Warum gilt die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung bei r=0r=0r=0?

Die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem Zentralpotential lautet

[ P R 2 2 M + ℓ ( ℓ + 1 ) 2 M R 2 + v ( R ) ] ψ ( R , θ , φ ) = E ψ ( R , θ , φ ) .
Dies ergibt Lösungen der Form:
ψ ℓ M ( R , θ , φ ) = j ℓ ( R ) R Y ℓ M ( θ , φ )
Wo Y ℓ M sind die sphärischen Harmonischen und j ℓ ( R ) ist die Lösung der Gleichung:
− ℏ 2 2 M D 2 j ℓ D R 2 + ℓ ( ℓ + 1 ) ℏ 2 2 M R 2 j ℓ ( R ) + v ( R ) j ℓ ( R ) = E j ℓ ( R )
Das Buch, das ich verwende (Messiah), besagt, dass die Lösungen am Ursprung gültig sind, indem Lösungen des Typs außer Acht gelassen werden B R − ℓ für Konstanten B damit versichern j ℓ ( 0 ) = 0 . Meine Frage ist, wie wird dies sichergestellt ψ ℓ M ( R , θ , φ ) ist eine gültige Lösung der Schrödinger-Gleichung am Ursprung? Ist es weil j ℓ geht zu 0 schneller als R − 1 ?

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Wenn ψ eine normierbare Wellenfunktion sein soll, dann ist die Funktion j l ( R ) / R muss quadratintegrierbar sein. Wenn j l ( R ) ∝ R a nahe R = 0 , dann der radiale Teil des Integrals für ψ 2 ( R , θ , ϕ ) in der Region A ≤ R ≤ B wird sein

∫ A B j l ( R ) 2 R 2 R 2 D R ≈ ∫ A B R 2 a D R = 1 2 a [ B 2 a + 1 − A 2 a + 1 ] .
Wenn a < − 1 / 2 , dann ist dies im Grenzwert divergierend zu sehen A → 0 , was bedeuten würde, dass das Integral von ψ 2 über den gesamten Raum (einschließlich des Ursprungs) würde divergieren und ψ wäre keine gültige Wellenfunktion. Daher lehnen wir alle Lösungen mit diesem Verhalten als ab R → 0 .

Das klärt einiges auf. Also im Grunde der Grund ψ gültig ist, weil die Singularität in R − 1 wird durch aufgehoben j l . Habe ich das richtig verstanden?
Vielen Dank, dass Sie mir geholfen haben!
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