Steht die Ergodenhypothese im Widerspruch zum Begriff des Gleichgewichts?

Man muss vorsichtig sein, um zwischen Mikrozuständen und Makrozuständen zu unterscheiden. Das thermodynamische Gleichgewicht ist ein Makrozustand , der aus einer Mischung aller möglichen Mikrozustände der Energie besteht$E$gewichtet mit einem Boltzmann-Gewicht$e^{- \beta E} / Z$. Ein Zustand im makroskopischen thermischen Gleichgewicht kann ergodisch als "sich durch den Phasenraum bewegend" betrachtet werden (dh der Mikrozustand ändert sich ständig, aber der Bruchteil der Zeit, der in jedem Mikrozustand verbracht wird, ist auf das Boltzmann-Gewicht festgelegt).

Soweit ich weiß, lautet die Antwort: Nicht nur die Ergodizität, sondern auch der Poincare-Rekursionssatz "widerspricht ein wenig" dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

Der Punkt ist, dass tatsächlich die Zeit, die jedes ergodische System (zum Beispiel Boltzmann-Billard, wie Sinai bewiesen hat) in einem messbaren Teil des vollen Phasenraums des Systems ist, proportional zum Phasenvolumen dieses Teils ist. Aber aufgrund einer Art Gesetz der großen Zahlen gehört fast der gesamte Phasenraum zu den Parametern des Zustands maximaler Entropie.

Wenn Sie also die Grenze zwischen zwei Teilen des halbleeren Volumens entfernen, kehrt das System periodisch in den halbleeren Zustand zurück (jetzt ohne Grenze), aber das Phasenvolumen dieser Zustandsfamilie ist ziemlich klein (tatsächlich verheerend klein). , also ist der Anteil des Zeitsystems, der zu diesem Volumen gehört, auch verheerend gering.

Wenn Sie möchten, können Sie Computerexperimente mit 1,2,3,...,10 Molekülen einrichten, um den Charakter der schnellen Abnahme des Phasenvolumens kleiner Entropie (z. B. halbleeres Rechteck) während der Anzahl von zu sehen Moleküle nimmt zu.

Tatsächlich nimmt die Entropie also nicht zu, sie erreicht ihren maximal möglichen Wert, wenn Sie ihr "die Tür öffnen", und sie bleibt für ein sehr langes Zeitintervall bestehen (transzendental riesig, ja).

Entschuldigung für schreckliches Englisch.

Um konkret zu sein, stellen wir uns eine Box mit einem idealen monoatomaren Gas im Gleichgewicht vor, das eine konstante Energie enthält. Betrachten wir nicht die Abweichungen von den Mittelwerten der Atomimpulse, also haben alle Atome den gleichen Mittelwert des Impulses (ich weiß, das ist nicht realistisch, aber es ist eine gute Annäherung an die Situation). Es gibt viele Verteilungen der Impulse und Positionen der Atome im Phasenraum, die demselben makroskopischen Gleichgewichtszustand des Gases entsprechen. Und je größer das Volumen, desto mehr dieser Verteilungen sind möglich (die Verteilungen, bei denen die Positionen der Atome beispielsweise alle in einer Ecke des Kastens konzentriert sind oder die Impulse in einen Teil mit hohem Impuls und einen Teil mit niedrigem Impuls getrennt sind Teil werden nicht berücksichtigt, und ich habe bereits gesagt, dass die Impulse der Atome als gleich anzusehen sind).

Sie müssen sich also keine Sorgen machen, dass die Atome in der Box plötzlich ein Nichtgleichgewichtszeichen zeigen (wie alle Atome, die sich in einer Ecke befinden: Dafür müssen Sie viel, viel länger warten als die Zeit im Zitat erwähnt).

Es gibt eine schöne Metapher für Ergodizität: Stellen Sie sich einen einsamen Mann vor, der jeden Tag einen zufälligen Spaziergang vom Eingang zum Ausgang im Park macht. Sie können seinen Weg viele Tage hintereinander zeichnen. Dies ergibt (mehr oder weniger) das gleiche Ergebnis, wenn Sie die zufälligen Pfade vieler Menschen zeichnen, die an einem einzigen Tag einen zufälligen Spaziergang im Park machen.

Die ergodische Hypothese steht nicht im Widerspruch zum Begriff des Gleichgewichts. Tatsächlich ist es die Säule der statistischen Gleichgewichtsphysik. Die messbaren Größen (wie Druck, Temperatur, ...), die im Gleichgewicht ausgewertet werden, setzen voraus, dass die ergodische Hypothese im Gleichgewicht gültig ist. Man beginnt mit der Bestimmung der Zustandssumme (Z)