Muss der Ort-Zeit-Graph eine glatte Funktion sein?

Wenn irgendwann T Gäbe es eine Diskontinuität im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, dann wäre die Beschleunigung unendlich T . So intuitiv scheint es, dass das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm kontinuierlich sein muss. Ich habe mich gefragt, ob alle Ableitungen des Positions-Zeit-Diagramms kontinuierliche Funktionen sind (dh ob das Positions-Zeit-Diagramm glatt ist) und ob es eine Möglichkeit gibt, dies zu beweisen.

Wenn es einen perfekt starren Ball nimmt (was praktisch nicht möglich ist) und ihn von einer perfekt harten Oberfläche abprallt, ist seine Geschwindigkeit zeitlich diskontinuierlich. Fragen Sie, ob eine solche Situation praktisch möglich ist?
Ich weiß, dass es unendliche Starrheit, unendliche Kraft oder etwas anderes Unpraktisches geben muss, damit die Geschwindigkeit diskontinuierlich ist. Ich frage, ob alle Ableitungen der Position, dh Beschleunigung, Ruck usw. auch stetig sein müssen.
Ich denke, das ist eine interessante Frage. Die Menschen sind oft sehr lässig damit, wie unterscheidbar Dinge sein müssen, und es ist sicherlich nützlich, sorgfältig darüber nachzudenken. Meine Intuition ist, dass alles zumindest glatt ist, aber ich weiß nicht, warum ich das denke. Ein Grund, mehr als glatt zu verlangen, ist, dass man für Physik in der Lage sein muss, Dinge auf eine nette Art und Weise zu approximieren, etwa durch Potenzreihen, und man braucht diese Reihe, um zu konvergieren. Nun, wenn es sich um eine Potenzreihe handelt, müssen die Dinge analytisch sein.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/151399/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (2)

Wie Sie sagten, ist die nächste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung. Und die Beschleunigung könnte im Prinzip irgendwo einen Schritt haben, weil eine Kraft beginnt, auf das Objekt einzuwirken.

Aber muss die Kraft nicht kontinuierlich zunehmen, anstatt einen Schritt zu haben? Wenn ich beispielsweise eine Kraft auf ein Objekt ausübe, indem ich es drücke, müsste ich dann nicht die ausgeübte Kraft kontinuierlich von Null auf einen Wert ungleich Null erhöhen (im Gegensatz zu einem direkten Sprung von Null auf einen Wert ungleich Null)?
@RogueAutodidact: Wenn Sie sich vorstellen, dass alle Kräfte aus einer Art Feldtheorie stammen, sicher. Aber es wird keine Inkonsistenz in das Newtonsche System eingeführt, indem Diskontinuitäten in der Beschleunigung zugelassen werden.
@JerrySchirmer Wenn Sie zulassen, dass die Beschleunigung diskontinuierlich ist, verlieren Sie den Determinismus in der klassischen Mechanik: Das wird oft als schlecht angesehen, obwohl nicht jeder es so sehen würde. (Siehe Nortons Kuppel.)

Wenn Sie die Zeit gegen die Position des „Höhepunkts auf einer Wippe“ aufzeichnen, gibt es eine abrupte Änderung, wenn Ende A von hoch nach niedrig geht (während Ende B von niedrig nach hoch geht). Dies ist nicht ganz trickreich, es gibt viele nützliche Gegenstände, die eine Art Diskontinuität ausnutzen (ein Kippschalter oder ein elektronisches stabiles 'Flip-Flop').

Was passiert, wenn Licht von einem Spiegel reflektiert wird? Wie können wir leugnen, dass der Weg des Lichts stark geknickt, dh „nicht glatt“ ist, oder dass sich die Geschwindigkeit abrupt umkehrt, was (wenn ein Punktteilchen beteiligt wäre) eine unendliche Beschleunigung implizieren würde?

Da die Newtonsche Mechanik auf ein Objekt zutrifft, ist die Bewegung des Massenschwerpunkts des Objekts immer glatt, da die Newtonschen Gesetze gelten; Eine „Reflexion“ eines Balls erfolgt durch Verzerrung der Form des Balls über eine kurze Zeitspanne, und diese Verzerrung erzeugt eine Kraft, genau wie das Zusammendrücken einer Feder, und die Kraft beschleunigt den Ball. Dies sollte jedoch nicht verallgemeinert werden. Manche Dinge liegen außerhalb des Rahmens der Newtonschen Mechanik.

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