Störungsmetrikproblem

Question

Störungsmetrikproblem

GRrocks

Ich weiß, dass dies eine bereits beantwortete Frage ist, aber ich konnte keinen Kopf oder Schwanz daraus machen, und es nervt mich. Ich weiß, dass ich wahrscheinlich eine dumme Frage stelle, aber bitte haben Sie etwas Geduld, da ich 14 bin und dies mein erster Beitrag ist.

Ich habe diese Störung gesehen, als ich ein bisschen linearisierte Gravitation studiert habe:

\begin{matrix} (1) & G_{μ v} = η_{μ v} + H_{μ v} \end{matrix}

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} \tag{1}$

und dann heißt es in der nächsten Zeile: "Sie erhöhen die Indizes, um Folgendes zu erhalten":

\begin{matrix} (2) & G^{μ v} = η^{μ v} - H^{μ v} . \end{matrix}

$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu}. \tag{2}$

Ich habe ein bisschen Tensorrechnung gemacht, aber ich konnte immer noch nicht verstehen, wie die offensichtliche Tatsache $g_{\mu\nu}\, g^{\mu\rho} = \delta^{\rho}_{\nu}$ führt zur zweiten Gleichung. Ich habe alles versucht, was ich konnte, aber alles, was ich bekomme, ist die erste Gleichung mit erhöhten Indizes, die sich von den angegebenen unterscheiden, und einem anhaltenden +-Zeichen. Bitte erklären und leiten Sie die zweite Gleichung Schritt für Schritt wie für einen Idioten her.

JamalS

Wo haben Sie diese Frage auf der Website beantwortet gesehen?

Antworten (3)

Störungsmetrikproblem

Wo haben Sie diese Frage auf der Website beantwortet gesehen?

Jäger · Answer 1

Beachten Sie, dass:

H^{μ v} = η^{μ ρ} η^{v λ} H_{ρ λ}

$h^{\mu \nu} = \eta^{\mu \rho}\eta^{\nu \lambda} h_{\rho \lambda}$ Daher haben wir bis zur ersten Bestellung:

\begin{aligned} G^{μ v} G_{v σ} & = (η^{μ v} - H^{μ v}) (η_{v σ} + H_{v σ}) \\ = η^{μ v} η_{v σ} + η^{μ v} H_{v σ} - η_{v σ} H^{μ v} + Ö (H^{2}) \\ = δ_{σ}^{μ} + η^{μ v} H_{v σ} - η_{v σ} η^{μ ρ} η^{v λ} H_{ρ λ} + Ö (H^{2}) \\ = δ_{σ}^{μ} + η^{μ v} H_{v σ} - δ_{σ}^{λ} η^{μ ρ} H_{ρ λ} + Ö (H^{2}) \\ = δ_{σ}^{μ} + η^{μ v} H_{v σ} - η^{μ ρ} H_{ρ σ} + Ö (H^{2}) \\ = δ_{σ}^{μ} + η^{μ v} H_{v σ} - η^{μ v} H_{v σ} + Ö (H^{2}) \\ = δ_{σ}^{μ} + Ö (H^{2}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} g^{\mu \nu}g_{\nu \sigma} & = (\eta^{\mu \nu} - h^{\mu \nu})(\eta_{\nu \sigma} + h_{\nu \sigma}) \\& =\eta^{\mu \nu}\eta_{\nu \sigma} + \eta^{\mu \nu}h_{\nu \sigma} - \eta_{\nu \sigma} h^{\mu \nu} + \mathcal{O}(h^2) \\& = \delta^\mu_\sigma + \eta^{\mu \nu}h_{\nu \sigma} - \eta_{\nu \sigma} \eta^{\mu \rho}\eta^{\nu \lambda} h_{\rho \lambda} + \mathcal{O}(h^2) \\& = \delta^\mu_\sigma + \eta^{\mu \nu}h_{\nu \sigma} - \delta_\sigma^\lambda \eta^{\mu \rho} h_{\rho \lambda} + \mathcal{O}(h^2) \\& = \delta^\mu_\sigma + \eta^{\mu \nu}h_{\nu \sigma} - \eta^{\mu \rho} h_{\rho \sigma} + \mathcal{O}(h^2) \\& = \delta^\mu_\sigma + \eta^{\mu \nu}h_{\nu \sigma} - \eta^{\mu \nu} h_{\nu \sigma} + \mathcal{O}(h^2) \\& = \delta^\mu_\sigma + \mathcal{O}(h^2) \end{aligned} \end{equation}$ was wir brauchen.

Als Antwort auf Kommentare bearbeiten. Das Gegenteil von $g_{\nu \sigma}$ , was mit bezeichnet wird $g^{\mu \nu}$ , ist definiert , um die folgende Gleichung zu erfüllen:

G^{μ v} G_{v σ} = δ_{σ}^{μ}

$g^{\mu \nu}g_{\nu \sigma} = \delta^\mu_\sigma$ Mit anderen Worten, wir müssen einen Ausdruck für finden

g^{μ ν}

$g^{\mu \nu}$ so dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind:

G^{μ v} (η_{v σ} + H_{v σ}) = δ_{σ}^{μ}

$g^{\mu \nu}(\eta_{\nu \sigma} + h_{\nu \sigma}) = \delta^\mu_\sigma$ Wie ich oben gezeigt habe, ist die Funktion, die der obigen Gleichung bis zur ersten Ordnung gehorcht, in

h_{μ ν}

$h_{\mu \nu}$ Ist:

G^{μ v} = η^{μ v} - H^{μ v}

$\begin{equation} g^{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} - h^{\mu \nu} \end{equation}$ Das ist wirklich alles, was vor sich geht.

Hunter, ich verstehe, was Sie meinen, aber danach habe ich nicht gefragt. Ich fragte, wie wir die zweite Gleichung aus der ersten bekommen ... Sie haben Gleichung 2 im ersten Schritt selbst verwendet. Ich wollte nur wissen wie man das hinbekommt....Aber trotzdem danke!!
@GRrocks das ergibt für mich keinen Sinn. Aus welcher Quelle lernst du?
@GRrocks meinst du Gleichung (4.13) und (4.14)? Er macht genau das Gleiche, was ich oben getan habe. An diesem Punkt bin ich mir nicht sicher, was Ihre Verwirrung ist.
Nein @Hunter, ich spreche von den Gleichungen (6.1) und (6.2) (siehe Abschnitt "Schwache Felder und Gravitationsstrahlung")
@GRrocks Es scheint genau die gleiche Situation wie bei den Gleichungen (4.13) und (4.14) zu sein.
Mit anderen Worten, wie ist die Umkehrung von $h_{\mu\nu}$ definiert als - $h^{\mu\nu}$ ? ungefähr, ich meine, wie leitet man die zweite Gleichung her???
Ahh ... jetzt verstehe ich es ... vielen Dank @Hunter ... ich glaube, ich war dumm ... aber das hast du vorhin gezeigt $\eta^{\mu\nu}$ - $h^{\mu\nu}$ ist die erforderliche Funktion, also eher Versuch und Irrtum. Können wir nicht einen beliebigen Tensor nehmen und zeigen, dass dieser beliebige Tensor sein muss, um Gleichung 2 meiner Frage zu erhalten (ich habe gerade die Nummerierung der Gleichungen bearbeitet). $\eta^{\mu\nu}$ - $h^{\mu\nu}$ ???Entschuldigung, wenn ich wieder dumm bin..
@GRrocks: Nun, der einzige 100% rigorose Weg, um das zu tun, was Sie verlangen, ist aufzuschreiben $h_{ab}$ in Komponenten, invertieren Sie die Matrix und lassen Sie die Terme zweiter Ordnung fallen. Dann können Sie die gewünschte Gleichung extrahieren. Aber das ist natürlich eine Menge Arbeit.
@JerrySchirmer Bitte überprüfen Sie meine Bearbeitung, ist sie jetzt streng?

Auxsvr · Answer 2

Wenn Sie haben $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ , mit $|h_{\mu\nu}|\ll 1$ eine Störung, $\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,1,1,1)$ , dann können Sie einfach eine Taylor-Entwicklung durchführen, um die Umkehrung zu erhalten,

G^{μ v} = η^{μ v} - H^{μ v} + Ö (H^{2}),

$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu}+ \mathcal{O}(h^2),$ wo die Indizes von

h^{μ ν}

$h^{\mu\nu}$ werden von erzogen

η^{μ ν}

$\eta^{\mu\nu}$ . Dies ist leicht zu erkennen, wenn man zuerst die diagonalen Elemente nimmt, die außerdiagonalen sind von zweiter Ordnung, vernachlässigbar. Sie müssen dafür keine Matrixgleichung lösen, da die Inverse linear abhängig von ist

η_{μ ν} = η^{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$ ,

h_{μ ν}

$h_{\mu\nu}$ und ihre Produkte, daher muss es die Form haben

g^{μ ν} = a η^{μ ν} + b h^{μ ν} + \dots

$g^{\mu\nu} = a\eta^{\mu\nu} + b h^{\mu\nu} + \ldots$ , wobei die Ellipsen lineare Abhängigkeiten höherer Ordnung implizieren und die Koeffizienten Konstanten sind. Beachte das auch

h_{μ ν} η^{μ μ} η^{ν ν} = h^{μ ν}

$h_{\mu\nu} \eta^{\mu\mu} \eta^{\nu\nu} = h^{\mu\nu}$ , keine Summierung impliziert, nämlich

h^{μ ν} \propto h_{μ ν}

$h^{\mu\nu} \propto h_{\mu\nu}$ .

Auch eine einfache Art zu berechnen $\delta g^{\mu\nu}$ ist durch die Verwendung von $\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\rho} g^{\nu\sigma} \delta g_{\rho\sigma}$ mit $\delta g_{\mu\nu} = h_{\mu\nu}$ .

In der allgemeinen Relativitätstheorie die Nachfrage $|h_{\mu\nu}| \ll 1$ reicht nicht aus, um zu garantieren, dass die Störung klein ist. Normalerweise prüfen Sie von Fall zu Fall, was „klein“ für Ihren speziellen Hintergrund bedeutet.
@JamalS Wenn wir einen Hintergrund haben, der von beschrieben wird $\eta_{\mu\nu}$ , nicht $|h_{\mu\nu}|\ll 1$ Kleinheit eindeutig definieren?
Für die Minkowski-Metrik natürlich, aber nicht für einen allgemeinen Hintergrund. Es tut mir leid, wenn es so aussah, als würde ich Ihre Antwort in Frage stellen; der Kommentar war als Nachtrag für zukünftige Zuschauer gedacht.
Ich gehe davon aus, dass das OP versucht, die Newtonsche Grenze abzuleiten, sonst macht keine der Antworten Sinn.

BigFOX I · Answer 3

Wir betrachten einen Matrixansatz:

\begin{aligned} G^{μ v} \equiv (G_{μ v})^{- 1} & = (η_{μ v} + H_{μ v})^{- 1} \\ = (η_{μ σ} (δ_{v}^{σ} + H_{v}^{σ}))^{- 1} \\ = (δ_{v}^{σ} + H_{v}^{σ})^{- 1} (η_{σ μ})^{- 1} \\ = (δ_{σ}^{v} - H_{σ}^{v} + H_{ρ}^{v} H_{σ}^{ρ} - \dots) η^{μ σ} \\ = η^{μ v} - H^{μ v} + Ö (H^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} g^{\mu\nu}\equiv(g_{\mu\nu})^{-1}&=(\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu})^{-1}\\ &=(\eta_{\mu\sigma}(\delta^{\sigma}_{\nu}+h^{\sigma}_{\nu}))^{-1}\\ &=(\delta^{\sigma}_{\nu}+h^{\sigma}_{\nu})^{-1}(\eta_{\sigma\mu})^{-1}\\ &=(\delta^{\nu}_{\sigma}-h^{\nu}_{\sigma}+h^{\nu}_{\rho}h^{\rho}_{\sigma}-\dots)\eta^{\mu\sigma}\\ &=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}+\mathcal{O}(h^2). \end{aligned}$

Störungsmetrikproblem

GRrocks

JamalS

Antworten (3)

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jerry Schirmer

Auxsvr

Auxsvr

JamalS

Auxsvr

JamalS

Auxsvr

BigFOX I

Warum ist der Ricci-Tensor definiert als RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Neuordnung von Begriffen in abstrakter Indexnotation – Allgemeine Relativitätstheorie

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Manipulation der Tensor-Index-Notation

Torsions- und spurinvarianter EM-Kinetikterm

Wie kann ich zwei separate Gleichungen für Christoffel-Symbole erstellen, die dieselbe Antwort geben?

Was stellt der Ricci-Tensor dar?

Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

Kommutierungsbeziehungen für den inversen d'Alembertschen Operator

Unterschied zwischen schrägen Indizes auf einem Tensor