Warum gibt es am kritischen Punkt große Schwankungen und warum funktioniert die Landau-Theorie trotz so großer Schwankungen?

Wie bereits in einem Kommentar von erwähnt elifino, ist es allgemein bekannt, dass in der Nähe eines kritischen Punktes zwei (oder mehrere) verschiedene Phasen mit fast derselben freien Energie um die Bestimmung des Grundzustands (oder der Niedrigenergiezustände) konkurrieren. Daher würden relativ kleine Schwankungen im System zu drastischen Auswirkungen führen. Als einfachstes Beispiel in der Abbildung$^\dagger$Unten werden für ein 2D-Ising-Modell nahe der Kritikalität die „kritischen Fluktuationen“ durch schwarze und weiße Inseln dargestellt (die die Aufwärts- und Abwärtsrichtung des magnetischen Moments darstellen):

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Warum werden die Schwankungen am kritischen Punkt so groß?

Solche Schwankungen sind als Folge der Definition solcher Übergänge groß; nämlich die kontinuierliche Änderung der freien Energie und damit der konkurrierenden Grundzustände. Eigentlich ist dies die Tatsache, dass „der kritische Punkt eines Phasenübergangs so besonders ist“ (Antwort auf die erste Frage). Die Landau-Ginzburg-Theorie der (kontinuierlichen) Phasenübergänge zweiter Ordnung ist in der Tat eine phänomenologische Theorie, die einen solchen Übergang besonders gut beschreibt, weil sie auf einer solchen Beobachtung basiert . Daher erklärt die LG-Theorie per se nicht, warum die Schwankungen nahe dem kritischen Punkt groß sind, aber sie basiert daraufauf dieser Tatsache; Im Grunde ist es eine effiziente Möglichkeit, diese beobachtete Tatsache zu formulieren.

Landaus Theorie des Phasenübergangs ist eine Art verkürzte Erweiterung des Ordnungsparameters um den kritischen Punkt herum. Gemäß dieser Theorie sind die Fluktuationen am oder um den kritischen Punkt herum groß, daher sollte jede Mean-Field-Theorie nicht funktionieren. Ausreichend unterhalb des kritischen Punkts, wo der Ordnungsparameter groß ist, sollte die Erweiterung und Kürzung bei niedrigeren Potenzen von Ordnungsparametern nicht gelten. Wie kommt es, dass alles so sauber ist? Warum funktioniert die Landau-Theorie [so gut]?

In der LG-Theorie ist der statistische Durchschnitt der Größe eines „Ordnungsparameters“ (z.$\langle \phi \rangle$) bestimmt den Übergangspunkt; das heißt, unterhalb des Übergangs hat es in der geordneten Phase einen endlichen Wert (mit relativ kleinen Schwankungen), und oberhalb des Übergangs verschwindet es in der ungeordneten Phase. Dazwischen, nahe dem kritischen Punkt, werden die Schwankungen stärker und zerstören schließlich die Ordnung, in dem Sinne, dass$\lim_{T \rightarrow T_C} \langle \phi \rangle = 0$. Analytischer wird dieses Verhalten durch eine freie Energie (Dichte) beschrieben, die die Form hat$^{*}$

$$F_{LG} = r \, \phi^2 + c \, | \nabla \phi |^2 + g_4 |\phi|^4 + \cdots ~,$$ wo die Koeffizienten $r$, $c$, $g_4$usw. hängen von den mikroskopischen Details des physikalischen Systems ab und sind normalerweise eine Funktion der Temperatur und können nicht durch die Landau-Ginzburg-Theorie selbst bestimmt werden. Nichtsdestotrotz bietet die LG-Theorie eine allgemeine und einheitliche Erklärung kontinuierlicher Phasenübergänge in Form eines Ordnungsparameters und einiger Koeffizienten – und das ist ihre Stärke.

Die LG-Theorie ist keine „abgeschnittene Erweiterung des Ordnungsparameters um den kritischen Punkt herum“. Der Bestellparameter$\langle \phi \rangle$kann eigentlich jeden Mittelfeldwert haben,$\phi_{MF}$. Der wichtige Punkt ist die Änderung von (oder Schwankungen um) diesem Mittelfeldwert,$\langle \phi \rangle - \phi_{MF}$; das heißt, nur die Schwankungen um den Mittelfeldwert sind wichtig – da sie die Ordnung zerstören könnten. Die Grundidee ist, dass man unterhalb des kritischen Punktes eine freie Energie (die freie Landau-Ginzburg-Energie) in Form eines Ordnungsparameters entwirft, der die möglichen Konfigurationen des Systems in Form einiger gegebener Parameter liefert,$r$,$c$usw. Diese freie Energie ist keine Erweiterung des Ordnungsparameters; Ursprünglich basierte die Form der freien Landau-Energie nur auf einer guten Wahl von Ordnungsparametern (z. B. Magnetisierung) und den Symmetrien des Systems. Bei diesem Ansatz spielt der jeweilige Wert des Ordnungsparameters keine Rolle – man kann ihn z. B. neu skalieren, um in zu sein$[-1 , 1]$. Die entscheidende Frage ist, wie Schwankungen diesen festen Wert „verschmieren“ oder sogar zu einer völlig neuen Konfiguration mit anderen Eigenschaften führen würden (z. B. von einer magnetisch geordneten Phase zu einer paramagnetischen Phase).

In dieser Hinsicht liefert die LG-Theorie eine gute Beschreibung des Systems unterhalb des Übergangspunkts (vorausgesetzt, ein geeigneter Ordnungsparameter wird gewählt und die Symmetrien eingehalten). Sie ergibt schließlich den Zusammenbruchspunkt der geordneten Phase (den Übergangspunkt). Dies ist im Wesentlichen der Punkt, an dem die LG-Theorie selbst zusammenbricht – aufgrund großer Schwankungen. Kurz gesagt sagt es Ihnen, wo (im Phasenraum) die Fluktuationen das System überwältigen, so dass die spezielle LG-Theorie selbst keine gute Beschreibung mehr ist.

Für eine ausführliche Diskussion siehe zB Huang, K. „Statistical Mechanics“ (1987), Kap. 17 < WCat > oder Sethna, JP „Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity“ (2012), Kap. 12 < WCat >.

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^{$^\dagger$Die Abbildung ist aus dem oben zitierten Buch von Sethna übernommen.
$^{\ast}$Je nach Referenzmaterial werden unterschiedliche Notationen verwendet.}

Nur eine Nebenbemerkung: Ich denke, das Ginzburg-Kriterium wurde in diesem Gespräch nicht erwähnt (ich entschuldige mich, wenn dem nicht so ist).

Das Ginzburg-Kriterium gibt ein Maß für beide Schwankungen$\delta \phi$des Ordnungsparameters um den konstanten Mittelwert$\phi_0$und der spezifischen Wärme$C$. Es stellt sich heraus, dass

$$\begin{equation} \frac{<{\delta \phi^2}>}{\phi_0^2} \propto \xi^{4-d}, \quad C\propto \xi^{4-d}, \end{equation}$$ wo$\xi$ist die Korrelationslänge. Dies bedeutet, dass Schwankungen in der Nähe des Übergangspunkts singulär sind, wo$\xi\to\infty$wenn$d<4$. Das gleiche passiert für$C$und das abweichende Verhalten ist auf die zunehmenden Schwankungen zurückzuführen. In$d<4$die Vorhersage der LG-Theorie nicht mehr zuverlässig sind und Methoden der Renormierung angewendet werden müssen.