Scheinbares Paradoxon in der speziellen Relativitätstheorie

Mir wurde vor kurzem eine einfache Hausaufgabenaufgabe gestellt. Bob sieht positiv Alice an sich vorbeikommen X Richtung. Sie haben identische Raumschiffe, jedes mit drei Uhren, die gleichmäßig entlang der Schiffe verteilt sind. Im Restframe steht die Länge der Schiffe L 0 = 90 M. Bob misst das von Alice L ' = 30 M.

Nun, der erste Teil ist trivial, wir werden gebeten, ihn zu finden γ . Danach werden wir gefragt, was die Uhren in Alices Rahmen sagen, wenn:

  1. Bobs Uhren zeigten alle 0
  2. Bob beobachtet, dass Alices vordere Uhr 0 anzeigt.

Nun, meine Logik ist wie folgt. In Alices Rahmen müssen die Uhren synchronisiert werden. Wenn sie es nicht sind, dann macht ihre Asynchronität dieses Problem unsinnig, die Uhren könnten um Stunden voneinander abweichen und dann könnte nicht einmal Einstein vorhersagen, was sie sagen würden. Wenn wir also eine von Alices Uhren kennen, kennen wir sie alle. An der Vorderseite des Schiffes gehen Alice und Bob aneinander vorbei und Bob misst die Uhr von Alice auf 0. Nun, wenn dies ein Ereignis um ist X μ = ( C ( 0 ) , 0 ) = ( 0 , 0 ) , dann ist die Lorentztransformation trivial und gibt X A l ich C e μ = Λ v μ X v = (0,0). Daher zeigt Alices vordere Uhr in ihrem Rahmen 0 an, und das tun auch alle ihre anderen Uhren.

Dies beruht nun darauf, dass sie sich durch Überlappung passieren, ohne physischen Abstand bei dem Ereignis, aber es ist eine Idealisierung, und es wurden keine Informationen über den Passierabstand gegeben. Die Lösungen argumentieren, dass Sie eine Lorentz-Transformation der Form durchführen können, weil Sie die Position der Uhren in beiden Rahmen und die Zeit in Bobs Rahmen kennen

X C l Ö C k 1 = γ ( X C l Ö C k 1 ' + v T C l Ö C k 1 ' ) Wo X ist die Messung in Bobs Rahmen und X ' ist die Messung in Alice's Frame. Weil wir lösen können T ' , sollten wir in der Lage sein, die Messung zu finden T ' .

Jetzt kann ich den Ansatz des Professors weder widerlegen noch bestätigen. Auf der einen Seite scheint es anzudeuten, dass die Interaktion von Bobs Rahmen mit dem von Alice das Auftreten von Asynchronität verursacht, was eine direkte Verletzung der Postulate von SR ist. Mein anderer Gedanke ist, dass es eine gewisse Verwirrung zwischen der Rahmenzeit (der Satz synchronisierter Uhren, die an allen Punkten im Raum in Alices Rahmen ruhen) und der Zeit gibt, die Alice tatsächlich "sieht". Immerhin gäbe es bei 45 und 90 Metern eine Verzögerung von etwa 300 ns zwischen ihr und der am weitesten entfernten Uhr, was der gemeldeten Antwort bemerkenswert nahe kommt. Trotzdem scheint dies nicht ganz im Sinne der Relativitätstheorie zu sein, wenn wir davon ausgehen, dass Alice die Zeitverzögerung erfolgreich erklären kann. Übersehe ich hier eine klare Auflösung? Ist der Professor einfach falsch? Bin ich nur falsch?

Hier geht es darum, wie man solche Fragen liest. Ja, es wurden nicht genügend (genaue) Informationen gegeben. Sie müssen spüren, welche Parameter in der Lösung als freie Parameter betrachtet werden sollen. Es ist, als würde Bob mit 50 km/h fahren, wie lange braucht er, um Alice zu erreichen; dann nehmen Sie nicht an, dass die Entfernung zwischen Alice und Bob Null ist, aber Sie würden sie x nennen, nicht wahr?

Antworten (3)

Meine Annahme für diese Antwort ist, dass die Vorderseite von Alices Rakete in dem Moment, in dem Bobs Uhren alle gelesen haben, an der Vorderseite von Bobs Rakete vorbeifährt 0 . In Alices Rahmen können wir die Ereigniskoordinaten für Alices Uhren als definieren ( C ( 0 ) , − 90 ) , ( C ( 0 ) , − 45 ) , ( C ( 0 ) , 0 ) .

Lassen Sie die Koordinaten für die gleichen Ereignisse in Bobs Rahmen sein ( C T 1 , X 1 ) , ( C T 2 , X 2 ) , ( C T 3 , X 3 ) bzw. Da die Fronten der Raketen zusammenfallen, wenn sowohl Alice als auch Bobs Frontuhren lesen 0 in Bobs Rahmen, X 3 = 0 Und T 3 = 0 .

Als nächstes können Sie nach lösen T 1 , T 2 : T 1 = γ ( 0 + β C ( − 90 ) ) Und T 2 = γ ( 0 + β C ( − 45 ) ) , Wo β = 2 2 / 3 Und γ = 3 .

Hier ist Bobs Raumzeitdiagramm in Desmos. Ich hoffe, das gibt Ihnen weitere Intuition der Situation. Beachten Sie, dass alle Punkte, die auf die gestrichelte Linie fallen, simultane Ereignisse für Alice darstellen, aber sie sind eindeutig nicht simultan für Bob, da sie unterschiedlichen entsprechen C T Koordinaten in Bobs Raumzeitdiagramm.

Die Frage fragt nach Alices Ablesen der Uhr, nicht nach Bobs. Deshalb bin ich verwirrt, denn wenn Alices Uhren asynchron sind, ist die Frage sinnlos (auf ihren Uhren kann auch „Ich mag Kuchen“ stehen), aber wenn sie synchron sind, können sie nach dem Ereignis nicht plötzlich asynchron werden Rechts??
@BooleanDesigns: Wollen Sie sagen, dass die Frage fragt, was die Uhren in Bobs Rakete laut Alice sagen, oder fragt sie, was die Uhren in Alices Rakete laut Bob sagen? Wenn es das erstere ist, werde ich meine Antwort überarbeiten. Wenn letzteres, dann ist es gut so wie es ist.
Nicht mal das! Deshalb ist die Frage absurd. Es will Alices Uhren aus ihrem eigenen Rahmen!
@BooleanDesigns: In diesem Fall gehen Sie entweder davon aus, dass Alices Uhren in ihrem eigenen Frame synchronisiert sind oder nicht. Der erstere Fall ist trivial, aber wenn es der letztere Fall ist, brauchen Sie immer noch die Messwerte von Alices Uhren in Bobs Rahmen. So wie es aussieht, erscheint mir die Frage unvollständig.
@BooleanDesignsn "Die Frage fragt nach Alices Ablesen der Uhr, nicht nach Bobs" - die Frage lautet: "Was die Uhren in Alices Rahmen sagen" Es wird angenommen, dass "... wie von Bob beobachtet". Es ist in der Tat eine etwas schlampige Frage, die auf zwei Arten interpretiert werden könnte.

Ihre Analyse erscheint mir plausibel. Das Problem (zumindest so, wie Sie es umschrieben haben) scheint schlecht formuliert und mehrdeutig zu sein. Es sollte explizit angeben, dass die Uhren synchronisiert sind, wie Sie sagten.

Meine Vermutung ist, dass die Uhren alle auf die übliche Weise synchronisiert sind und Sie die Messwerte auf allen Uhren von Alice finden sollten, wenn die nächstgelegene Uhr von Bob 0 anzeigt. Was Sie dafür brauchen, ist die andere Hälfte der Lorentz-Transformation , 0 = γ ( T ' + v X ' / C 2 ) . Wenn Sie den Messwert als Funktion der Position in Bobs Ruhesystem und nicht in Alices Position wünschen, müssen Sie dies auch tun X = γ ( X ' + v T ' ) .

Ihr Fehler besteht darin, anzunehmen, dass alle Uhren von Alice dieselbe Zeit anzeigen wie die von Bob.

Dies ist eine Frage nach der Relativität der Gleichzeitigkeit. Da sich Bob und Alice relativ zueinander bewegen, werden ihre jeweiligen Gleichzeitigkeitsebenen geneigt. Eine feste Zeit für Bob ist ein flacher Schnitt durch seine Raumzeit, während es ein schräger Schnitt durch die von Alice ist, so dass zu einer festen Zeit überall in Bobs Rahmen Alices Zeit an jedem Punkt entlang der Richtung variiert, in der sie sich relativ zu Bob bewegt.

NACHTRAG

Sie sind verwirrt über die Bedeutung der Frage und über die Bedeutung der Relativität der Gleichzeitigkeit.

Wenn Sie zwei Frames A und B haben, die sich relativ zueinander bewegen, und Sie in einem eine Ebene mit konstanter Zeit aufnehmen, sagen wir t = 0 in Ebene B, dann ist diese Ebene im anderen Frame durch die Zeit gewinkelt. An jedem Punkt im Raum ist in Bobs Rahmen t=0; in Alices Rahmen gibt es entlang der gesamten Ebene einen variierenden Wert von t'.

Die Frage besagt nicht, dass Alices Uhren nicht mehr synchronisiert sind. Die Frage ist zu erkennen, dass die verschiedenen Punkte entlang der Ebene von t = 0 in Bobs Rahmen zu unterschiedlichen Zeiten in Alices Rahmen existieren.

Um es umgekehrt auszudrücken – in Alices Rahmen erscheinen Bobs Uhren nicht synchron. Sie wird sehen, wie jeder von ihnen zu unterschiedlichen Zeiten t = 0 anzeigt. Kannst du das sehen?

Wir werden gebeten, die Ablesungen der Uhren zu finden, wie sie von Alice in ihrem eigenen Rahmen gesehen werden, nicht wie sie von Bob gesehen werden.
Falsch! Uns wird gesagt, dass alle Uhren in Bobs Rahmen Null anzeigen, und wir werden gebeten zu sagen, was die Uhren in Alices Rahmen unter diesen Umständen anzeigen werden. Sie zeigen alle unterschiedliche Zeiten an. Der springende Punkt der Relativitätstheorie ist die Tatsache, dass eine Reihe von Ereignissen, die gleichzeitig in einem Rahmen auftreten, in einem anderen nicht vorhanden sind. Daraus entspringen Längenkontraktion und Zeitdilatation. Es gibt drei Ereignisse in Bobs Rahmen, nämlich alle drei Uhren, die Null zeigen. Diese Ereignisse haben unterschiedliche Zeitkoordinaten in Alices Rahmen und werden dort nicht gleichzeitig stattfinden.
Richtig, aber (wie die Frage in der Aufgabe formuliert wurde) ist Bob völlig irrelevant. Lassen Sie das Ereignis, dass er an Anna vorbeigeht, Ereignis A sein. Alles, was wir gefragt werden, ist, was ANNA glaubt, dass ihre eigenen Uhren sagen, wenn dieses Ereignis eintritt. Es scheint mir, dass sie synchron sein müssen, oder? Ansonsten hatte Bob einige Auswirkungen auf Annas Körper, die nicht möglich erscheinen.
Wieder falsch! Uns wird von drei Ereignissen in Bobs Rahmen erzählt, nämlich dass jede seiner drei Uhren t = 0 anzeigt. Das stellt eine horizontale Zeitscheibe in Bobs Rahmen dar und eine schräge in Annas – ihre Uhr zeigt drei verschiedene Zeiten an. Google die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Ich bin mir der Relativität der Gleichzeitigkeit bewusst, aber Sie sind sich überhaupt nicht darüber im Klaren, wie sie in diesem Fall zutrifft. Soweit es Alice betrifft, passiert nichts anderes als das einmalige Ereignis, dass Bob an ihr vorbeifährt. Wir werden ganz konkret gefragt, was ihre 3 Uhren jeweils in dem Moment sagen, in dem er in ihrem eigenen Rahmen an ihr vorbeigeht. Da dies ein einzelnes Ereignis in jedem Rahmen darstellt, tritt es auch in Alices Rahmen zu einem einzigen Zeitpunkt auf; daher gibt es nur eine Sache, die die Uhren möglicherweise ablesen könnten. Ich bin mir nicht sicher, wie es darauf ankommt, dass es 3 Uhren gibt. wir wollen nur wissen, was alice in einem augenblick sieht.
Du verfehlst das Wesentliche völlig. Wir werden nicht gefragt, was Alice „sieht“. Wir werden gefragt, welche Zeiten in Alices Rahmen an den Orten jeder ihrer drei Uhren einer Zeit von t = 0 überall in Bobs Rahmen entsprechen.
Die Frage wäre bedeutungslos trivial, wenn sie fragen würde, welche Zeit überall in Alices Rahmen ist, wenn eine ihrer Uhren t' = 0 anzeigt - die Antwort wäre, dass es überall in ihrem Rahmen 0 ist. Ich werde meiner Antwort einen Nachtrag hinzufügen.
Nein, die Frage fragt sehr konkret nach der Zeit „Alice sieht aus ihrem Rahmen“.
Hier kommt die Verwirrung zustande, denn die Analyse ist sehr unterschiedlich und hängt von der Nuance dessen ab, was wir mit Zeit „in Alices Rahmen“ meinen. Was ist hier die häufigste Konvention?
Ihre Frage fragt nicht, was Alice 'sieht' - sie fragt nach den Zeiten an den Orten der drei Uhren, wenn eine von ihnen t' = 0 sagt und alle Uhren von Bob t = 0 sagen.
@BooleanDesigns "Die Frage fragt sehr speziell nach der Zeit "Alice sieht von ihrem Rahmen aus" - das wird in der Frage nicht ausdrücklich angegeben. Dort heißt es: "Wir werden gefragt, was die Uhren in Alices Rahmen sagen ..." Das soll bedeuten "... wie von Bob beobachtet".
Scheinbares Paradoxon in der speziellen Relativitätstheorie
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