Diatheien ohne Kontraktion/Absorption?

Eines der Argumente für den Diatheismus ist, dass die Paradoxien der Selbstreferenz, wie das Lügnerparadoxon und Russells Paradoxon, am natürlichsten als Diatheias (sowohl wahr als auch falsch) angesehen werden. Um Trivialität zu vermeiden, müssen Diatheisten eine parakonsistente Logik anwenden , in der ex contrainione quodlibet versagt.

In einem ausreichend ausdrucksstarken System wie der natürlichen Sprache oder der Mengenlehre mit naivem Verständnis reicht Parakonsistenz jedoch aufgrund von Currys Paradoxon nicht aus, um Nichttrivialität zu garantieren . Die Standardantwort scheint zu sein, eine Logik zu verwenden, der auch das Kontraktions- / Absorptionsgesetz A → (A → B) ⊢ A → B fehlt, wodurch die Ableitung von Currys Paradoxon blockiert wird.

Mir scheint jedoch, dass das Wegwerfen der Kontraktion auch die anderen Paradoxien der Selbstreferenz blockiert. Wenn wir also bereit sind, auf die Kontraktion zu verzichten, bleibt dann noch etwas von der Motivation für den Diatheismus, die aus diesen Paradoxien kommt? Gibt es semantische oder mengentheoretische Paradoxien, deren Herleitung keine Kontraktion erfordert und die daher immer noch als Diatheien bezeichnet werden können?

Zusätzlich zur Syntax benötigen Sie noch Semantik. Nehmen wir an, dass die Entfernung der Kontraktion alle Paradoxien blockiert (ich bezweifle es), was ist der Wahrheitswert des Lügners? Die dialethische Antwort ist, dass sie wahr und falsch ist. Allgemeiner erlaubt es vollständige Theorien, in denen das Wahrheitsprädikat definierbar ist, und beseitigt daher die Godelschen Probleme und die Tarski-Hierarchie. Aber das erfordert das Eingeständnis einiger echter Widersprüche.
@Conifold, aber wenn wir die Kontraktion verwerfen, schlägt das übliche Argument für die Wahrheit und Falschheit des Lügners fehl, daher scheint es genauso natürlich zu sein, es weder als wahr noch als falsch zu betrachten. Diatheismus wäre also nicht notwendig. (Ich frage nicht nach anderen Motivationen für Diatheismus; wie gesagt, ich frage nur nach Motivation, die von den logischen Paradoxen herrührt.) Und wenn Sie ein bestimmtes Paradoxon finden können, das auch ohne Kontraktion besteht, wäre das a tolle Antwort auf die Frage!
Ich bin mir nicht sicher, warum Wahrheitswertlücken besser sind als Diatheien, sie sind der Grund, warum die intuitionistische Logik keine Extensionssemantik hat und warum die Einstellung alles andere als Diatheismus sein sollte, es sei denn, sie wird uns unvermeidlich aufgezwungen. Ich sehe es pragmatischer, dialethische Logik hat einige technische Vorteile, einschließlich der Auflösung semantischer Paradoxien, lückenhafte nicht-extensionale Logik hat andere, es ist eine Entscheidung zwischen Kalkülen und sollte unter Berücksichtigung eines bestimmten Zwecks ausgewogen getroffen werden. Leider habe ich kein bestimmtes Paradoxon im Sinn, das ohne Kontraktion durchgeht :(
@Conifold Ich denke nicht, dass dies ein geeigneter Ort für eine allgemeine Diskussion über die Vor- und Nachteile des Diatheismus ist. Ich habe nur eine konkrete Frage dazu gestellt. Ich wollte nicht andere Motivationen für den Diatheismus verunglimpfen; Ich wollte nur wissen, ob diese besondere Motivation das Leugnen der Kontraktion überlebt. Es hört sich so an, als hätten Sie keine Antwort auf meine Frage.
@MikeShulman Ich bin mir nicht sicher, ob es das ist, wonach Sie suchen, aber Diatheismus kann sich auch mit dem Sorites-Paradoxon befassen, bei dem das Vermeiden einer Kontraktion nicht hilft (z. B. erfordert die bedingte Formulierung des Paradoxons nur Modus Ponens, um einen Widerspruch abzuleiten). .
@EliranH danke! Das ist nah dran, obwohl es kein Paradox der Selbstreferenz, sondern eher der Vagheit ist.
Ja, aber ich dachte, Sie suchen nach Paradoxien, die keine Selbstreferenz beinhalten, da es Ihnen schien, dass das Verwerfen von Kontraktionen diese vermeidet.
@EliranH Nun, ich habe nicht alle Paradoxien der Selbstreferenz sorgfältig überprüft, selbst wenn ich annehme, ich könnte eine umfassende Liste finden. Ich nehme an, ich sollte das "Paradox" von Sorites als Antwort zugeben, obwohl ich es persönlich überhaupt nicht überzeugend finde (es scheint mir nur ein Artefakt eines ungerechtfertigten Versuchs zu sein, einer vagen Sprache binäre Wahrheitswerte aufzuzwingen). Fallen dir noch andere ein?
Ich würde zustimmen, dass Diaethismus nicht notwendig ist und dass diese Paradoxien auf andere Weise behandelt werden können. Ihr Wert besteht darin, dass sie es Philosophen ermöglicht, die Ergebnisse der Metaphysik zuzugeben, während sie die Wahrheit der Erklärung des Buddhismus leugnen. Melhuish und Priest bieten uns einen Ausweg aus metaphysischen Problemen, der nicht deren Lösung erfordert, sondern nur die Welt für paradox erklärt. Meiner Ansicht nach ist dies nur ein Zappeln am Haken – ein verzweifelter Versuch, den Schluss zu vermeiden, dass die Ergebnisse der Metaphysik ein Beweis für Nichtdualismus sind. .

Antworten (2)

Seit ich diese Frage gestellt habe, ist mir klar geworden, dass selbst wenn die kontraktionsfreie Logik keine wörtlichen Diatheien der Form "P und nicht-P" reproduziert, sie ziemlich nahe kommt. Zum Beispiel gibt es in der naiven Mengenlehre, formuliert in der klassischen linearen Logik, eine Aussage P, die wir beweisen können

(P ⅋ P) ∧ (¬P ⅋ ¬P)

wobei ⅋ die multiplikative/intensionale Disjunktion ist, auch bekannt als "Spaltung" . Sei nämlich P die Aussage R∈R, wobei R = {x|x∉x} die Russell-Menge ist. Dann ist „P ⅋ P“ äquivalent zu ¬P → P, während ¬P ⅋ ¬P äquivalent zu P → ¬P ist, was beides direkt aus der Definition von R folgt.

Russells Paradoxon (Mengenlehre) hängt nicht von der Kontraktion ab. Ob es jedoch als Argument für Diatheismus verwendet werden kann, ist zweifelhaft. Die Standardinterpretation ist, dass es sich um eine Demonstration handelt, dass ein uneingeschränktes Mengenverständnis in einem System, das nützlich oder interessant sein soll, nicht zugelassen werden kann.

Ich nehme an, es ist möglich, dass man weiterhin ein uneingeschränktes Verständnis von Mengen zulässt und das Paradox so interpretiert, dass man zeigt, dass man Diatheismus annehmen sollte, und daraus den Schluss zieht, dass x sowohl eine Teilmenge von sich selbst ist als auch nicht, der Barbier sich sowohl rasiert als auch nicht rasiert selbst, der Bibliothekskatalog listet sich selbst auf und listet sich nicht auf, usw. usw. Mir ist jedoch kein Philosoph bekannt, der diese Interpretation übernimmt.

Besonders relevanter Teil des oben verlinkten Artikels:

Es scheint daher, dass Befürworter der nicht-klassischen Logik [einschließlich des Diatheismus] nicht behaupten können, NC [naives Mengenverständnis] in irgendeiner signifikanten Weise bewahrt zu haben, außer dass sie die rein syntaktische Form des Prinzips bewahrt haben, und weder Intuitionismus noch Parakonsistenz plus die Der Verzicht auf Kontraktion bietet einen Vorteil gegenüber den untypisierten Lösungen von Zermelo, von Neumann oder Quine.

Wenn ich die Argumentation auf dieser Stanford-Seite verstehe, würde eine solche Position tatsächlich zu Trivialität führen, selbst wenn sowohl die Kontraktion aufgegeben als auch der Diatheismus akzeptiert wird; und sicherlich sollte Trivialität für jeden ernsthaften Denker inakzeptabel sein. Aber meiner Meinung nach ist Diatheismus genauso inakzeptabel. Ich nehme also an, dass derjenige, der den Diatheismus akzeptiert, auch die Argumentation in trivialen Systemen akzeptieren würde. Was alles nur albern macht.
Ich bin mir nicht sicher, was der Autor dieser bestimmten Seite im Sinn hatte, aber Russells Paradoxon (und Currys Paradoxon) hängt tatsächlich von der Kontraktion ab. Es wurde rigoros gezeigt, dass man in der affinen Logik eine konsistente Mengenlehre mit uneingeschränktem Verständnis haben kann.
Für Paradoxien der Selbstreferenz, die als Motivation für den Diatheismus verwendet werden, siehe plato.stanford.edu/entries/dialetheism/#3.1 .
@Mike Ich hätte gerne eine Erklärung, wie Russells Paradoxon von der Kontraktion abhängt (es ist für mich offensichtlich, wie es Curry tut). Aber ich bezweifle, dass es hier in einen Kommentar passen würde.
Russells Paradoxon ist nur der Spezialfall von Currys Paradoxon, wo die zu beweisende Aussage die logische Absurdität $\bot$ ist.
@Mike Das macht Sinn, danke. Auf dieser Stanford-Seite gibt es mehrere andere Konstruktionen von RP, und es war mir nicht klar, dass sie von der Kontraktion abhängen, aber ich nehme an, das müssen sie auch.
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