Sind die klassische Feldtheorie und die Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens (nichtrelativistische oder "klassische") Grenzen der Quantenfeldtheorie?

Lieber Turion, das Dirac-Quantenfeld kann formal durch Quantisierung der Dirac-Gleichung erhalten werden, die eine relativistische , aber quantenmechanische Ein-Teilchen-Gleichung ist.

Die nicht-relativistische Grenze der Einzelteilchen-Dirac-Gleichung ist die Pauli-Gleichung, die im Wesentlichen die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für eine Wellenfunktion mit einer zusätzlichen 2-fachen Entartung ist, die den Spin beschreibt.

Um von der nicht-relativistischen Schrödinger-Gleichung für ein Elektron zu einer Quantenfeldtheorie mit einem quantisierten Dirac-Feld zu gelangen, müssen Sie also

1. Muss den Spin addieren und auf die Pauli-Gleichung gehen - einfach
2. Erraten Sie die richtige relativistische Verallgemeinerung der Pauli-Gleichung - es ist die Ein-Teilchen-Dirac-Gleichung, die auch Lösungen mit negativer Energie hat
3. Erkenne, dass die Lösungen negativer Energie im Einzelteilchensystem inkonsistent sind, also musst du die Wellenfunktion ein zweites Mal quantisieren und das Dirac-Quantenfeld erhalten

Diese Abfolge von Schritten ist formal. In dieser Reihenfolge kann man die Dinge nicht wirklich "ableiten", zumindest nicht auf einfache Weise. Schließlich brauchte Schritt 1 ein kreatives Genie von Paulis Kaliber, Schritt 2 brauchte ein kreatives Genie von Diracs Kaliber, und Schritt 3 erforderte eine Zusammenarbeit von Dutzenden von Top-Physikern, die die Quantenfeldtheorie entwickelten. Ganz im Gegenteil, wie Ihnen richtig gesagt wurde, gehen die sinnvollen wohldefinierten Operationen genau in die entgegengesetzte Reihenfolge - aber sie folgen nicht den obigen Schritten. Sie beginnen mit der Quantenfeldtheorie, einschließlich des Dirac-Feldes, das die richtige vollständige Theorie ist, und Sie können verschiedene Grenzen davon nehmen.

Der nichtrelativistische Grenzwert ist natürlich etwas ganz anderes als der klassische Grenzwert. Die nichtrelativistische Grenze ist immer noch eine Quantentheorie, mit Wahrscheinlichkeiten etc. - aber sie berücksichtigt nicht die besondere Rolle der Lichtgeschwindigkeit. Andererseits ist die klassische Grenze etwas völlig anderes – eine klassische deterministische Theorie, die die Lorentz-Symmetrie respektiert, und so weiter. Lassen Sie uns die Grenzen der Quantenelektrodynamik separat diskutieren.

Klassische Grenzen

Der Klassiker,$\hbar\to 0$, wirkt die QED-Grenze unterschiedlich auf Fermionen und Bosonen. Die Bosonen nehmen gerne den gleichen Zustand ein. Allerdings um "eigentlich" zu senden$\hbar$auf Null, braucht man Mengen mit gleichen Einheiten, die viel größer sind als$\hbar$:$\hbar$geht relativ zu ihnen auf Null. Welche Mengen können Sie finden? Nun, das elektromagnetische Feld kann in starken Feldern viel Energie transportieren.

Sie erhalten also eine klassische Grenze, indem Sie viele Photonen im selben Zustand haben. Sie verbinden sich zu klassischen elektromagnetischen Feldern, die den klassischen Maxwell-Gleichungen unterliegen; Beachten Sie, dass die klassischen Maxwell-Gleichungen "bereits" relativistisch sind, obwohl Menschen vor Einstein diese Symmetrie nicht vollständig gewürdigt hatten (obwohl Lorentz die "Neudefinition" aufschrieb, ohne ihre Beziehung zu den verschiedenen Trägheitsrahmen oder Symmetriegruppen zu erkennen). Sie streichen einfach Hüte aus den ähnlichen Heisenberg-Gleichungen für die elektromagnetischen Felder.

Nun, für extrem hohe Frequenzen ist die Anzahl der Photonen nicht groß, weil sie eine enorme Energie tragen. Für hohe Frequenzen lässt sich also auch eine andere klassische Grenze ableiten – basierend auf „punktförmigen Teilchen“, den Photonen.

Fermionen, zB Elektronen, beschrieben durch die Dirac-Gleichung, gehorchen dem Ausschlussprinzip. Viele davon kann man also nicht haben. Es gibt höchstens ein Teilchen pro Zustand. In den quantenmechanischen Theorien hat es eine ungefähre Position und einen Impuls, die nicht pendeln. Die klassische Grenze ist, wo sie pendeln. Der klassische Limes muss also zwangsläufig eine Mechanik für die Fermionen hervorbringen – mit Orten und Impulsen einzelner Teilchen. Wie ich bereits erwähnt habe, könnte dieses Bild auch für hochenergetische Bosonen relevant sein.

Nichtrelativistische Grenze

Die nicht-relativistische,$c\to\infty$, Limit von QED ist etwas ganz anderes. Es ist immer noch eine Quantentheorie. Da sich die Photonen mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten und die Geschwindigkeit ins Unendliche geschickt wird, breiten sich die elektromagnetischen Wellen im nicht-relativistischen Grenzbereich unendlich schnell aus. Das bedeutet, dass die geladenen (und rotierenden oder sich bewegenden) geladenen Objekte sich gegenseitig sofort durch elektrische (und magnetische) Felder beeinflussen.

Bei den Fermionen machen Sie einen der Schritte von Anfang an rückgängig: Sie verringern die Geschwindigkeit der Elektronen. Angenommen, es gibt für eine Weile keine Positronen, verhindert die nicht-relativistische Grenze, bei der die Geschwindigkeiten klein sind, die Bildung von Fermion-Antifermion-Paaren. Die Anzahl der Teilchen bleibt also erhalten.

Es ist also sinnvoll, den Hilbertraum in Sektoren mit zu zerlegen$N$Partikel für verschiedene Werte von$N$und Sie sind zurück in der Mehrkörper-Quantenmechanik. Sie werden auch den Spin haben, wie in der Pauli-Gleichung, und sie werden über sofortige Wechselwirkungen interagieren - die Coulomb-Wechselwirkung und ihre magnetischen Gegenstücke (kombinieren Sie die Ampére- und Biot-Savart-Gesetze für$B$induziert durch Ströme mit den üblichen magnetischen Kräften, die auf bewegte Ladungen und Spins wirken). Sie erhalten den üblichen nichtrelativistischen quantenmechanischen Hamiltonoperator, der für die Atomphysik verwendet wird.

Es wird keine Wellen geben, weil sie sich mit unendlicher Geschwindigkeit bewegen. Du wirst sie nicht sehen können. Aber sie werden die Energieerhaltung usw. nicht zerstören, weil im nichtrelativistischen Grenzfall die von beschleunigenden Ladungen abgegebene Leistung gegen Null geht, weil sie enthält$1/c^3$oder eine andere negative Kraft.

Im nicht-relativistischen Grenzfall verschwinden die Photonen also einfach aus dem Bild, und ihre einzige Spur sind die augenblicklichen Wechselwirkungen vom Coulomb-Typ.

Klassischer nichtrelativistischer Grenzwert

Natürlich können Sie beide Begrenzungsverfahren gleichzeitig anwenden. Dann erhalten Sie nicht-relativistische punktartige klassische Elektronen, die über die Coulomb-Wechselwirkung und ähnliche sofortige Wechselwirkungen interagieren.

Einige kurze Anmerkungen (ich hoffe, dass diese hilfreich sind, um präzisere Versionen Ihrer Frage zu formulieren):

• „Kürzlich habe ich mit einem anderen Physiker über QFT gesprochen und erwähnt, dass die Quantenfeldtheorie eines Fermions eine Quantisierung seiner quantenmechanischen Ein-Teilchen-Theorie ist.“

Ich denke, Sie wollten sagen, dass der Hilbert-Raum der QFT als fermionischer Fock-Raum aus dem Ein-Teilchen-Hilbert-Raum konstruiert ist, der normalerweise als zweite Quantisierung bezeichnet wird, richtig?

• „Er führte aus, dass die angetroffenen Energien alle viel kleiner als die Partikelmasse sind, sodass wir alle Multi-Partikel-Anregungen im Fock-Raum ignorieren können und einen effektiven Hilbert-Raum erhalten, der aus allen Einzel-Partikel-Anregungen besteht.“

Die Teilchenerzeugung ist nur ein Aspekt der speziellen Relativitätstheorie, der durch die Quantenfeldtheorie mit der Quantenmechanik verschmolzen ist. Sie müssen auch mit der von der nichtrelativistischen Quantenmechanik beschriebenen Nicht-Null-Wahrscheinlichkeit eines Teilchens umgehen, um sich mit einer Geschwindigkeit größer als c (der Vakuumlichtgeschwindigkeit) auszubreiten. Nehmen Sie ein freies massives Spin-Null-Boson in einer Dimension, das an einem Punkt lokalisiert ist$x$zu einer Zeit$t=0$, wird die zeitliche Entwicklung durch eine Schrödinger-Gleichung beschrieben. Zu einer beliebig kleinen Zeit$t \gt 0$Die Wellenfunktion ist eine Gaußsche Funktion, was bedeutet, dass es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null gibt, das Teilchen in einer beliebigen Entfernung zu finden$x$.

Daher keine Begrenzung$\lim_{c \to \infty}$muss auch die Dynamik betrachten, nicht nur den Zustandsraum. In welchem ​​Sinne beschreibt die Schrödinger-Gleichung im Grenzfall die Dynamik von Elementarteilchen mit Masse ungleich Null$\lim_{c \to \infty}$wird in jedem mir bekannten QFT-Lehrbuch erklärt.

• "... er antwortete natürlich, dass es gerade wegen der Masselosigkeit keine nichtrelativistische Grenze der QED geben kann."

Ja, das stimmt einfach, denn die klassische Theorie (Maxwellsche Gleichungen) ist bereits relativistisch.

• „Ist es also gleich, die klassische oder die nichtrelativistische Grenze zu nehmen, oder schließt die eine die andere ein, oder gibt es einen tiefgreifenden Unterschied?“

Es tut mir leid, aber ich verstehe diese Frage nicht. Aus rein formaler Sicht ist die klassische Grenze$\lim_{h \to 0}$, und der nichtrelativistische Grenzwert ist$\lim_{c \to \infty}$, und die Beispiele, die Sie selbst anführen, machen bereits deutlich, dass dies nicht dasselbe ist.

Klassische Feldtheorie ja (Erweiterung des Satzes von Ehrenfest), aber Quantenmechanik nein, nicht im engeren Sinne. Wenn Sie eine Freifeldtheorie in einem Zahlenzustand (Fock) annehmen, sollten die Quanten im nichtrelativistischen Grenzfall der Schrödingergleichung gehorchen. Ein WIRKLICH nicht-wechselwirkendes Feld ist jedoch nicht beobachtbar und man könnte nicht einmal beweisen, dass es existiert! Die uns eigentlich bekannten können sich also im nicht-relativistischen Grenzfall nur "ungefähr" auf QM reduzieren.

Ich empfehle dringend ein Papier mit dem Titel „Quantenmechanik: Mythen und Fakten“ von Hrvoje Nikolic

. Abschnitt 9 diskutiert ausführlich die Tatsache, dass QM streng genommen definitiv nicht die nichtrelativistische Grenze von QFT im Wechselwirkungsfall ist ...