Trägheitsmoment des Vollzylinders

Ich möchte das Trägheitsmoment eines Vollzylinders mit Radius berechnen R , Länge l und Masse M um eine Achse durch die Mitte des Zylinders.

Mein Ansatz war, die Mittelachse des Zylinders mit dem auszurichten X -Achse und betrachte ein kleines zylindrisches Dickenelement D X . Dann wäre mein Massenelement D M = ρ π R 2 D X , Wo ρ ist die Masse pro Volumeneinheit (Dichte).

Verwenden Sie die Formel für das Trägheitsmoment und integrieren Sie von 0 Zu l , finde ich dann die Antwort zu sein M R 2 . Nun, das ist falsch, es sollte einen Faktor von geben 1 2 da drin. Aber ich verstehe nicht warum. Einige Lösungen, die ich online gesehen habe, berücksichtigen konzentrische Festplatten, aber ich verstehe nicht, warum diese Methode nicht funktioniert.

Welche Achse hast du berücksichtigt?
@ATHARVA-Achse durch die Mitte
aber ist es durch die kreisförmige Ebene (von den Mittelpunkten zweier ebener Kreisflächen)
@ATHARVA Oh ja, das ist es

Antworten (3)

Der D M Sie haben falsch gerechnet. Der Radius wird variieren. Was Sie als konstant angenommen haben. So ,

( https://i.stack.imgur.com/f4VjF.png ) [r1=x ist der Abstand jedes Elements von der Achse]

D M = ρ 2 π X D X l
.

ρ = M π R 2 l

D ICH = ( D M ) X 2

So,

ICH = ∫ 0 R 2 M R 2 X 3

ICH = M R 2 2

Warum variiert der Radius? Ist der Radius nicht überall in einem Zylinder gleich? oO
Das Massenelement hat keinen festen Radius. Es hängt davon ab, wie weit dieses Massenelement von der Achse entfernt ist. Und dieses x wird von 0 bis r variieren, was Ihre unteren und oberen Grenzen für die Integration sind
Würde dieses Argument für einen Hohlzylinder funktionieren?
Nein, für einen Hohlzylinder können Sie dies nicht mit der obigen Methode tun. Das wäre anders, da der Abstand jedes Elements gleich ist.
Ich habe ein Bild hinzugefügt und überprüfe es. Sehen Sie, wie sich r für jedes Element unterscheidet
@ATHARVA, das ist DIE eleganteste und direkteste Methode, um das Trägheitsmoment für einen Zylinder zu erhalten, die ich je gesehen habe! Bravo!

Die Definition des Trägheitsmoments ist definiert als ∭ v R 2 ρ D v . Wobei r der Abstand zwischen der Ratationsachse und dem Volumen dV ist.

Im Fall eines Zylinders ist dieses Integral:

ρ ∫ 0 2 π D θ ∫ 0 R R 2 . R D R ∫ 0 H D z

Ihre Antwort ist falsch, weil Sie r bedroht haben, als wäre es eine Konstante, denke ich.

Entschuldigung, ich bin nicht auf diese Definition gestoßen. ich benutze ∫ R 2 D M für Trägheitsmoment.

Ich denke, Sie haben eine harte Konzeptualisierung Ihrer D M , was in Ordnung ist, weil es anfangs nicht einfach ist. In Betracht ziehen D M als ein winziges bisschen Materie in Ihrem Zylinder. Ein bisschen eingeschlossen zwischen Radius R Und R + D R , z Und z + D z Und θ Und θ + D θ , wo alle D X sind ein infinitesimales Inkrement.

Das Integral bedeutet, dass Sie den Beitrag nehmen R 2 D M von jedem dieser winzigen Stückchen Materie zum totalen Trägheitsmoment. Die Position (der Wert von R ) Ihres Elements in einem Zylinder variiert vom Innenradius zum Außenradius. Wenn Ihr Zylinder nicht hohl ist, bedeutet dies, dass Ihr Innenradius Null ist. Wenn wir uns also nur auf die r-Abhängigkeit des Integrals konzentrieren, erhalten wir ∫ 0 R R 3 D R = 1 4 R 4 .

Der 2 π Faktor aus der Integration des Winkelanteils und die Definition der Dichte als Gesamtmasse dividiert durch das Gesamtvolumen (für einen homogenen Zylinder) ergeben den 1 2 R 2 Endergebnis (konzentriert sich wiederum nur auf den radialen Teil des Ergebnisses)

Trägheitsmoment des Vollzylinders
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