Motivationen für Diatheismus?

Um Ihrem Beispiel zu folgen, ich glaube nicht, dass irgendjemand echte Widersprüche akzeptiert. Das heißt, niemand akzeptiert „P und -P“ jemals als „wahr“. Parakonsistente Logik erlaubt in einem Beweis, dass sowohl P als auch -P separat behauptet werden, aber die Logik erlaubt, dass der Beweis anderer Dinge fortgesetzt wird, ohne dass der gesamte Beweis im Beweissystem auseinanderfällt. Es ist kein Theorem (z. B. in der Relevanzlogik).

(P und -P) -> Q

(ex falso quodlibet), aber das bedeutet nicht, dass 'P und -P' -ein Satz ist.

Wahre Widersprüche (oder, wie Sie meinen, Inkonsistenzen) werden nie als Theoreme akzeptiert, aber sie werden manchmal "toleriert", solange sie nicht etwas anderes verderben.

Hier ist eine weitere Motivation für Diathismus – inkonsistente Mengenlehre :

1. Es ermöglicht eine Formalisierung der naiven Mengenlehre mit der naiven Erwartung, dass jedes Prädikat eine Menge bestimmt. Das heißt, es ist eine weitere Lösung für Russells Paradoxon, abgesehen von der Typentheorie oder ZFC.

2. Es hat also eine universelle Menge, und Cantors Paradoxon ist jetzt ein Theorem.

3. Diese Theorie beweist das Auswahlaxiom und widerlegt die Kontinuumshypothese .

4. Es entwaffnet beide Theoreme von Gödel, die Hilberts Programm zum Entgleisen gebracht haben , so dass das Programm wiederbelebt und abgeschlossen werden kann.

5. Tarski zeigte , dass das Wahrheitsprädikat in ZFC nicht definierbar ist. In parakonsistenten Grundlagen erweist sich ein inkonsistentes Wahrheitsprädikat als definierbar.

Dies scheinen mir ziemlich bemerkenswerte Errungenschaften zu sein.

Mein Lieblingsbeispiel ist eines, das Graham Priest und Jay Garfield im Denken von Nāgārjuna identifizieren, das sie Nāgārjunas Paradoxon nennen ; es wird in ihrem gemeinsamen Artikel Nāgārjuna and the Limits of Thought beschrieben .

Die schematische Version lautet wie folgt (Zitat aus dem oben genannten Papier):

Wenn Nāgārjuna mit seiner Wesenskritik richtig liegt und sich somit herausstellt, dass allen Dingen die grundlegende Natur fehlt, stellt sich heraus, dass sie alle die gleiche Natur haben, das heißt Leerheit, und daher sowohl diese Natur haben als auch nicht haben. Dies ist eine direkte Folge des rein negativen Charakters der Eigenschaft der Leerheit, eine Eigenschaft, die Nāgārjuna zuerst vollständig charakterisiert und deren zentrale Bedeutung für die Philosophie er zuerst demonstriert.

Offensichtlich ist dies in Bezug auf die meisten westlichen Philosophien weit vom Mainstream entfernt, aber Nāgārjuna bildet die philosophische Grundlage von so ziemlich dem gesamten Mahāyāna-Buddhismus, daher ist dies tatsächlich eine ziemlich orthodoxe Position (in einigen Bereichen).

BEARBEITEN: Aufgrund der Umformulierung der Frage und der Konversation in den Kommentaren werde ich versuchen, hier etwas allgemeiner auf das Thema einzugehen.

Da sich der ursprüngliche Fragesteller auf einen mathematischen Hintergrund bezieht, werde ich versuchen, mich an mathematische Beispiele zu halten.

Beginnen wir mit einem trivialen Paradoxon. Wir wissen natürlich, dass es ganze Zahlen gibt, die keine Primzahlen sind. Tatsächlich scheint es eine gute Anzahl von ihnen zu geben. Und doch wissen wir auch, dass es genau so viele Primzahlen gibt, wie es ganze Zahlen gibt. Wir haben hier ein einfaches Paradoxon; zwei widersprüchliche Aussagen, die beide wahr sind.

In ähnlicher Weise können wir Russells Paradoxon betrachten , das auf Probleme hinsichtlich der Natur von Mengen hinzuweisen scheint, oder das Burali-Forti-Paradoxon .

Eine frühere Version der Frage bezog sich auf Heraklits Diktum, dass man nicht zweimal in denselben Fluss steigen kann. Dabei geht es nicht nur um „Sprachungenauigkeiten“, sondern um den Kern dessen, was mit dem Begriff der Identität gemeint ist.

Und, wie Tarski betont hat, wird jede Sprache, die eine Wahrheitsfunktion hat, dem Lügner-Paradoxon unterliegen. Die Tatsache, dass der Fragesteller dies als „nicht bezeichnend“ betrachtet, ist interessant, da es die Frage aufwirft, nach welchen strengen Kriterien man es ausschließen könnte (und andere ähnliche Behauptungen).

Jedes davon stellt ein echtes Paradoxon dar ; keine sind auf sprachliche Ungenauigkeiten, Mehrdeutigkeiten oder schlecht definierte Randbedingungen zurückzuführen. Es gibt einige Teile der Welt, die leider paradox sind – und wenn man sich an explosiven Logiken festhält, steht man vor der Aussicht, entweder a) zu versuchen, alle diese Paradoxien ( und viele andere ) zufriedenstellend aufzulösen, oder b) ganz auf die Vernunft verzichten (da nun alles und nichts beweisbar ist.)

Ich neige dazu, das Vorhandensein von Paradoxien nicht als Hinweis darauf zu sehen, dass die Qualität des Modells schlecht ist, sondern eher als das Gegenteil; Jedes Modell, das keine Paradoxien enthält, ist höchstwahrscheinlich ein zu einfaches Modell, um unsere Welt genau zu modellieren (und basiert auf unzureichend subtilen Axiomen).

Aus dem SEP-Artikel, auf den Sie verlinken, gibt es viele Begründungen für den Diatheismus (aber auch viele Einwände). Aber um deine direkten Fragen zu beantworten:

• Beispielsweise sind viele (wie der Artikel angibt) Inkompatibilitäten des Kontexts, entweder Vagheit (kontinuierliche Übergänge) oder Amphibolie (ein Wort mit mehreren unterschiedlichen Bedeutungen) oder unterschiedliche Regelsysteme (rechtliche Präzedenzfälle, die die Situationen unterschiedlich interpretieren). Ihr kanonisches Beispiel, das nicht von dieser Art ist, ist das Lügnerparadoxon.

• Was die Zweckmäßigkeit anbelangt, denke ich nicht, dass der Diatheismus als System angeboten wird, um Widersprüche zu begründen, sondern nur um zu erkennen, dass es sich um mögliche Äußerungen handelt, für die es gut wäre, sie manipulieren zu können, um sie auf kohärente Weise behandeln zu können .

• Warum man "explosive" Logik vermeiden möchte, ist ein Beispiel in einem mechanischen Verifikationssystem, das mit nicht-monotonen Situationen umgehen muss (atomare Fakten sind Aussagen über die reale Welt, die sich ändern können (damals das hellrote grün am nächsten)), kann es sein, dass bei einem Übergang von der Kenntnis von 'rotem Licht' zu der Kenntnis von 'grünem Licht' beide gleichzeitig im System sind, und so könnte eine klassische Logik dann beginnen, mehrere zufällig zu machen Schlussfolgerungen aus diesem Paar (aus einem Widerspruch folgt alles), das heißt, mit einer Reihe irrelevanter Aussagen „explodiert“, bevor die „rote Ampel“-Tatsache entfernt wird. Dies ist nur eine schmale Anwendung. (Dies ist auch ein weiterer, nicht explizit erwähnter Fall eines Vorteils einer parakonsistenten Logik).

Mehrere Antworten haben die positiven Gründe aufgezeigt, warum Diatheismus eine Überlegung wert sein könnte, was impliziert, dass die Hauptmotivation des Diatheismus in der Anwendbarkeit auf bestimmte Situationen (ob logisch oder materiell) liegt, in denen die einzig korrekte Beschreibung eine Diatheia beinhaltet und die ansonsten unlösbar ist oder muss umgangen und vermieden werden.

Es scheint jedoch, dass die Hauptmotivation negativer Art ist : Eine (kleine) Anzahl von Philosophen und Logikern in der Geschichte der Philosophie hat festgestellt, dass die ursprüngliche Verteidigung des Gesetzes der Widerspruchsfreiheit (LNC) von Aristoteles fehlt.

Da es Aristoteles war, der LNC als erster einführte, besteht ihr erster Schritt darin, die Beweislast umzukehren ; es ist eine Aufgabe der Verteidiger von LNC, eine theoretische Begründung zu geben – nicht die der nicht überzeugten Philosophen, ihre Opposition gegen LNC zu rechtfertigen. Der „Widerstand“ in diesem Schritt ist einfach die Anerkennung, dass es keine ausreichende Rechtfertigung dafür gibt, LNC für notwendigerweise wahr zu halten.

Aristoteles auf LNC

Einfach ausgedrückt, es ist nicht klar, worüber Aristoteles genau in Met.III spricht, wenn er LNC verteidigt. Er mischt ontologische , pragmatische , semantische und syntaktische Versionen von LNC zusammen. (Da es keine LateX-Unterstützung gibt, werde ich nur die Interpretationen schreiben.)

1) Ontologisch:

 It is not possible that the same object both possesses and lacks the same property.

2) Pragmatisch:

No (rational) agent can simultaneously accept and reject the same sentence.

3) Semantik:

No sentence is both true and not true.
No sentence is both true and false.
A sentence and its negation cannot both be true.

4) Syntax:

¬(a∧¬a)

Aristoteles hält an der einen oder anderen Stelle alle diese Versionen für transzendental notwendig und verbindet sie zu einem Prinzip. Dieser SEP-Eintrag gibt einen Überblick darüber, wie Aristoteles versuchte, diese Versionen miteinander zu verknüpfen und sie als notwendige Bedingung für seinen ontologischen Essentialismus (dh seine Darstellung des Wesens durch die Unterscheidung zwischen notwendigen und zufälligen Eigenschaften) zu verwenden.

Seine Verteidigungslinie ist die berühmte elenktische Methode . Da der Gegner, der an LNC zweifelt, nicht der Widerspruchsfreiheit verpflichtet ist, ist es keine wirklich praktikable Strategie, dem Gegner zu zeigen, dass er sich selbst widerspricht. Stattdessen versucht Aristoteles, den Gegner zu täuschen, indem er zeigt, dass er mindestens eine Instanz von „x ist F und ist nicht gleichzeitig nicht F“ akzeptiert, dh Aristoteles will zeigen, dass der Gegner sich zumindest darauf einlässt ist nicht widersprüchlich. Damit argumentiert er gegen den Trivialismus , nicht gegen den modernen Diatheismus (der nicht der Ansicht verpflichtet ist, dass alle Widersprüche wahr sind, sondern nur einige ).

Denken Sie, dass alle oben genannten Versionen gleichwertig sind? Dass alle auf die gleiche Weise verteidigt werden können? Dass eine der Versionen analytisch in einer anderen Version enthalten ist? Aristoteles tat es, und dies war der Status quo, einschließlich seiner Argumente, bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts.

Auf Wiedersehen Aristoteles

Es scheint mir nicht so schwer vorstellbar, dass einige Philosophen, beginnend mit Jan Łukasiewicz, von dieser Argumentation mit schweren Prämissen (aristotelischer Essentialismus!) und chaotischen Formulierungen nicht wirklich beeindruckt waren. Und da Logik nicht mehr als Denkgesetze angesehen wurde und auch nicht als Übereinstimmung mit einer metaphysischen Wahrheit darüber, wie die Welt ist, begannen sie darüber nachzudenken, wie sie mit einer logischen Möglichkeit umgehen sollten, an der LNC nicht unbedingt festhält (wie Aristoteles dachte, es würde). An dieser Stelle gibt es mehrere Möglichkeiten, schwächere oder stärkere Positionen zu formulieren, und für den Diatheisten greifen die obigen bejahenden Gründe ein, die ihn dazu bringen, Diatheia ernst zu nehmen.

Erlauben Sie mir, eine Parallele zur Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien zu ziehen . Jahrhundertelang hielten Philosophen dies für die einzig mögliche Geometrie. Sie führten transzendentale Beweise an (Kant versuchte zu zeigen, dass der euklidische Raum die "Bedingung der Möglichkeit" ist, Raum zu begreifen), physikalische Beweise (der physische Raum ist einfach so strukturiert) und logische Beweise der ad absurdum geführten Reduktion (keine andere konsistente Geometrie ist es möglich). Es war dieses letzte Ziel, das Mathematiker wie Saccheri tatsächlich dazu veranlasste, nicht-euklidische Geometrien zu formulieren, ohne dies zu beabsichtigen:

Die Absicht von Saccheris Arbeit war angeblich, die Gültigkeit von Euklid durch einen ad absurdum geführten Beweis für jede Alternative zu Euklids parallelem Postulat zu begründen. Dazu nahm er an, dass das Parallelpostulat falsch sei, und versuchte einen Widerspruch abzuleiten. Da Euklids Postulat der Aussage entspricht, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt, zog er sowohl die Hypothese in Betracht, dass die Winkel sich zu mehr oder weniger als 180° addieren.

Das erste führte zu dem Schluss, dass gerade Linien endlich sind, was dem zweiten Postulat von Euklid widerspricht. Saccheri lehnte es also zu Recht ab. Heute wird dieses Prinzip jedoch als Grundlage der elliptischen Geometrie akzeptiert, wobei sowohl das zweite als auch das fünfte Postulat abgelehnt werden.

Die zweite Möglichkeit erwies sich als schwieriger zu widerlegen. Tatsächlich war er nicht in der Lage, einen logischen Widerspruch abzuleiten und leitete stattdessen viele nicht intuitive Ergebnisse ab; Zum Beispiel, dass Dreiecke eine maximale endliche Fläche haben und dass es eine absolute Längeneinheit gibt. Er kam schließlich zu dem Schluss, dass „die Hypothese des spitzen Winkels absolut falsch ist, weil sie der Natur gerader Linien widerspricht“. Heute sind seine Ergebnisse Sätze der hyperbolischen Geometrie.

... und das hat einige "nette Anwendungen" gefunden (obwohl man sicherlich argumentieren könnte, dass es keine logischen Gründe gibt, die Physiker gezwungen haben, die euklidische Geometrie aufzugeben, und wir hätten bei LET statt SRT bleiben können).

Wenn Sie diesen Vergleich irreführend finden, gibt es vielleicht eine treffendere Parallelität mit dem Aufstieg mehrwertiger Logiken, indem das Gesetz der Bivalenz aufgegeben wird .

Dasselbe geschah mit LNC. Sie galt als ontologisch, pragmatisch und logisch notwendig. Dann stellte sich sehr spät heraus, dass man tatsächlich Logiken konstruieren könnte, die LNC schwächen oder aufgeben. Von da an fanden diese Logiken einige interessante Anwendungen in Vagheit, Paradoxa usw. - eine Anwendung, die nicht jeder, wie Sie zeigen, überzeugend genug findet, da diese Anwendungen keine logisch zwingenden Interpretationen sind und es immer möglich ist, sie durch Wartung von LNC zu interpretieren .

Das Tao hat eine Zeile „Der Weg, der benannt werden kann, ist nicht der Weg“. Das sieht für mich wie ein Widerspruch aus. Wir haben ihn bereits als den „Weg“ bezeichnet, aber es wird dann geleugnet, dass er es ist. Aber ich finde die Aussage wahr/sinnvoll.

Die einfachste Umschreibung, die mir einfällt, ist, dass die Wahrheit, die formalisiert werden kann, nicht die Wahrheit ist. Die Wahrheit entzieht sich unserer ständig zunehmenden Fähigkeit, sie zu erfassen. Es übersteigt immer unser Fassungsvermögen. Eine mathematische Analogie wäre der Satz von Gödel, wo gezeigt wird, dass ein formales System Wahrheiten ausdrücken kann, die nicht beweisbar wahr sind.

Ich kann nicht einsehen, warum ex widerspruch quodlibet als Problem angesehen werden sollte, da kein Widerspruch wahr sein kann. Was also, wenn alles aus einem echten Widerspruch folgt? Echte Widersprüche gibt es nicht. Es kann keine geben. (Anders zu denken, verrät ein Versagen, die Negation zu verstehen.) Sie werden also nie eine tatsächliche Explosion bekommen.

Ex falso quodlibet ist eher ein scheinbares Problem, da dann "Wenn der Mond aus grünem Käse besteht, dann tänzeln winzige lila Einhörner auf dem Mars" zu einem echten Bedingungssatz wird. Man möchte sich fragen, was die Tatsache, dass der Mond aus grünem Käse besteht, möglicherweise mit den winzigen lila Einhörnern zu tun hat, die auf dem Mars herumtänzeln. Aber es ist die Bedingung , die wahr ist, wenn der Vordersatz falsch ist; nichts sagt, was man irgendwie ableiten kanndie Folge aus dem Vordersatz. Dennoch, wenn einen das stört, kann man immer noch zu einem vorausgesetzten Konditional wechseln – einem, der einfach keinen Wahrheitswert hat, wenn sein Antezedens falsch ist. Tatsächlich ergibt sich das wahrgenommene Problem aus der Behandlung der materiellen Bedingung, als ob sie eine Voraussetzung wäre, und dem Gedanken: „Mensch, wenn ‚wenn der Mond aus grünem Käse besteht, dann tanzen winzige lila Einhörner auf dem Mars‘ wahr ist, bedeutet das, dass das alles war wirklich wahr, dass der Mond aus grünem Käse bestand, es wäre auch wirklich wahr, dass winzige lila Einhörner auf dem Mars herumtänzelten!" Aber der wahrheitsfunktionale materielle Konditional unterscheidet sich vom Voraussetzungskonditional. Man könnte dies natürlich für einen Fehler halten, wenn man den gewöhnlichen, alltäglichen Konditional als den materiellen Konditional interpretiert.

Ich habe versucht, angebliche Beispiele für wahre Widersprüche zu finden, um zu zeigen, dass sie nicht wirklich wahr sind oder keine wirklichen Widersprüche sind. Wenn Leute Ihnen Beispiele schicken, würde ich gerne wissen, was sie sind.

In dem Beispiel der aufeinanderfolgenden Siebenen in der Erweiterung von Pi wird das Wort „know“ zweideutig. "Wir wissen, dass es eine Million aufeinanderfolgende Siebenen gibt" ist unter den gegebenen Bedingungen als wahrscheinlich wahr zu verteidigen, also bedeutet "wissen" nur "ohne jeden vernünftigen Zweifel wissen". „Wir wissen nicht, dass es eine Million aufeinanderfolgende Siebenen gibt“ ist nur dann als falsch zu verteidigen, wenn „wissen“ bedeutet „ohne jeglichen Zweifel wissen“.

„Der Weg, den man nennen kann, ist nicht der Weg“ ist kein Widerspruch. Es heißt nicht „Der Weg ist nicht der Weg“. Es sagt so etwas wie "Der-Weg-der-benannt-werden-kann-ist-nicht-der-Weg-den-ich-im Sinn habe." Der erstere Referent unterscheidet sich vom letzteren Referenten.

„Dieser 1,80 Meter große Profi-Basketballspieler ist sehr groß“ ist wahr, wenn „groß“ „größer als 1,70 Meter“ bedeutet, aber falsch, wenn „groß“ „größer als 1,80 Meter“ bedeutet. Ob es sich um einen wahren Satz handelt oder nicht, hängt davon ab, was man mit seinen Worten meint . Und das ist immer so: Ein Satz allein ist nicht wahr oder falsch, aber er ist wahr oder falsch unter einer Interpretation . Wir versuchen, klar genug zu sprechen, dass wir Sätze alle gleich interpretieren, aber manchmal tun wir das nicht, und dann denken wir vielleicht, dass wir anderer Meinung sind, wenn wir einer Meinung sind, oder dass wir zustimmen, wenn wir anderer Meinung sind, nur weil wir dasselbe interpretieren Satz auf unterschiedliche Weise. Wir müssen immer eine feste Bedeutung festlegen und dannWeisen Sie einen Wahrheitswert zu, wenn der Satz unter dieser festen Interpretation einen hat.

Im Nagarjuna-Beispiel: „Wenn Nāgārjuna mit seiner Wesenskritik richtig liegt und sich somit herausstellt, dass allen Dingen die grundlegende Natur fehlt, stellt sich heraus, dass sie alle die gleiche Natur haben, das heißt Leerheit, und daher beide ein und haben fehlt genau diese Natur. Dies ist eine direkte Folge des rein negativen Charakters der Eigenschaft der Leerheit, eine Eigenschaft, die Nāgārjuna zuerst vollständig charakterisiert und deren zentrale Bedeutung für die Philosophie er zuerst demonstriert. Aber entweder fehlt allen Dingen die grundlegende Natur und daher ist Leerheit nicht ihre Natur, oder alle Dinge haben die gleiche grundlegende Natur der Leerheit. Wenn mit „Leere“ „das Fehlen einer grundlegenden Natur“ gemeint ist, dann ist es sowohl wahr, dass allen Dingen die grundlegende Natur fehlt, als auch, dass alle Dinge „Leerheit haben“, dh ihnen fehlt die grundlegende Natur. Es ist kein Widerspruch, sondern eine Tautologie. Nur indem man allen Dingen die grundlegende Natur verweigert und dann die Leerheit so behandelt, als wäre sie sieWo eine grundlegende Natur ist, entsteht der scheinbare Widerspruch.

Natürlich ist es möglich, dass manche Menschen widersprüchliche Überzeugungen haben – aber das unterscheidet sich sehr davon, dass widersprüchliche Überzeugungen gleichzeitig wahr sind .

• Newtonsche Physik/kausaler Determinismus vs. Quantenphysik (Unbestimmtheit)
• Die Definitionen von Dingen verstehen und doch nicht in der Lage sein, die Essenz von irgendetwas wirklich objektiv zu beschreiben (ähnlich wie Nagarjunas Paradoxon, wie Michael es erwähnt, aber ich dachte eher aus einer aristotelischen Perspektive)
• Mehrere Theorien über Zeitreisen und Raumzeit beinhalten Widersprüche, wie z. B. in der Zeit zurückzugehen und etwas zu tun, das dazu führen würde, dass Sie selbst nicht geboren werden, schneller als mit Lichtgeschwindigkeit reisen (und Ihre Masse unendlich zunehmen lassen) und versuchen, schwanger zu werden eines Anfangs- oder Endzeitpunkts, wenn unsere Vorstellung von Zeit voraussetzt, dass Dinge immer vorher da waren und immer danach kommen können, und so weiter.

Ähnlich wie Mitch geschrieben hat, aber auf eine andere Art: Ich bin mir nicht sicher, ob Sie jemals mit einem Beispiel zufrieden sein werden, das wir Ihnen geben können, denn – wenn Sie nach „wahren“ Widersprüchen suchen, bei denen zwei Aussagen/Ideen richtig sind und sich widersprechen (im Gegensatz dazu, dass eine Aussage falsch ist und das Ganze gar kein echter Widerspruch ist) – viele Widersprüche, die wir nennen, sind nur deshalb Widersprüche, weil wir sie für außerhalb des menschlichen Verständnisses halten. Das heißt, sie mögen an sich keine Widersprüche sein, aber aufgrund unserer begrenzten Beobachtungsfähigkeit und unseres primitiven Intellekts scheinen sie zu widersprechen.Ich (und ich bin sicher, dass andere das auch können) kann Ihnen unzählige Beispiele dafür liefern, aber wie gesagt, ich bin mir nicht sicher, ob wir (Menschen auf dem Planeten Erde) Ihnen "wahre" Widersprüche liefern können, wenn Sie fragen.

Nehmen wir für eine andere Perspektive, was die Dinge hier motivieren könnte, an, wir haben eine Logik, die das gesamte Kontinuum der Wahrheitswerte in [0, 1] für ihren Wahrheitssatz hat. Eine Aussage mit dem Wahrheitswert 1 gilt als wahr. Es scheint also vernünftig zu folgern, dass eine Aussage mit einem Wahrheitswert von 0,999 als wahr gilt. Es scheint auch vernünftig zu schlussfolgern, dass eine Aussage mit einem Wahrheitswert von 0,998 als wahr gilt, und zu glauben, dass eine Änderung des Wahrheitswerts einer Aussage um 0,001 sie nicht von wahr zu falsch ändert. Dies impliziert jedoch sofort Widersprüche (Aussagen mit sehr geringem Wahrheitswert) als wahr. Nun könnten wir ablehnen, dass die Änderung des Wahrheitswerts einer Aussage um .001 (dies könnte natürlich kleiner gemacht werden) eine Aussage nicht von wahr auf falsch ändert, aber manche halten das nicht für rational. Man könnte versucht sein zu denken „

Aufgrund der nachgewiesenen Nützlichkeit von Fuzzy-Expertensystemen in der Technik und angesichts einer Interpretation als Akzeptieren jeder Aussage mit Wahrheitswert in (0, 1) als Akzeptieren eines Widerspruchs scheint die Zweckmäßigkeit der Verwendung einer Logik mit Widersprüchen leicht zu demonstrieren.

Denken Sie auch an eine Aussage wie „Dieser 1,80 m große professionelle Basketballspieler ist sehr groß“. Nun, nach der Perspektive der klassischen Logik ist dieser Satz entweder wahr oder falsch oder qualifiziert sich nicht als Satz, wenn wir wissen, auf wen sich „dies“ bezieht. Es ist nicht wie eine bedingte Aussage "sowohl p als auch q". Ich sehe einfach keinen vernünftigen Weg, die Aussage über den Basketballspieler als Behauptung abzulehnen. Aber wenn wir es entweder für wahr oder für falsch halten, dann können wir so oder so auf eine Falschheit schließen, da die Aussage auch den anderen Wahrheitswert hat. Aus Sicht der klassischen Logik endet es also in einem Widerspruch.

Wenn Sie Diatheismus akzeptieren, müssen Sie einige neue logische Systeme entwickeln, damit es funktioniert. Wir brauchen keine Leute, die herumlaufen wie: „Das Paradoxon des Lügners! Daraus folgt, dass NASCAR ein Sport ist!“ Sehen Sie, wie das schnell außer Kontrolle geraten könnte? Offensichtlich will niemand jeden Widerspruch wahr machen. Wir haben also dieses urkomische Bild, ein ungestümes Kind, das wütend mit dem Fuß aufstampft und kreischt: „Widersprüche können nicht wahr sein! Sie können einfach nicht!“ Wenn Sie ein Randianer sind, stampfen Sie hier vielleicht mit dem Fuß auf und bestehen nur darauf, dass Widersprüche nicht wahr sein können, und das ist alles, was dazu gehört.

Um es noch einmal Revue passieren zu lassen, denke ich, dass das Problem nicht so schwach ist wie „wir revidieren unsere Theorien“, oder „wir haben falsche Überzeugungen“ oder „wir machen Fehler“. Nein, das Problem ist die Behauptung, dass einige Widersprüche wirklich wahr sind. Und mein Lieblingsbeispiel für die Relevanz davon ist die nicht-euklidische Geometrie, bei der die Leute ernsthaft nach einer Möglichkeit suchten, widersprüchliche Informationen zu argumentieren, ohne ins Absurde zu verfallen. Die Leute argumentierten, dass mathematische Besessenheit von nicht-euklidischer Geometrie Zeitverschwendung sei. Heute würden wir sagen, dass die nicht-euklidische Geometrie natürlich vollkommen legitim ist. Aber der Aufstieg nicht-euklidischer Geometrien war in den Köpfen einiger ein Krieg gegen den Anspruch der euklidischen Geometrie auf die Form des Raums.

Es war sicherlich ein Schock für Frege, der behauptete, entweder die euklidische Geometrie sei wahr oder die nicht-euklidische Geometrie sei wahr, aber nicht beides. Frege, nicht weniger! Dieser Ansicht hat er sich verschrieben!

Ich glaube nicht, dass irgendjemand echte Widersprüche akzeptiert. Vielleicht streite ich aber auch nur über Semantik, weil ich auch sagen werde, dass Widersprüche scheinbar manchmal „toleriert“ werden, solange sie nicht etwas anderes verderben. Es passiert tatsächlich ständig und ist wiederum überhaupt nichts Neues in der Welt der Axiome, Definitionen, Postulate und Beweise von Sätzen aus diesen drei Dingen.

Mehrdeutigkeit verursacht Verwirrung in der Logik, und das Problem ist größer, als es scheinen mag. Angenommen, ich sage „es regnet“ und dann sage ich „es regnet nicht“. Nun, ich habe mir widersprochen, und beide Aussagen können nicht wahr sein. Aber dann sage ich: ‚Nun, aber es regnet in Los Angeles, Kalifornien, und es regnet nicht in Phoenix, Arizona, meinte ich.' Das ist gut. Aber es ist nicht immer klar, was die Leute meinen. Und es gibt in Mathematik, Logik und formalen Systemen eine ganze Welt von sogenannten primitiven Begriffen, die undefinierte Konzepte sind, und insbesondere ist ein primitiver Begriff nicht durch zuvor definierte Konzepte definiert. Sie sind nur informell motiviert, meist durch den Appell an Intuition und Alltagserfahrung. Das Konzept der Menge ist ein Beispiel für einen primitiven Begriff in der Mengenlehre. In der euklidischen Geometrie Unter Hilberts Axiomensystem sind die primitiven Begriffe Punkt, Linie, Ebene, Kongruenz, Zwischenraum und Inzidenz. Okay, wir verwenden die Ausdrücke, ohne ihre Bedeutung zu erklären. Vielleicht denkst du, ich mache Witze mit dir. Aber es ist wahr, und in solchen Fällen wird es sie gebenechte Widersprüche oder so etwas aufgrund der Mehrdeutigkeit.

Es kann schwierig sein, zwischen Definitionen und bloßen Erklärungsversuchen von etwas zu unterscheiden, dem der Status eines primitiven, undefinierten Begriffs gegeben wird. Nochmals: In der Peano-Arithmetik sind die Nachfolgerfunktion und die Zahl Null primitive Begriffe. Und dieser Punkt über Definitionen, erfordert, dass wir einen begrenzten Kontext angeben, innerhalb dessen etwas wahr sein kann, ohne logisch wahr zu sein. Wie zum Beispiel „es regnet“, um ein einfaches Beispiel zu sein, aber die meisten wahren Urteile sind tatsächlich nur in einem bestimmten Kontext wahr. Jenseits von 'A ist A' kann man wirklich nicht einmal mehr rechnen ohne - nun, um es so auszudrücken, es gibt Möglichkeiten, wie logische Systeme erweitert werden müssen, um die Ableitung arithmetischer Wahrheiten zu ermöglichen. Um ein formales System der Prädikatenlogik mit nichts als logisch gültigen Axiomen so zu erweitern, dass es die Arithmetik erfasst, müssen wir logisch nicht gültige Axiome hinzufügen. Arithmetische Wahrheiten sind nicht logisch gültig. Und das sind Gemeinplätze in der Metamathematik. Nochmals: Dass arithmetische Ausdrücke bestenfalls erfüllbar und nicht logisch gültig sind, ist in der Metamathematik allgemein bekannt.

Dieser Diatheismus ist also nicht nur etwas für Punks und Hippies, obwohl ich damit beginnen würde, zu wiederholen, was dieser Begriff bedeutet, den ich gerade verwendet habe: „erfüllbar“.

Dies ist tangential zum Hauptstoß Ihrer Frage. Die intuitionistische Logik verzichtet nicht auf das Gesetz der Widerspruchsfreiheit, leugnet aber das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte. Das bedeutet, dass es mehr als 2 Wahrheitswerte gibt und diese ein Poset bilden. Lassen Sie uns nun das Gesetz der Widerspruchsfreiheit dahingehend uminterpretieren, dass jede Aussage nur einen Wahrheitswert haben kann. Dann ist dies offensichtlich falsch, eine Aussage kann zwei Wahrheitswerte haben, wobei der zweite mit dem ersten im Satz der Wahrheitswerte vergleichbar ist. Das bedeutet natürlich, dass ein Wahrheitswert redundant ist. Aber ich denke, dieser Winkel ist trotzdem ziemlich interessant.

Irgendwo in der Dezimalerweiterung von Pi gibt es eine Million aufeinanderfolgende Siebenen.

Angenommen, wir können beweisen, dass die Ziffern gleichmäßig verteilt sind (und ein paar andere Bedingungen erfüllen) und können auch beweisen, dass der einzige Weg, um zu wissen, wo sie sind, darin besteht, sie zu finden, und wir haben sie nicht gefunden. In diesem Fall ist "wir wissen, dass es eine Million aufeinanderfolgende Siebenen in der Erweiterung gibt" als wahr vertretbar, und "wir wissen nicht, dass es eine Million aufeinanderfolgende Siebenen in der Erweiterung gibt" ist ebenfalls als wahr zu verteidigen. Und das liegt nicht an der Unbestimmtheit der Begriffe, sondern an der Unbestimmtheit der Erweiterung.