich auf die Behauptung hinaus dass das mit Modus Ponens vorgebrachte Argument stichhaltig ist.
Außerdem sehe ich keinen Unterschied zwischen Modus Ponens als angeblicher Argumentform und Modus Ponens, ausgedrückt als wahrheitsfunktional tautologe Bedingungsaussage. Allein die Tatsache, dass sie als Tautologie dargestellt werden kann, ist für mich ein Hinweis auf ihre letzte Leere.
@ScottB Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass es "selbstverständlich wahr" oder axiomatisch ist, dass Q aus P ableitbar ist und P Q impliziert. Modus ponens ist eine grundlegende Schlussregel, die im Wesentlichen durch "das bedeutet Implikation" gerechtfertigt ist. Der sokratische Sylogismus besteht aus zwei solchen Regeln ... modus ponens und universeller Instanziierung ... und ist daher nicht grundlegend.
Meiner Meinung nach sollte logische Deduktion selbst nicht axiomatisch ausgedrückt werden, sondern selbstverständliche Axiome wie die Gesetze der Identität und der Widerspruchsfreiheit liefern die grundlegende Grundlage für eine logisch gültige Form, die besagt: Wenn bestimmte Dinge, die Identität betreffen, der Fall sind, diese anderen Dinge müssen folgen. Obwohl solche Axiome ausdrücken, wie die Dinge metaphysisch sein müssen (und daher tautolog sind), besteht der Sinn eines logischen Arguments darin, spezifische Konsequenzen der Notwendigkeit aufzuzeigen und nicht eine leere Nachahmung davon zu sein, als ob ein gültiges Argument selbst und nicht seine Schlussfolgerung wäre was unbedingt wahr ist.
Mit anderen Worten, eine axiomatische Tautologie sagt, wie die Dinge sein müssen, während ein logisch gültiges Argument besagt, dass angesichts dieser Axiome, die sagen, wie die Dinge sein müssen, diese Sache daraus folgen muss. Warum sollte ein gültiges Argument, das auf axiomatischen Tautologien basiert, selbst als Modus-Ponens-Argument ausgedrückt werden, das tatsächlich eine solche Tautologie ist? Ein Axiom ist eine Grundlage für ein Theorem (Axiom + Schlußfolgerung = Schlussfolgerung), also warum sollte dies so ausgedrückt werden, als ob das ganze Argument nur ein Axiom wäre? Die einzige Möglichkeit, ein gültiges Argument in eine axiomatische Wahrheit zu verwandeln, besteht darin, es als Tautologie im leeren Sinne wiederzugeben.
Es ist seltsam, dass in Logik-101-Lehrbüchern immer gesagt wird: "Ein Argument ist nicht wahr oder falsch, es ist entweder gültig oder nicht, und wenn es gültig ist, dann ist es solide oder nicht - eher ist es die Schlussfolgerung, die wahr oder falsch ist", aber dann sie Fahren Sie sofort fort, modus ponens als ein notwendigerweise wahres Argument darzustellen (eine Tautologie, kein gültiges Argument mit einer notwendigerweise wahren Konsequenz). Entweder hatten sie beim ersten Mal Recht, oder Modus Ponens kann kein notwendigerweise wahres Argument sein, weil Argumente nicht wahr oder falsch sind, sondern nur Prämissen und Schlussfolgerungen. Welches ist es?
@ScottB. Die Tautologie (p ˄ (p → q)) → q ist nicht modus ponens . Es ist eine Aussage, die für alle Zuweisungen ihrer Literale gilt. Modus ponens ist eine Schlußregel , um eine Aussage aus anderen Aussagen des angegebenen Schemas abzuleiten; das gültige Argument , dass man aus P und P→Q ​​Q ableiten kann. Sie sind unterschiedliche Strukturen.
Ihre Behauptung ist, dass die Bestätigung des Vordersatzes eine Bedingungsaussage, der alle zugestimmt haben, nicht zu einem MP-Argument macht, wodurch dieser Satz aus der Wahrheit dieses Vordersatzes abgeleitet werden kann (was bedeutet, wenn der Vordersatz für Prämissen von a steht gültiges Argument, dann kann die Konklusion als wahre Konsequenz abgeleitet werden)? Wenn dem so ist, dann ist MP ein Behauptungsargument, obwohl der Konditional jetzt eine seiner Prämissen ist. die behauptet, dass eine Schlussfolgerung von Prämissen impliziert wird, nicht wahr?
Und angesichts der Tatsache, dass jedes gültige Argument auch als hypothetische Bedingung ausgedrückt werden kann, die anzeigt, dass, wenn die Prämissen wahr sind, die Schlussfolgerung folgt, z. B. „WENN (alle Menschen sind sterblich &. usw.), dann ist S sterblich“, so scheint es Für mich ist "wenn p & (wenn p, dann q), dann q" genau so eine hypothetische Wiedergabe von MP: Wenn die Prämissen von MP wahr sind, dann ist seine Schlussfolgerung.
Anders als beim Syllogismus ist das Ergebnis jedoch eine Tautologie. Dies liegt daran, dass die Bejahung des Vordersatzes effektiv das „wenn“ aus der bedingten Prämisse streicht, denn damit eine Schlussfolgerung aus Prämissen abgeleitet werden kann, muss es eine gültige Argumentform geben, die in diesem Fall nur „p daher q“ sein kann. (Dies gilt, wenn MP verwendet wird, um ein gültiges Argument darzustellen, dessen Schlussfolgerung erforderlich ist - mir ist bewusst, dass es andere Interpretationen der Funktion der Bedingung gibt).
Gleichzeitig sagen wir durch die Bestätigung von „p“, dass „p, also q“ nicht nur gültig, sondern auch korrekt ist. Und doch gibt es keine formale Gültigkeit in dem nackten Argument „dies, also das“, weshalb i.) MP nicht mehr als eine Bestätigung der Stichhaltigkeit eines an anderer Stelle vorgebrachten gültigen Arguments liefern kann, von dem seine eigene Gültigkeit abgeleitet wird das, und ii.) wenn es als hypothetisch angegeben wird, ist es eine Tautologie: " Wenn die Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung aus den Prämissen folgt, dann ist die Schlussfolgerung auch wahr."
Diese Tautologie ist notwendigerweise wahr, weil sie kein gültiges Argument darstellt, sondern die Tatsache, dass die Wahrheit der Prämissen eines gültigen Arguments per Definition die Wahrheit seiner Schlussfolgerung nach sich ziehen würde. d.h. obwohl es grundlegend sein soll, dass Argumente selbst nicht wahr oder falsch sind, sondern wenn ein Argument gültig ist, dann wird eine wahre Schlussfolgerung durch wahre Prämissen (die „Notwendigkeit“ wird hier durch die logische Form bereitgestellt) dennoch MP mit sich gebracht, hypothetisch gesagt ist notwendigerweise nur vage wahr: "Ein Argument mit Prämissen, die eine Schlussfolgerung nach sich ziehen, hat diese Schlussfolgerung zur Folge, wenn die Prämissen wahr sind".
Modus Ponens als Syllogismusersatz
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