Position von Indizes in Einsteins Summationskonvention

Question

Position von Indizes in Einsteins Summationskonvention

Karl

Gibt es einen Unterschied zwischen den folgenden Tensorgrößen?

{A_{γ}}^{μ} {B_{μ}}^{ρ}

${A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho$ Und

{A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

${A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$

Würden diese beiden Ausdrücke das gleiche Ergebnis wie folgt ergeben

{X_{γ}}^{ρ} = {A_{γ}}^{μ} {B_{μ}}^{ρ} = {A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ} ?

${X_\gamma}^\rho = {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho?$

Da die Positionen der Indizes in Einsteins Summationskonvention einen Unterschied machen, glaube ich, dass die beiden Ausdrücke nicht äquivalent sind. Die erste Gleichung ${X_\gamma}^\rho = {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho$ macht für mich Sinn wie die Positionen der Indizes $\gamma$ Und $\rho$ sind in der resultierenden Menge deutlich ${X_\gamma}^\rho$ aber bei der zweiten Gleichung bin ich mir nicht sicher. Würde ${X_\gamma}^\rho = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ ?

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Position von Indizes in Einsteins Summationskonvention

AccidentalFourierTransform · Answer 1

AccidentalFourierTransform

Gibt es einen Unterschied zwischen den folgenden Tensorgrößen?

Ja. Deine Gleichung ist falsch. Die linke Seite zieht den zweiten Index zusammen und die rechte Seite den ersten (selbst wenn Sie denselben Buchstaben für den Index verwenden). Wenn Ihre Tensoren keine Symmetrie haben, stimmen diese Ausdrücke nicht überein.

Brian Motten

Es wäre hilfreich hinzuzufügen, dass eine Analogie zur Matrizenmultiplikation wie ein Vergleich ist

A B

$\mathbf{AB}$ Und

A^{T} B

$\mathbf{A}^T\mathbf{B}$ .

Karl

Würde

{X_{γ}}^{ρ} = {A_{γ}}^{μ} {B_{μ}}^{ρ}

${X_\gamma}^\rho = {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho$ Und

Y_{γ}^{ρ} = {A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

$Y_{\hspace{6pt}\gamma}^{\hspace{3pt}\rho} = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ Wo

ρ

$\rho$ Und

γ

$\gamma$ sind in den zweiten Indexpositionen für

Y_{γ}^{ρ}

$Y_{\hspace{6pt}\gamma}^{\hspace{3pt}\rho}$ ?

AccidentalFourierTransform

@Charles was versuchst du zu schreiben? beachten Sie, dass

A^{μ}_{ν}

$A^\mu{}_\nu$ kann als A^\mu{}_\nuund geschrieben werden

A_{μ}^{ν}

$A_\mu{}^\nu$ können wir schreiben alsA_\mu{}^\nu

Karl

Würde

{A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

${A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ Kontrahieren Sie den ersten Index, um einen Tensor zu erhalten

Y_{γ}^{ρ}

$Y_{\hspace{6pt}\gamma}^{\hspace{3pt}\rho}$ Wo

ρ

$\rho$ Und

γ

$\gamma$ sind in den zweiten Indexpositionen? Oder wäre es eine ungültige Notation, zwei Indizes an denselben Positionen zu haben?

AccidentalFourierTransform

In

I_{γ}^{ρ}

$I^\rho_\gamma$ Die Indizes befinden sich nicht an derselben Position: Einer ist oben und einer unten. Wenn Sie sich Sorgen um die horizontale Position des Index machen, befürchte ich, dass es wenig Konsens gibt: Für manche Menschen ist es richtig zu schreiben

I^{μ}_{ν}

$I^\mu{}_\nu$ einfach so

I_{ν}^{μ}

$I^\mu_\nu$ , wobei die horizontale Position ignoriert wird. Für einige andere Personen kann eine solche Notation nur verwendet werden, wenn

I

$I$ ist symmetrisch. Und manche Leute können nicht schreiben

I^{μ}_{ν}

$I^\mu{}_\nu$ als

I_{ν}^{μ}

$I^\mu_\nu$ . Am Ende können Sie schreiben, was Sie wollen, solange Sie verstehen, was Sie schreiben, und mit der Notation konsistent und klar sind.

Karl

Danke für die Klarstellung meines Punktes. Ich bezog mich auf die horizontalen Indizes. Wie sollte ich den Unterschied zwischen sehen

{A_{γ}}^{μ} {B_{μ}}^{ρ}

${A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho$ Und

{A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

${A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ seit sein

{A_{γ}}^{μ}

${A_\gamma}^\mu$ Und

{A^{μ}}_{γ}

${A^\mu}_\gamma$ unterscheiden sich nur durch die horizontale Position der Indizes?

AccidentalFourierTransform

Wenn

A

$A$ symmetrisch ist, dann ist die horizontale Positionierung irrelevant: beide Ausdrücke stimmen überein. Wenn

A

$A$ nicht symmetrisch ist, sollten Sie die Indizes nicht horizontal verschieben. Wenn Sie neu in der Indexnotation sind, sollten Sie die Indizes niemals horizontal verschieben. Sobald Sie sich an die Notation gewöhnt haben, werden Sie feststellen, dass es praktisch ist, die Notation zu lockern, um etwas Flexibilität zu ermöglichen. Aber lassen Sie die Indizes vorerst dort, wo sie sind.

Karl

Wie würden Sie den resultierenden Tensor mit seinen Indizes für schreiben

{A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

${A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ ? Würde

Y_{γ}^{ρ} = {A^{μ}}_{γ} {B_{μ}}^{ρ}

$Y_{\hspace{5pt}\gamma}^{\hspace{3pt}\rho} = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho$ richtig sein, wenn wir streng auf die horizontale Positionierung von Indizes achten?

AccidentalFourierTransform

Ich persönlich würde beides schreiben

Y_{γ}^{ρ}

$Y_\gamma{}^\rho$ oder

Y^{ρ}_{γ}

$Y^\rho{}_\gamma$ (aber nicht beides! Wähle eines und bleibe dabei). Ich würde es nicht so schreiben

Y_{γ}^{ρ}

$Y{}^\rho_\gamma$ .

Karl

Das macht Sinn. Wenn die Indexnotationen konsistent sind, treten keine Probleme auf. Vielen Dank für deine Hilfe.

AccidentalFourierTransform

Genau: Solange Sie ganz klar angeben, welche Konvention Sie verwenden und diese konsequent einhalten, können Sie schreiben, was Sie wollen. Einige Leute würden sogar schreiben

A_{μ} B_{μ}

$A_\mu B_\mu$ für Indexkontraktionen, beide unten! Ich mag diese Konvention nicht, aber es gibt sie. Verwenden Sie am Ende die Konvention, die für Sie am besten funktioniert. Solange Sie verstehen, was Sie tun, und solange Sie in der Lage sind, mit den anderen Menschen zu kommunizieren, wird es Ihnen gut gehen.

Benutzer139175 · Answer 2

Beginnen wir mit der Metrik $\eta_{\mu\nu}$ so dass $\Delta s^2 = \Delta x^\mu \; \eta_{\mu\nu} \; \Delta x^\nu$ . Bezeichne die inverse Metrik als $\eta^{\mu\nu}$ so dass $\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu \rho} = \delta_{\mu}^{\,\,\rho}$ .

Beginnen Sie mit Tensor mit nur Index nach oben, wie

A^{γ μ} Und B^{μ ρ}

$A^{\gamma\mu} \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad B^{\mu \rho}$ Definieren Sie dann die Version mit niedrigerem Index dieser Tensoren, indem Sie sich mit der Metrik zusammenziehen

η^{μ ν}

$\eta^{\mu\nu}$ :

A_{γ}^{μ} := η_{γ a} A^{a μ}; A_{μ}^{γ} := η_{μ a} A^{γ a}

$A_{\gamma}^{\;\,\mu} := \eta_{\gamma \alpha} A^{\alpha \mu}; \qquad \qquad A_{\,\;\mu}^{\gamma} := \eta_{\mu \alpha} A^{ \gamma\alpha}$ usw.

Das sieht man zum Beispiel

X_{γ}^{ρ} = A_{γ}^{μ} B_{μ}^{ρ} \equiv η_{γ a} η_{μ β} A^{a μ} B^{β ρ}

$X_{\gamma}^{\;\;\rho} = A_{\gamma}^{\;\;\mu} B^{\;\;\rho}_{\mu} \equiv \eta_{\gamma \alpha} \eta_{\mu\beta} A^{\alpha\mu}B^{\beta\rho}$ wohingegen

Y_{γ}^{ρ} = A_{γ}^{μ} B_{μ}^{ρ} \equiv η_{γ a} η_{μ β} A^{μ a} B^{β ρ}

$Y_{\gamma}^{\;\rho} = A_{\;\;\gamma}^{\mu} B^{\;\;\rho}_{\mu} \equiv \eta_{\gamma \alpha} \eta_{\mu\beta} A^{\mu\alpha}B^{\beta\rho}$ und Sie sehen, dass dies im Allgemeinen zwei verschiedene Tensoren sind, und nur wenn

A

$A$ (in diesem Fall) symmetrisch ist, sind sie gleich.

Beachten Sie jedoch, dass Sie die erste Menge aufrufen $X_{\gamma}^{\;\;\rho}$ oder $X_{\;\;\gamma}^{\rho}$ ist nur eine Frage der Definition, sie würden beide mit Indexkonventionen übereinstimmen.

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Benutzer139175

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