Warum nehmen die Energien des unendlichen quadratischen Brunnens mit zunehmender Breite des Brunnens ab?

Die stationären Zustandswellenfunktionen für den unendlichen quadratischen Brunnen der Breite A werden von gegeben

ψ N ( X ) = 2 A Sünde ⁡ ( N π X A ) .
Diese entsprechen Energien,
E N = N 2 π 2 ℏ 2 2 M A 2 .
Angenommen, wir sollen die Breite des Brunnens ändern, sodass die neue Breite gegeben ist durch 2 A . Dann werden die neuen stationären Zustandswellenfunktionen zu
ψ N ( X ) = 2 A Sünde ⁡ ( N π X 2 A ) ,
Energien entsprechen,
E N = N 2 π 2 ℏ 2 2 M ( 2 A ) 2 .
Offensichtlich nehmen die Energien mit zunehmender Breite der Wanne ab.

Klassisch ist das für mich vollkommen logisch. Wenn wir ein diskretes Teilchen auf eine kleine Region im eindimensionalen Raum beschränken, ergibt es Sinn, dass es viel stärker (gegen die Wände seiner Begrenzungen) herumprallt, als wenn wir es auf eine größere Region im eindimensionalen Raum beschränken würden Raum.

In der Quantenmechanik können wir uns das Teilchen jedoch nicht als Punkt im Raum vorstellen, sondern müssen es uns eher als eine Art Welle vorstellen. Wenn dies der Fall ist, was könnte dann eine mögliche physikalische Erklärung für die Abnahme der Energie sein, wenn wir die Breite des Brunnens vergrößern?

Eigentlich ist die klassische Analogie in Ihrem vorletzten Absatz falsch. Die Frequenz, mit der ein klassisches Punktteilchen an den Wänden abprallt, hat keinen Einfluss auf seine Energie, da die kinetische Energie bei elastischen Stößen erhalten bleibt.

Antworten (4)

Im unendlichen Brunnen die kinetische Energie P 2 / 2 M ist die einzige Menge, die zählt, weil v = 0 im Brunnen. Seit

P 2 2 M → − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 ,
Die kinetische Energie ist proportional zur Krümmung der Wellenfunktion.

Wenn der Schacht schmal ist, haben die Wellenfunktionen eine stärkere Krümmung, da sie eine ganzzahlige Anzahl von sinusförmigen Halbzyklen innerhalb des schmalen Schachts aufnehmen müssen. Wenn der Schacht dagegen breit ist, haben die gleichen Lösungen eine vergleichsweise viel geringere Krümmung und somit eine geringere Energie.

Könnten Sie bitte erklären, warum Sie die Krümmung physikalisch mit Energie in Verbindung bringen?
Das einzige Argument ist wie oben, dh H = P 2 / ( 2 M ) + v , mit v = 0 innen damit H = − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 . Daher, ψ ″ ( X ) = − 2 M E ℏ 2 ψ zeigt, dass die Krümmung von ψ , Enthalten in ψ ″ ( X ) , ist explizit abhängig von E .

Die Standard-Heuristikgeschichte basiert auf der Heisenberg-Unschärferelation Δ X ⋅ Δ P ≥ ℏ / 2 . Je geringer die Unsicherheit in der Position eines Teilchens ist, desto größer ist die Unsicherheit in seinem Impuls (und umgekehrt). Wenn ein Teilchen auf einen Kasten beschränkt ist, dann kann die Unsicherheit seiner Position sicherlich nicht größer sein als die Größe L der Kiste, also Δ P ≥ ℏ / ( 2 L ) . Durch Vergrößern der Box kann sie sich mehr ausbreiten und die Unsicherheit ihrer Position erhöhen, wodurch die Streuung ihrer Impulse um den Durchschnittswert verringert wird P = 0 , also wird das Teilchen "verlangsamt" und seine Energie nimmt ab.

Das hast du gezeigt E N ∝ 1 A 2 . Das ist eine physikalische Erklärung dafür, warum die Energie so abnimmt A erhöht sich. In der QM ist es normalerweise nicht hilfreich, nach Analogien zu suchen, wie sich Teilchen wie in der klassischen Mechanik „bewegen“.

Eigentlich muss das so sein, da in der A → ∞ Grenze, stellen Sie besser die Quantenmechanik eines freien Teilchens wieder her, das sich auf der realen Linie bewegt. Wenn Sie definieren k N = N π / A , das kann man sehen A sehr groß, die Lücke zwischen aufeinanderfolgenden k N 's wird wirklich klein und so in der A → ∞ limit wird es im Grunde zu einer kontinuierlichen Variablen. So erhält man das Energiespektrum E k = ℏ 2 k 2 / 2 M mit Wellenfunktionen ψ ( X ) ∝ S ich N ( k X ) , die übliche freie Teilchenwelle.

Warum nehmen die Energien des unendlichen quadratischen Brunnens mit zunehmender Breite des Brunnens ab?
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