Umkehrung der Gleichung für TμνTμνT_{\mu\nu} in Bezug auf FμνFμνF_{\mu\nu}

Siehe Bearbeiten unten, die ursprüngliche Antwort ist nicht ganz richtig.

Da gibt es keine Spurfreiheit$F$.$F$ist eichinvariant.

In der Tat,$F$ist absolut messbar. Seine Komponenten sind die elektrischen und magnetischen Felder, also gehen Sie einfach mit einer Reihe von Testladungen los und messen$E$und$B$und du hast$F$.

Ein Hinweis darauf$T$und$F$nicht die gleiche Menge an Informationen enthalten, liegt daran, dass sie eine unterschiedliche Anzahl unabhängiger Komponenten haben.$F$hat 6 unabhängige Komponenten als antisymmetrischer Tensor, während$T$hat 10 als symmetrische. Dies ist kein Beweis für irgendetwas, sondern ein Hinweis darauf, dass sie verschiedene Dinge erfassen.

Wenn Sie lokal arbeiten (dh an einem Punkt), können Sie dies auf einfache Weise explizit sehen, indem Sie Lorentz-Transformationen verwenden. Der Spannungsenergietensor hat$10$unabhängige Komponenten, da es sich um einen symmetrischen Tensor handelt, können wir die verwenden$6$Lorentz-Transformationen zum Diagonalisieren$T$. Dann haben wir 4 Gleichungen

$$\begin{eqnarray} T_{00} &=& \frac{1}{2}\left(E^2 + B^2\right) \\ T_{ii} &=& (E_i^2 - \frac{1}{2}E^2) + (B_i^2 - \frac{1}{2}B^2) \end{eqnarray}$$ Es gibt keine Summe über $i$in der zweiten Gleichung impliziert, ist es nur eine schnelle Möglichkeit, die 3 räumlichen Gleichungen zu schreiben.

Sie können sehen, dass es keine Möglichkeit gibt, diese zu lösen. Zum einen sind mehr Komponenten drin$E$und$B$als drin sind$T$in diesem Rahmen. Da die Felder quadratisch erscheinen, gibt es zum anderen keine Möglichkeit, das Vorzeichen einer der Komponenten von zu bestimmen$E$oder$B$.

Außerdem kann man den Unterschied nicht erkennen$E$und$B$(also gegeben$T_{00}$, wer soll sagen, ob Sie hatten$E^2=0$oder$B^2=0$oder keins)? Dieser letzte Punkt ist eine Folge der elektromagnetischen Dualität: In Abwesenheit von Materie ist die Physik von E/M invariant unter$E\rightarrow B$,$B\rightarrow -E$.

BEARBEITEN :

Das Obige ist im Detail nicht ganz korrekt (obwohl ich denke, dass die Schlussfolgerung richtig ist). Aus welchen Gründen auch immer habe ich vernachlässigt, dass es immer 10 Komponenten sind$T_{\mu\nu}$, also gibt es immer 10 Gleichungen, auch in dem Rahmen, in dem$T$diagonal ist. Insbesondere gibt es auch Bedingungen wie

$$\begin{eqnarray} 0 &=& E_x E_y + B_x B_y \\ 0 &=& E_x B_y - E_y B_x \end{eqnarray}$$ Also war mein Zählargument „Es gibt mehr Variablen als Gleichungen“ falsch. Das passt zu der Idee, dass $T$hat mehr Komponenten als $E$- Wenn irgendetwas auf dem Zählen basiert, würden Sie denken, dass das Rechnen ist $T$aus $E$war die schwierigere Sache. (Tatsächlich ist dies im Allgemeinen wahr – die Stressenergietensoren, die Sie aus der Feldtheorie erhalten, sind nicht die allgemeinsten Stressenergietensoren, die Sie aufschreiben können. Es gibt viele Stressenergietensoren, die Sie aufschreiben können, die nicht von einem Lagrangian stammen ).

Der wahre Grund, warum dies nicht funktionieren wird, ist, soweit ich das beurteilen kann, die elektromagnetische Dualität sowie die Tatsache, dass alles quadratisch ist. Es gibt einfach keine Möglichkeit zu unterscheiden$E$aus$B$wenn Sie alle Komponenten ausschreiben. Mit anderen Worten, die Dualität bedeutet, dass die Gleichungen entartet sind, sodass es weniger Gleichungen gibt, als es naiv erscheint, sodass Sie nicht nach allen Komponenten lösen können.

Andererseits, wenn Sie es wissen$T$ Überall , nicht nur lokal, das ist eine ganz andere Geschichte. Das ist, weil (1) wenn Sie wissen$T$überall, wo man es unterscheiden kann, und (2)$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ ist nur Maxwells-Gleichungen$\partial_\mu T^{\mu\nu}=\partial_\mu F^{\mu\nu}$, möglicherweise bis zu einem Gesamtfaktor. Also dann, bis auf die üblichen Vorbehalte, die Randbedingungen kennen zu müssen, falls Sie es wissen$T$überall können Sie die Maxwell-Gleichungen lösen, um zu erhalten$F$.

Moral: Glauben Sie nicht alles, was Sie im Internet lesen.

Der einfachste Weg, den ich mir im Minkowski-Raum vorstellen kann, abgesehen von der Algebra in Bezug auf Matrizen, ist die Verwendung

$$\begin{split} f^a &= \rho E^a + \epsilon^{abc} J_b B_c = \partial_b T^{ab} - \epsilon_0 \mu_0 \partial_t S^a\\ \frac{\partial T^{00}}{\partial t} &= - \vec{J}\cdot \vec{E}- \vec{\nabla} \cdot \vec{S} \end{split},$$ mit $S^a \equiv \frac{1}{\mu_0} \epsilon^{abc} E_b B_c = T^{0a},$ $a,b \in \{1,2,3\}$, und hoffen, dass die Felder leicht zu erkennen sind.

Vielleicht die symmetrischere Form

$$\frac{1}{2} (F_\mu{}^\rho F_{\nu\rho} + \star F_\mu{}^\rho \star\! F_{\nu\rho}),$$ mit dem Stern, der das Hodge-Dual bezeichnet, wird sich in gekrümmter Raumzeit als einfacher zu handhaben erweisen, wenn Sie es schaffen, zu brechen $T_{\mu\nu}$in eine Summe von Matrizen ähnlicher Struktur.