Ontologischer Status des Auswahlaxioms

Wie man solche Fragen beantwortet, hängt natürlich von seinen philosophischen Ansichten ab.

Ein Realist des Wahrheitswerts wie Quine oder Putnam wird argumentieren, dass AC einen objektiven Wahrheitswert hat, unabhängig von der Sprache, dem Verstand oder dem Mathematiker, der über die Frage nachdenkt.

Andererseits wird ein Nicht-Realist im Wahrheitswert argumentieren, dass AC unabhängig von der Mengenlehre ist und daher keinen objektiven Wahrheitswert hat.

Allgemeiner gesagt ist die Ansicht von Axiomen als selbstverständliche Wahrheiten eine, die bei heutigen Mathematikern nicht beliebt ist. Die zeitgenössische Mathematik betrachtet nun Axiome als "definierende Bedingungen" für eine Theorie. Zum Beispiel studiert ein moderner Mengentheoretiker gerne sowohl ZF (Mengenlehre) mit AC als auch ZF mit ¬AC. Offensichtlich kann man AC und ¬AC nicht als selbstverständliche Wahrheiten ansehen.

Ein Ansatz, um die Unterscheidung zwischen notwendiger und kontingenter Wahrheit zu verstehen, besteht darin, eine Theorie $T$ und ein Modell $M$ dieser Theorie zu betrachten. Sätze von $T$ sind die notwendigen Wahrheiten in $T$. Aussagen, die in $M$ gelten, aber keine Theorien von $T$ sind, sind die kontingenten Wahrheiten.

Wenn wir diesem Ansatz folgen, dann hängt die Frage, ob AC (wenn wahr) eine notwendige oder kontingente Wahrheit ist, im Wesentlichen von der Frage ab, was unsere gewählte grundlegende Theorie ist. Wir könnten alle Modelle von ZF als potenzielle mathematische Welten betrachten und nur eine erkunden, in der AC gerade jetzt zutrifft. Aber wir könnten genauso gut mit ZFC als Theorie beginnen und AC daher für notwendig halten.

Letztendlich führt uns diese Frage nicht wirklich weiter, glaube ich.

Das Auswahlaxiom hat seinen schlechten Ruf bekommen, weil es bei unzähligen Mengen zu Widersprüchen führt. Aber es ist ein sehr natürliches Axiom und wird häufig ohne Vorankündigung in der Mathematik angewendet, wie Zermelo zu Recht darauf hingewiesen hat, als er seine Erfindung gegen Einwände von Borel, Peano, Poincaré und anderen verteidigte. [E. Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ann. 65 (1908) S. 107-128]

Das Problem ist nur, wie oben erwähnt, die Anwendung des Axioms auf überzählige Mengen. In der Geschichte der Mathematik war es üblich, faktische Konventionen durch ein Axiom zu fixieren, wie „man kann von jedem Punkt zu jedem Punkt eine gerade Linie ziehen“ oder „wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n+1 eine natürliche Zahl Anzahl". Die Anwendung des Wahlaxioms beansprucht erstmals eine kontrafaktische Konvention, nämlich ein Element zu wählen, ohne zu wissen, was gewählt wird.

Spätestens 1904 war klar, dass es nur abzählbar viele endliche Buchstabenfolgen gibt, darunter auch solche, die mathematische Objekte definieren. Cantor kannte diesen Satz, wie er 1906 in einem Brief an Hilbert schrieb, obwohl er nicht glaubte, dass er wahr ist. „Wenn der Satz von König wahr wäre, wonach alle ‚endlich definierbaren‘ reellen Zahlen eine Menge der Kardinalität aleph_0 bilden, würde dies implizieren, dass das gesamte Kontinuum abzählbar wäre, und das ist sicherlich falsch.“ [G. Cantor, Brief an D. Hilbert (8.8.1906)]

Heute besteht kein Zweifel, dass der Satz von König wahr ist. Um die transfinite Mengentheorie aufrechtzuerhalten, ist es notwendig, das (in diesem Bereich) kontrafaktische Wahlaxiom zum Beweis des Grundsatzes der Mengentheorie zu haben: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. Sonst wäre ein Großteil der Ordinaltheorie unbeweisbar. Daher sind sich Mengentheoretiker einig, dass das Axiom „nicht konstruktiv“ ist, dh wir können beweisen, dass wir jedes Element auswählen können, aber wir können nicht jedes Element auswählen. Obwohl Zermelo das Axiom verwendete, um zu beweisen, dass jede Menge wohlgeordnet sein kann, dachte er, dass es getan werden könnte und nicht nur bewiesen werden könnte, dass es getan werden könnte, obwohl er wusste, dass es tatsächlich nicht getan werden kann. [E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904)]

Aber was ist der Wert eines kontrafaktischen Axioms? Wir könnten viele andere Axiome mit demselben Wert angeben, wie:

• Axiom von drei Punkten auf einer Geraden: Jedes Punktetripel gehört zu einer Geraden. (In den meisten Fällen kann jedoch nachweislich keine geometrische Konstruktion angegeben werden.)

• Axiom der zehn geraden Primzahlen: Es gibt 10 gerade Primzahlen. (Aber nachweislich gibt es keine arithmetische Methode, um sie zu finden.)

• Axiom der Primzahltripel: Neben (3, 5, 7) gibt es ein zweites Tripel der Primzahlen. (Dieses zweite Tripel ist aber nachweislich nicht arithmetisch definierbar.)

• Axiom der mageren Summe: Es gibt eine Menge von n verschiedenen positiven natürlichen Zahlen mit der Summe n*n/2. (Dieses Axiom ist nicht konstruktiv. Beweisbar kann keine solche Menge konstruiert werden.)

Alle Theorien, die auf solchen Axiomen beruhen, hätten den gleichen Wert wie die transfinite Mengentheorie, nämlich keine.

Wenn wir dies im Hinterkopf behalten und absurde Versuche ignorieren, unzählige Alphabete oder unendliche Definitionen anzuwenden, um unzählige Elemente zu definieren, können wir sicher sein, dass das Axiom der Wahl in jeder Welt mit korrekter Mathematik und daher ohne unzählige Mengen wahr ist.