Syllogistische Logik: Negation eines kategorialen Satzes?

Ich bin ein Anfänger der Logik und schreibe eine Einführung in die Logik für ein Mathematikbuch. Ich habe den Eindruck, dass die drei zu erklärenden Hauptbereiche der Logik (in dieser Reihenfolge) die Syllogistik, die Satzlogik und die Prädikatenlogik sind.

Beginnend mit der syllogistischen Logik behaupte ich, dass ein Syllogismus eine Sammlung von drei Aussagen ist, wobei jede Aussage die Form eines "kategorischen Satzes" hat. Es gibt genau vier mögliche kategoriale Aussagen:

All x are y
All x are not y
Some x are y
Some x are not y

Man könnte dies als einen weiteren möglichen kategorischen Satz betrachten no x are yund vorschlagen, aber ich glaube, das ist äquivalent zu all x are not y. Ebenso no x are not yist die Anweisung äquivalent zu all x are y. Wäre das richtig?

Zweitens weiß ich, dass in der Satzlogik jede Aussage eine Verneinung hat. Zum Beispiel ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q. Mir ist jedoch aufgefallen, dass weder auf der Wikipedia-Seite für den Syllogismus noch auf der Wikipedia-Seite für den kategorialen Satz Negationen erwähnt werden. Es ist, als gäbe es in der syllogistischen Logik keine Negationen kategorialer Sätze. Dies erscheint mir jedoch seltsam, da ich aufgrund meiner eigenen Intuition vorschlagen würde, dass jeder eine Negation hat, die ich wählen würde:

¬(All x are y)      ≡  Some x are not y
¬(All x are not y)  ≡  Some x are y
¬(Some x are y)     ≡  All x are not y
¬(Some x are not y) ≡  All x are y

Das kommt nur von meiner eigenen Intuition. Es scheint mir aber richtig zu sein. Wie ich bereits erwähnt habe, erwähnt jedoch keine der Wikipedia-Seiten für Syllogistic Logic, Categorical Propositions usw. Negationen dieser Aussagen, als ob sie in diesem System nicht existieren würden. Übersehe ich etwas?

Danke für deine Gedanken!

Leider unterstützt die PhilosophySE kein LaTex. In diesem Meta-Beitrag finden Sie Erklärungen, warum Anfragen zum Hinzufügen dieser Funktion abgelehnt wurden, sowie Vorschläge für praktische Alternativen zum Anzeigen von Formeln. Normalerweise kopiere ich einfach Unicode-Symbole aus Online-Listen gängiger mathematischer Symbole und füge sie ein.
Danke für den Tipp! Ich habe meine Frage bearbeitet, um meinen LaTeX-Code in HTML-Symbole umzuwandeln.
Ich denke, der Begriff "Negation" wird in der Begriffslogik nicht auf die gleiche Weise verwendet. Schauen Sie stattdessen auf das Quadrat der Opposition. Der Widerspruch eines kategorialen Satzes wäre dasselbe wie seine "Negation" in der modernen Logik. Die moderne Logik hat ein Erbe, das logische Aussagen als algebraische Gleichungen behandelt, also ist das Negieren genau wie das Multiplizieren mit -1. Die Begriffslogik erkennt einen solchen Denkprozess im Allgemeinen nicht an. Zumindest Begriffe wie "logisches Produkt" und "logische Summe" blieben nicht hängen...

Antworten (1)

Sie „vermissen“ den traditionellen Oppositionsplatz .

Wie du sagst :

„Jedes S ist P“ und „Einiges S ist nicht P“ sind Widersprüche.

Die "traditionelle" Symbolisierung ist:

  • SaP für „alle S sind P“

  • SeP für "kein S ist P"

  • SiP für "some S is P"

  • SoP für "some S is not P".

o und i sind die Negationen von a bzw. e .

Also: nicht SaP wird "nicht alle S sind P" dh "einige S sind nicht P", was SoP ist .

Dasselbe gilt für not SeP , dh "not no S is P", dh "some S is P", was SiP ist .

Notiz

Aus heutiger Sicht muss die "Ordnung" lauten:

  • Satzlogik,

  • syllogistische Logik,

  • Prädikatenlogik.

Die syllogistische Logik wird auch monadische Prädikatenlogik genannt , weil sie einfach die Teilmenge der Prädikatenlogik ist, bei der alle Prädikatenbuchstaben die "Stellung" eins haben, iemonadisch.

Die Stellenzahl eines Prädikatsbuchstabens ist die Anzahl seiner Argumentstellen.

Somit sind "... ist Vater von ..." und "... ist kleiner als ..." dyadisch : Stelligkeit = 2 (zwei Argumentstellen; üblicherweise genannt : binäre Relationen).

Der kategorische Syllogismus verwendet nur Prädikate mit einer Argumentstelle, wie "... ist ein Mann", "... ist sterblich"; arität = 1 (eine Argumentstelle).

Das ist der Grund, warum wir es mit der Sprache der Mengen (oder Klassen ) „modellieren“ : „Alle Menschen sind sterblich“ ist äquivalent zu: Die Menge der Menschen ist in der Menge der Sterblichen enthalten.

Siehe das erste Lehrbuch der modernen mathematischen Logik:

Ah – das ist die perfekte Antwort! Danke, @Mauro. Würden Sie also auch sagen, dass die Satzlogik eine "Untermenge" der syllogistischen Logik ist, wo das "Widersprüchliche" der syllogistischen Logik der "Negation" der Satzlogik entspricht? Das heißt, die Negation eines kategorischen Satzes ist sein Widerspruch vom Quadrat der Opposition? PS, danke für die Buchempfehlung; Ich habe es gerade über Amazon bestellt.
Eine andere Frage - ich bin etwas verwirrt, was genau das Prädikat ist ... Sie nennen anscheinend "...ist sterblich" (oder allgemein den Ausdruck "...sind P" im Satz "alle S sind P") ein Prädikat. Allerdings bezieht sich die Wikipedia-Seite nur auf den einzelnen Buchstaben P als Prädikat. Das heißt, die beschreibenden Begriffe sind "S" (Subjekt) und "P" (Prädikat), während "alle" und "sind" logische Begriffe sind. Danke, dass du mir geholfen hast, das zu klären.
Ja, P, S sind Prädikatsbuchstaben in der modernen Logik mit arity . Daher wird der "standardmäßige" kategoriale Satz des Syllogismus: "alle S sind P" in der modernen Logik übersetzt als "für alle x (wenn S (x), dann P (x))". So wird "alle Menschen sind sterblich" übersetzt in "für alle x (wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich)" oder äquivalent als "für alle x (wenn Mensch (x), dann sterblich (x))". Ich verwende sowohl „Man(x)“ als auch „x is a Man“, um das formale „P(x)“ zu übersetzen.
Was die Satzlogik betrifft, so wird sie normalerweise zuerst beschrieben, um das Grundkonzept und vor allem die Konnektoren einzuführen . Aber es ist richtig, dass wir es als Teilmenge der Prädikatenlogik sehen können. Wenn wir Barbara natürlich als Satzformel lesen, läuft es auf "wenn p und q, dann r" hinaus, was natürlich überhaupt kein gültiges Argument ist ...
Neben dem Eintrag von SEP zur Logik des Aristoteles können Sie Günther Patzig, A ristotle’s Theory of Syllogism (1968) einsehen.
Wäre es richtig, Satzlogik ⊂ Syllogistik ⊂ Prädikatenlogik zu sagen? Danke noch einmal!
Silbenlogik ist in modernen Begriffen monadische Prädikatenlogik (dh Pred Log beschränkt auf Prädikatsbuchstaben mit nur einem Argument): Es ist also richtig zu sagen, dass Syllogistik ⊂ Prädikatenlogik ist. auch Satzlogik ⊂ Prädikatenlogik ist wahr, weil jede prädikatenlogische Instanz einer Tautologie gültig ist .
Syllogistische Logik: Negation eines kategorialen Satzes?
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