Ich muss diese Frage möglicherweise verfeinern, da ich mich hauptsächlich mit einer trüben Intuition auseinandersetze und die eigentliche Arbeit noch nicht erledigt habe.
Wenn ich vielen der bekannten Paradoxien begegne, wie Zenos Dichotomie, Russells Menge, die sich selbst enthält, Problemen von „Null“ und „Eins“, dem Konzept des Infinitesimalen in der Analysis oder einem „Zeitpunkt“, Hegels „Identität von Identität und Differenz", sogar Aspekte der Quantenunbestimmtheit, sie alle scheinen sich auf verlockende Weise zu ähneln. Sie scheinen alle an einer Punktposition anzukommen, wie der „Ursprung“ in kartesischen Koordinaten, der sowohl als „innerhalb“ als auch „außerhalb“ der betrachteten Gesamtheit definiert werden muss. Oder sowas ähnliches.
Gibt es eine Reduzierung dieser und anderer Paradoxien, die "fundamentaler" ist oder am besten verdeutlicht, was sie gemeinsam haben, eine Art Meta-Paradoxon? Wie ich schon sagte, das ist vielleicht zu verschwommen oder etwas, das jeder mit einem Hintergrund in Logik bereits weiß, aber ich dachte, ich werfe es da raus.
Möglicherweise finden Sie das Buch The Limits of Thought von Graham Priests hilfreich, um Ihre Frage zu verfeinern. Priester argumentiert
das Denken gerät in wahre Widersprüche, wenn es an seine eigenen Grenzen stößt
Dies wurde von Kant festgestellt – seine berühmten Antinomien –, die sein kritisches Projekt motivierten; Priester schreibt Hegel jedoch die Entscheidung zu, dass die Widersprüche unvermeidlich sind, und ihre zugrunde liegende Struktur.
Das Buch durchläuft eine Geschichte der Grenzen ; und plädiert für eine Typologie; Grenzen von:
Ausdruck (Platon über das Unveränderliche als Bedingung für Sinn, Aristoteles über die Urmaterie, Cusanus über die Unaussprechlichkeit Gottes)
Iteration (unendliche Regressionen bei Zenon, Aristoteles und Liebniz)
Erkenntnis (Sextus’ Skepsis und Protagoras’ Relativismus)
Konzeption (Anselms ontologisches Argument und Berkeleys Unfassbarkeitsargument für den Idealismus).
In einer anderen Richtung ist es erwähnenswert, dass einige der mathematischen Paradoxien von Cantor, Russell, Tarski, Turing und Gödel auf einem ähnlichen Argument beruhen – Diagonalisierung – das später in ein formales Argument (unter der Schirmherrschaft der Kategorientheorie) zusammengestellt wurde ).
Paradoxien können im Allgemeinen nach ihren Merkmalen kategorisiert werden, aber es kann kein Paradoxon geben, das die grundlegenden Komponenten aller anderen Paradoxien beschreibt. Ich werde einen Widerspruchsbeweis führen.
Nehmen wir an, es gäbe ein grundlegendes Paradoxon, das alle anderen beschreibt. Das würde bedeuten, dass es ein Paradoxon gibt, das sowohl binäre als auch unendliche Paradoxa beschreibt. Dies allein ist ein binäres Paradoxon, was bedeutet, dass sich das grundlegende Paradoxon auch selbst beschreiben müsste. Aber wenn es sich selbst beschreibt, bedeutet das, dass es kein grundlegendes Paradoxon ist, weil es selbst ein Paradoxon ist. Sie können dieses Muster immer weiter fortsetzen, bis Sie einfach aufgeben.
Ich hoffe, das hilft, und kommentieren Sie bitte, wenn ich einen Fehler in der Kommunikation oder in meinen Argumenten gemacht habe.
Ein unglaublich grundlegendes Problem, das bei Paradoxien auftaucht, ist Tarskis Undefinierbarkeitssatz . Es ist eine Grenze der formalen Sprachen. Es besagt, dass jede formale Sprache, die ein bestimmtes Kriterium erfüllt, ihre eigene Semantik nicht definieren kann. Dieses Kriterium ist ziemlich weit gefasst: Jede formale Sprache, die Arithmetik beschreiben kann und den Negationsoperator hat, kann ihre eigene Semantik nicht definieren! Die "berühmten" Paradoxien sind typischerweise diejenigen, die strenge mathematische Aufmerksamkeit erhalten haben, also neigen sie dazu, bereits in vergleichsweise formaler Form zu sein.
Laut einem unten genannten Forschungsbericht fallen "viele selbstreferenzielle Paradoxien, Unvollständigkeitstheoreme und Fixpunkttheoreme aus demselben einfachen Schema".
Die in der Abhandlung aufgeführten Beispiele:
Siehe Ein universeller Ansatz für selbstreferenzielle Paradoxien, Unvollständigkeit und Fixpunkte .
Eine Möglichkeit, ein Paradoxon zu beschreiben, ist, dass es sich um eine Situation handelt, in der zwei Ihrer Intuitionen in Konflikt geraten. Sie haben viele Intuitionen, und sie können sich über alle möglichen Dinge widersprechen, also gibt es keinen Grund zu erwarten, dass alle Paradoxien miteinander in Beziehung stehen können.
Insbesondere eine Situation, die sich paradox anfühlt, ist sowohl eine Aussage über Ihren Geisteszustand als auch eine Aussage über die Situation. Sie könnten einige Intuitionen verwerfen und andere verfeinern und später feststellen, dass etwas, das sich früher paradox anfühlte, es nicht mehr tut.
Die einzelnen Paradoxien, die Sie miteinander verknüpfen möchten, scheinen von einem bestimmten logischen Standpunkt aus einen gemeinsamen Aspekt zu haben.
Aus Sicht der „harten Intuitionisten“ ist unser linguistisches Konstrukt der Negation unvollständig. Brouwer führt sie auf unsere Schwierigkeit zurück, zwei verschiedene Arten von zeitlicher Unterscheidung zu kombinieren. Und sie passen nicht richtig zusammen.
Der eine bezieht sich auf das Zählen, die Sukzessive der Zeit, und der andere auf die Kontinuität, den „gleichmäßigen Fluss“ der Zeit. Aus demjenigen, das sich auf das Zählen bezieht, erhalten wir das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, alles ist entweder vor oder nach diesem Punkt. Und aus dem, was sich auf Kontinuität bezieht, bekommen wir den Begriff der Vollständigkeit, dass man immer näher hinsehen und mehr Zeug sehen kann, aber was man sieht, widerspricht nicht dem, was man bereits von einem weniger vollständigen Standpunkt aus gesehen hat. Diese widersprechen sich von Natur aus, aber wir können das nicht klar sehen, und wir sehen Paradoxien, wenn wir nur eine davon auswählen müssen.
Zenos Paradoxon ist das deutlichste Beispiel dafür, wie sie nicht zusammenpassen, wir zählen Raumunterteilungen ab, da unsere Raumintuition natürlich alle Lücken füllt, und wir fragen uns, ob der Prozess beendet werden sollte oder nicht. Die Probleme mit der hemmungslosen Verwendung von Infinitesimalen sind nur das verallgemeinerte Paradoxon von Zeno. Wir müssen Kontinuität über Iteration akzeptieren, und das passt nicht zu uns. Cantor gibt uns eine Vorstellung davon, warum. Aber wir können es nicht wirklich im Kopf behalten.
Bei Russells Paradoxon geht es mehr darum, nach außen als nach innen zu schauen, aber aus intuitiver Sicht ist die Tatsache, dass wir immer eine Menge finden können, die sich um eine gegebene Menge legt, die Unendlichkeit auf die gleiche Weise, wie Zeno eine endliche Entfernung aufteilt. Es schafft eine sich grenzenlos multiplizierende Welt, die wie das Kontinuum alle Lücken „vermutlich ausfüllt“, die durch eine Unterscheidung entstehen. Wir versuchen dann, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte auf alle Unterscheidungen gleichzeitig anzuwenden. Und wir scheitern.
Unser grundlegender Begriff der Implikation beinhaltet auch intrinsisch die Negation. Uns gefällt die Vorstellung, dass A -> B <=> B v ~A. Aber diese Vorstellung führt uns zu Paradoxien wie "Wenn diese Aussage wahr ist, dann hat der Weihnachtsmann sie zuerst gesagt." Unser Wunsch, LEM zu haben, steht im Konflikt mit unserem Wunsch, dass jede Aussage wahr oder falsch sein soll, und diese ist entweder beides oder leer.
Usw.
Aber die Negation ist nicht die einzige Quelle der Verwirrung in der klassischen Logik. Es gibt andere ebenso schwache Konzepte, die andere Intuitionen unvollständig erfassen.
Unser Verständnis dafür, was verglichen werden kann und was nicht, und warum, ist etwas schwach. Wir neigen zu der Vorstellung, dass jede Teilordnung leicht eine Gesamtordnung ergibt. Dies lässt uns glauben, dass das Gefangenendilemma die falsche Antwort haben sollte, und uns gegen das Spiel der intransitiven Würfel und die damit verbundene Merkwürdigkeit in der Art und Weise, wie sich Wahrscheinlichkeiten verhalten, sträuben.
Wir können sehen, dass die erste langweilige Nummer nicht langweilig wäre, weil sie die Natur der Langeweile verdeutlichen würde, was sie weniger langweilig machen würde. Wir haben eine bestimmte Teilbestellung, die keine Gesamtbestellung begründen kann. Und das ist ärgerlich.
Unendlichkeit verschlimmert diese Situation und bringt uns verschiedene ethische Probleme mit sich, die mehrere Leben und Versuche beinhalten, verschiedene Verluste von Leben zu vergleichen, was im Grunde unsere Intuition herausfordert, konsistente zusätzliche Regeln zu finden, um Verhältnisse von Unendlichkeiten zu ordnen. Und das Axiom of Choice, das dieser Vorstellung entspricht, dass Ordnung entweder da ist oder nicht, führt über Zorns Lemma direkt in das Banach-Tarski-Paradoxon über Messbarkeit, Größe und die Natur der Solidität.
Wenn wir unsere Probleme mit Wahrscheinlichkeit und Teilbarkeit zusammenfassen, erzeugt die Statistik, die eine unendlich teilbare Wahrscheinlichkeit ist, eine eigene Vielzahl von Paradoxien.
Ich würde also behaupten, dass es große Klassen von Paradoxien geben kann, die auf eine bestimmte schwache Intuition zurückzuführen sind, aber dass es zumindest einige unabhängige Quellen von Paradoxien gibt, und darüber hinaus entstehen verschiedene Paradoxien durch die Kombination verschiedener Gruppen schwacher Intuitionen.
Ein Paradoxon ist ein Beweis dafür, dass Ihre Denkweise zu naiv oder wirklich schlecht ist und geändert werden sollte, wenn Sie die vorherigen Dinge verstehen wollen. Es gibt eine besondere Art von Paradoxien, die als "Diagonalargumente" bezeichnet werden und eine besondere Rolle spielen.
Diagonale Argumente treten im Grunde auf, wenn man einen Satz sagt, der "zu viel verlangt", und eine universelle Quantifizierung beinhaltet. Es basiert auf der Tatsache, dass, wenn „alles ist etwas“ wahr ist, „alles ist etwas“ auch etwas ist. Ich lade Sie ein, das vorherige Etwas durch subjektiv, bedeutungslos, relativ, falsch oder was auch immer Sie möchten, zu ersetzen. Grundsätzlich besteht die Idee des diagonalen Arguments darin, eine Idee auf sich selbst anzuwenden, und es ist eigentlich eine ziemlich gute Konsistenzprüfung. Insofern sind Subjektivismus oder Nihilismus eindeutig nicht diagonal zulässig, wohl aber die naive klassische Wahrheit.
Nun, nicht alle Paradoxien sind so. Man sollte zum Beispiel unbedingt zwischen einer Antinomie (was gleichzeitig wahr und falsch ist) und einem Paradoxon (was der Intuition widerspricht) unterscheiden. Auf jeden Fall sollte man nicht denken, dass Paradoxien Dinge sind, gegen die man nichts machen kann. Beispielsweise ist die lineare Logik eine Logik der Menge/Information. Dort sind einige Wahrheiten zeitlich, so dass das, was an einem Punkt wahr ist, an dem anderen nicht unbedingt wahr ist. Insbesondere muss die lineare Implikation A -> B als "gegebenes A, es verwandelt sich in B" verstanden werden: Sie beginnen mit A und landen bei B, aber Sie haben dabei A verloren. In diesem Rahmen wird das Lügnerparadoxon zu einer gültigen Aussage, aber es ist zyklisch. In der Tat, wenn A = "Er lügt, wenn er sagt, dass er lügt" und B = "
Dasselbe würde passieren, wenn man in der Lage wäre, eine formale Logik mit Gedächtnis (also nicht kommutativ wie Quantenmechanik) für das Gefangenenparadoxon zu haben: Sie hören an einem solchen Punkt einfach mit der Argumentation auf, aber die Schlussfolgerung würde sich ändern, wenn Sie sie mit Kenntnis dieser Informationen wiederholen , und es wird nie enden.
Beachten Sie, dass es algebraisch immer frei ist, ein Paradoxon als Fixpunkt der Negation zu interpretieren, aber ich finde es überhaupt nicht aufschlussreich.
Benutzer9166
Nelson Alexander
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