Topologische Anfälligkeit

Hier ist eine Antwort, die davon ausgeht, dass die Frage nicht viel Sorgfalt und Präzision in der Antwort erfordert.

1) „Topologie“ wird verwendet, weil$F \tilde F$integriert über eine Mannigfaltigkeit ist eine topologische Größe. (Eine meiner bevorzugten Erörterungen dieses Integrals findet sich im zweiten Band von Weinbergs Serie über QFT.)

2) Eine Anfälligkeit$\chi$sagt uns die Reaktion eines Systems auf eine bestimmte Störung, zum Beispiel wie die Polarisation$P$Änderungen als Reaktion auf eine elektrische$E$Feld,$P = \chi E$. In diesem Fall interessiert uns, wie$F \tilde F$Veränderungen als Reaktion auf Veränderungen$\theta$. Also denken wir an die$\int \theta F \tilde F dx$Term in der Aktion genauso wie wir an die übliche Quelle-Operator-Kopplung denken, wo Ableitungen des Weges integral bzgl$\theta$Korrelationsfunktionen von erzeugen$F \tilde F$. Eine einfache Ableitung ergibt die Einpunktfunktion, eine doppelte Ableitung die Zweipunktfunktion und so weiter. Also, vielleicht zu fußgängerisch, kann ich schreiben

$$\delta F \tilde F = {\delta \langle F \tilde F \rangle\over \delta \theta} \delta \theta$$ wobei die „Ableitung“ auf der rechten Seite die Zweipunktfunktion ist, die als Suszeptibilität bezeichnet wird. Man kann (und sollte wahrscheinlich) hier viel vorsichtiger und präziser sein.

3) Ich weiß nicht, wie ich überprüfen soll, ob der Zähler 1 ist, aber die Tatsache, dass es eine gibt$1/q^2$Skalierung in der$CC$Korrelator scheint im Fourier-Raum sehr natürlich zu sein, wo mit agiert wird$d$ist wie multiplizieren mit$q$. Man bewegt sich einfach$q$ist auf der anderen Seite.

Nur eine Anmerkung zu Ihrer zweiten Frage.

Eine solche Struktur des Korrelators,

$$\lim_{q\to 0}\int d^{4}xe^{iqx}\langle 0| C^{\mu}C^{\nu} |0\rangle = \text{sign}(\kappa (0))|\kappa (0)|\frac{g_{\mu \nu}}{q^2},$$ erfordert das Vorhandensein eines Pols, der einen Zustand definiert, der direkt mit der Chern-Klasse gekoppelt ist $C^{\mu}$. Sofort gibt es folgende Konsequenzen: da $C_{\mu}$nicht eichinvariant ist, dann ist der Zustand sicherlich unphysikalisch, dh er ist ein Gespenst; Da es die Struktur des Massenterms für das Gluon hat, modifiziert es die Polstruktur des Gluonpropagators. $$\lim_{p \to 0} D_{\mu \nu}(p) \sim -\frac{g_{\mu \nu}p^{2}}{-\text{sign}(\kappa (0))|\kappa (0)|}$$ Schließlich bestimmt sein Vorzeichen, ob das Gluon eingeschlossen ist. Die letzte Aussage ist offensichtlich, wenn wir uns den Gluon-Propagator ansehen: $$D_{\mu \nu}^{ab}(p) = -\frac{g_{\mu \nu} - (1 - \epsilon)\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^{2}}}{p^2 - \frac{\text{sign}(\kappa (0))\kappa (0)}{p^{2}}}$$ Sie sehen, dass es für das negative Vorzeichen keinen Pol im Propagator gibt, dh das Gluon kann nicht beobachtet werden.